Wymiary w teorii pierścieni

Notatki z teorii wymiaru w pierścieniach
WPROWADZENIE
Na wykładzie tym poruszone zostaną następujące zagadnienia:
• klasyczny wymiar Krulla (pierścienia przemiennego)
• wymiar Gelfanda-Kiryłowa
• wymiar Ore’go
• nieprzemienny wymiar Krulla (tzw. wymiar modułowy lub wymiar GabrielaRentschlera)
• wymiar homologiczny
Tematyka wykładu oscyluje wokół teorii pierścieni, zwłaszcza pierścieni nieprzemiennych. Poniżej wyliczamy pewne hasła, które w związku z tą teorią pojawiają
się często w klasycznych opracowaniach i wykładach:
• pierścienie artinowskie (m.in. algebry skończonego wymiaru nad ciałem),
pierścienie noetherowskie (np. K[x1 , . . . , xn ]), PI-algebry
• pierścienie i ideały pierwsze oraz prymitywne, radykały (nil, pierwszy, Jacobsona)
• twierdzenia strukturalne: Artina-Wedderburna, Ore’go, Goldie’go, o gęstości, o prostych i pierwszych PI (tw. Kaplansky’ego, tw. Posnera)
• ważne klasy: pierścienie grupowe i półgrupowe, skośne wielomiany i iloczyny skrzyżowane, algebry obwiednie algebr Liego, algebry Weyla, algebry
wolne i algebry zadane przez prezentacje
Wykład opracowany został na podstawie fragmentów następujących monografii:
• S. Balcerzyk, T. Józefiak Pierścienie Przemienne.
• G.R. Krause, T.H. Lenagan Growth of Algebras and Gelfand-Kirillov dimension.
• J.C. McConnell, J.C.Robson Noncommutative Noetherian Rings.
• J. Okniński Semigroup Algebras.
• D.S. Passman A Course in Ring Theory.
1
1
WYKŁAD PIERWSZY
Klasyczny wymiar Krulla
W naszych rozważaniach przez R rozumieć będziemy pierścień łączny, na ogół
z 1. Powiemy, że podzbiór P ⊆ R jest ideałem dwustronnym w R, ozn. P ⊳ R,
jeśli dla każdego a ∈ R oraz dla każdego p ∈ P mamy ap, pa ∈ P . Analogicznie
definiujemy ideały lewostronne i prawostronne pierścienia R.
Definicja 1.1 Mówimy, że P jest ideałem pierwszym, jeśli:
aRb ⊆ P ⇒ a ∈ P lub b ∈ P,
P 6= R.
Pierścień R nazywamy pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy ideał {0} jest ideałem
pierwszym w R. Równoważnie, zachodzi następująca implikacja:
aP b = 0 ⇒ a = 0 lub b = 0.
Zadanie 1 Następujące warunki są równoważne:
• R jest pierścieniem pierwszym
• dla dowolnych ideałów dwustronnych I, J ⊳ R mamy
IJ = 0 ⇒ I = 0 lub J = 0.
Stwierdzenie 1.1 Jeśli φ : R → S jest homomorfizmem pierścieni, to jeśli
Q ⊳ S jest ideałem pierwszym, to φQ ⊳ R jest ideałem pierwszym. Co więcej
jeśli P ⊳ R oraz ker(φ) ⊆ P , to jeśli P jest pierwszy w R, to φ(P ) jest pierwszy
w S.
na
Dowód. Niech a, b ∈ R oraz aRb ∈ φ−1 (Q). Zatem φ(a)Sφ(b) ∈ φφ−1 (Q) =
Q ⊳ S, a zatem φ(a) ∈ Q lub φ(b) ∈ Q, a zatem a ∈ φ−1 (Q) lub b ∈ φ−1 (Q). Założenie na najbliższe wykłady – R jest przemienny z 1.
Zacznijmy od definicji lokalizacji.
Definicja 1.2 Niech R będzie pierścieniem, T ⊆ R, przy czym:
• 0∈
/T
• a, b ∈ T ⇒ ab ∈ T
• T nie ma dzielników zera.
Wówczas T nazywamy systemem multiplikatywnym w R.
Jeśli R jest dziedziną, to kładąc T = R \ {0} dostajemy system multiplikatywny.
Inny przykład: jeśli P ⊳R jest ideałem pierwszym, wówczas R \P jest systemem
multiplikatywnym.
2
Definicja 1.3 Niech R będzie pierścieniem, zaś T -systemem multiplikatywnym
w R. Na zbiorze R × T rozpatrujemy relację ∼ określoną w następujący sposób:
(r1 , t1 ) ∼ (r2 , t2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy r1 t2 = t1 r2 . Nietrudno pokazać, że
zbiór klas abstrakcji tej relacji z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji par (analogicznymi do dodawania i mnożenia ułamków) jest
pierścieniem. Nazywamy go lokalizacją pierścienia R względem systemu multiplikatywnego T i oznaczamy przez RT −1 lub RT .
Jeśli R jest dziedziną, a T = R \ {0}, to RT jest ciałem ułamków dziedziny R.
Definicja 1.4 Pierścień R jest lokalny jeśli posiada dokładnie jeden ideał maksymalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, że zbiór elementów nieodwracalnych
tego pierścienia tworzy ideał.
Przykładem pierścienia lokalnego jest pierścień K[x]/(xn ).
Stwierdzenie 1.2 Niech P ⊳ R będzie ideałem pierwszym, zaś T = R \ P .
Wówczas
• P T −1 = {pt−1 | p ∈ P, t ∈ T } ⊳ RP −1
• RT −1 \ P T −1 to elementy nieodwracalne w RT −1
• RT −1 jest lokalny i jego jedyny ideał maksymalny to P T −1 .
Rozszerzenia całkowite i skończone rozszerzenia modułów
Definicja 1.5 R ⊆ S - pierścienie ze wspólną 1. Niech s ∈ S. Element s ∈ S
jest całkowity nad R jeśli istnieje wielomian unormowany nad R, którego s jest
pierwiastkiem.
Przykłady:
• Jeśli R jest ciałem, a S jest rozszerzeniem R, to elementy całkowite =
elementy algebraiczne
√
√
• Jeśli rozważymy rozszerzenie Z ⊆ Z[ 2], to 2 jest całkowity nad Z.
Lemat 1.1 Niech R ⊆ S oraz s ∈ S. Jeśli s jest całkowity nad R, to R[s]
jest skończenie generowanym R-modułem, przy czym przez R[s] to z definicji
najmniejszy podpierścień w S zawierający R, s (oraz 1).
Dowód. Rozważmy wielomian f ∈ R[x], unormowany taki, że f (s) = 0. Niech
g ∈ R[x]. Wtedy g = q·f +r, dla pewnych f, q, r ∈ R[x] i deg(r) < deg(f ). Zatem
g(s) = q(s)f (s) + r(s). Zatem R[s] = R + Rs + . . . + Rsn−1 , gdzie n = deg(f ).
Lemat 1.2 Niech R ⊆ S. Rozpatrujemy warunki:
(a) R ⊆ S jest rozszerzeniem całkowitym jeśli każdy s ∈ S jest całk. nad R
3
(b) dla każdych s1 , . . . , sn ∈ S pierścień R[s1 , . . . , sn ] jest skończenie generowanym R-modułem
Wówczas (a) ⇒ (b) oraz (b) ⇒ (a), jeśli R jest dziedziną1
Dowód. Zaczniemy od implikacji (a) ⇒ (b). Indukcja względem n. Jeśli n = 1,
to korzystamy z Lematu 1. Dla n > 1 rozumowanie jest następujące. Załóżmy, że
R[s1 , . . . , sn−1 ] jest sk. gen. modułem nad R postaci Ra1 +. . .+Rat , dla pewnych
a1 , . . . , at ∈ S. Ale R[sn ] = Rb1 + . . . + Rbs , dla pewnych b1 , . . . , bs ∈ S. Zatem:
R[s1 , . . . , sn ] = R[s1 , . . . , sn−1 ][sn ] = (Ra1 + . . . + Rat )(Rb1 + . . . + Rbs ).
Dowodzimy teraz implikację (b) ⇒ (a). Weźmy s ∈ S. Wiemy, że R[s] = Rc1 +
. . . + Rcm , dla pewnych c1 , . . . , cm . Zatem dla każdego j mamy scj ∈ R[s], bo
s, cj ∈ R[s], a to jest podpierścień. Zatem scj = d1j c1 +. . .+dmj cm , dla pewnych
dij ∈ R. Mamy więc układ równań o macierzy D−sI. Ma on rozwiązanie postaci
{c1 , . . . , cm } tzn. det(D − sId) = 0. A więc skoro to dziedzina, to jest ciało
ułamków.
Wniosek 1.1 Niech R ⊆ S będą dziedzinami. Wówczas zbiór elementów S całkowitych nad R tworzy podpierścień R.
Stwierdzenie 1.3 Jeśli R ⊂ T i R ⊂ S są rozszerzeniami całkowitymi, to
R ⊂ T też jest całkowite.
Stwierdzenie 1.4 Jeśli R ⊆ S jest rozszerzeniem całkowitym to:
• Jeśli φ : S → S ′ oraz φ(1) = 1, to φ(R) ⊆ φ(S) jest rozszerzeniem
całkowitym.
• Jeśli Z ⊆ R jest multiplikatywnie domkniętym zbiorem nie-dzielników zera
w S, to RZ −1 ⊆ SZ −1 jest całkowite.
Definicja 1.6 Niech R będzie pierścieniem (niekoniecznie przemiennym). Przez
dim(R) oznaczamy największe n naturalne, że istnieje łańcuch:
P0 ( P1 ( P2 ( . . . ( Pn
ideałów pierwszych w R, o ile takie n istnieje. Jeśli nie istnieje, to dim(R) = ∞.
Przykłady:
• R-ciało ⇒ dim(R) = 0,
• R = Z ⇒ dim(Z) = 1.
Jakie mamy cele na następne zajęcia?
• Jeśli R ⊆ S jest całkowite, to dim(R) = dim(S).
• Jeśli S jest algebrą skończenie generowaną nad ciałem K, to S zawiera
podpierścień R, że R ⊆ S jest całkowite i R ≃ K[x1 , . . . , xn ], dla pewnego
n.
• dim(K[x1 , . . . , xn ]) = n.
1 Można
pokazać bez tego założenia, że (a) ⇔ (b).
4
2
WYKŁAD DRUGI
Lemat 2.1 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym, przy czym S-dziedzina.
Wtedy R jest ciałem ⇔ S jest ciałem.
Dowód. Niech 0 6= s ∈ S. Zatem sn + a1 sn−1 + . . . + an−1 s + an = 0, dla
pewnych ai ∈ S. Skoro S jest dziedziną, to an 6= 0 (jeśli n jest najmniejsze
możliwe). Zatem a−1
n ∈ R. Stąd:
−(sn + . . . + an−1 s)a−1
n = 1.
Zatem s jest elementem odwracalnym.
Niech 0 6= r ∈ R. Zatem r−1 ∈ S. Skoro r−1 jest całkowity nad R, to:
(r−1 )m + . . . + am−1 (r−1 ) + am = 0,
to
r−1 + a1 + . . . + am−1 rm−2 + am rm−1 = 0.
Zatem r−1 jest sumą elementów z R. Zatem r−1 ∈ R.
Wniosek 2.1 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Jeśli P ⊳ R jest
pierwszy, to:
P jest maksymalny w S ⇔ P ∩ R jest maksymalny w R.
Dowód. Wiemy, że R ⊆ S oraz, że rozszerzene R/(R ∩ P ) ⊆ S/P jest nadal całkowite (to są φ(R), φ(S), dla odpowiedniego φ). Zatem teza wynika z
poprzedniego lematu.
Wniosek 2.2 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Niech Q ⊳ R
będzie ideałem pierwszym. Jeśli P1 ⊆ P2 to ideały w S takie, że Pi ∩ R = Q oraz
Pi są pierwsze, to P1 = P2 .
Dowód. Niech T := R \ Q. Zatem mamy RT -lokalizację. Wiemy, że RT to podpierścień lokalny z ideałem maksymalnym QT = QT −1 . Niech Mi = Pi T −1 ⊆
ST .
Zauważmy, że Mi ∩ RT = QT . Istotnie, jest to równoważne temu, że Pi T −1 ∩
−1
RT −1 = QT −1 . Jest jasne, że zachodzi inkluzja ⊇. Zatem niech pt−1 = rt .
Stąd pt = rt ∈ P . Zatem r ∈ P lub t ∈ P , bo P jest pierwszy.
Wróćmy do dowodu. Wiadomo, że P1 ⊆ P2 oznacza, że P1 T −1 ⊆ P2 T −1 . Z
pierwszego wniosku wynika, że M1 jest maksymalny. Ale M1 = M2 . Wobec tego
P2 = P1 , bo P1 = M1 ∩ S oraz P2 = M2 ∩ S.
Lemat 2.2 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Załóżmy, że Q ⊳ R
jest ideałem pierwszym. Wtedy istnieje P ⊳ R, pierwszy i taki, że P ∩ R = Q.
5
Dowód. Niech T = R \ Q. Patrzymy na obrazy odwzorowań ψ : R ֒→ RT oraz
φ : S ֒→ ST . Rozważmy ideał Q⊳R. W ST istnieje ideał maksymalny M ⊳ST . Z
Wniosku 1 M ∩ RT jest maksymalny w RT . Wiemy, że RT jest lokalny i jedyny
ideał maksymalny w tym pierścieniu to QT −1 . Stąd QT −1 = M ∩ RT . Niech
P := φ−1 (M ). Wtedy łatwo widzieć, że φ−1 (M ) = R oraz φ−1 (M ) jest ideałem
pierwszym.
Twierdzenie 2.1 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Niech
Q1 ⊂ Q2 ⊂ . . . ⊂ Qn
będą ideałami pierwszymi w R, zaś
P1 ⊂ P 2 ⊂ . . . ⊂ Pm
niech będą ideałami pierwszymi w S. Niech m < n oraz Pi ∩ R = Qi . Wtedy
istnieja ideały Pm+1 , . . . , Pn , że Pi ∩ R = Qi oraz Pi ⊳ S są pierwsze.
Dowód. Indukcja względem m. Jeśli m = 0, to P1 istnieje z Lematu 2. Gdy m >
0, to mamy P1 ⊂ . . . Pm i chcemy dostać Pm+1 . Rozważmy: φ : S → S/Pm = S.
Widzimy, że S to dziedzina. Rozważmy też odwzorowanie φ′ : R → R/Pm ∩ R =
R/Qm = R. Jest jasne, że R ⊆ S jest rozszerzeniem całkowitym. Z Lematu 2
wiemy, że Qm1 ⊳ R jest pierwszy. Istnieje więc Pm1 ⊳ S, że Pm+1 ∩ R = Qm1 .
Zatem φ−1 (Pm+1 ) := Pm1 jest ideałem pierwszym pozwalającym zakończyć
krok indukcyjny.
Wniosek 2.3 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Wówczas dim(R) ¬
dim(S).
Twierdzenie 2.2 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Wówczas
dim(R) = dim(S).
Dowód. Jedna z nierówności pokazana została we Wniosku 2. Dowodzimy, że
dim(R) ­ dim(S). Niech
P 0 ⊆ . . . ⊆ Pn ⊳ S
będą ideałami pierwszymi w S. Wtedy:
P0 ∩ R ⊆ P1 ∩ R ⊆ . . . ⊆ Pn ∩ R
są ideałami w R, różnymi na mocy Wniosku 2. Niech Pi ∩ R = Qi . Zauważmy jednak, że R/Qi ⊆ S/Pi , przy czym Pi to dziedzina. Zatem R/Qi to też
dziedzina. Czyli Qi są pierwsze.
Twierdzenie 2.3 (Noether o normalizacji) Niech R będzie dziedziną, skończenie generowaną jako algebra nad ciałem K. Wtedy istnieją x1 , . . . , xn ∈ R
takie, że K[x1 , . . . , xn ] (czyli najmniejszy pierścień zawierający: K, elementy xi oraz 1) jest zawarty w R, przy czym R jest skończenie generowanym
K[x1 , . . . , xn ]-modułem, oraz K[x1 , . . . , xn ] jest izomorficzny z pierścieniem wielomianów, tzn. x1 , . . . , xn są algebraicznie niezależne nad K.
6
Zanim przedstawimy dowód tw. Noether pokażmy pewien istotny, z naszego
punktu widzenia, wniosek:
Wniosek 2.4 Niech S = K[x1 , . . . , xn ] będzie pierścieniem wielomianów o n
przemiennych zmiennych. Wówczas dim(S) = n.
Dowód. Zauważmy, że dla dowolnego pierścienia R, niekoniecznie przemiennego, mamy:
dim(R[x]) ­ dim(R) + 1.
Istotnie, jeśli
Q0 ⊆ Q1 ⊆ . . . ⊆ Qn
jest dowolnym łańcuchem ideałów pierwszych w R to nietrudno jest skonstruować łańcuch ideałów pierwszych w R[x], dłuższy o jeden element. Jest zupełnie jasne, ze Qi [x] tworzą łańcuch ideałów pierwszych w R[x]. Rozważmy
ideał Qn [x] + xR[x]. Zawiera on oczywiscie Qn [x]. Zauważmy także, że jest
to ideał pierwszy. Istotnie, rozważając iloraz R[x]/(Qn [x] + xR[x]) wiemy, że
R[x]/xR[x] ≃ R oraz, że R/Qn jest pierwszy. Stąd też (Qn [x] + xR[x]). I tak
postępujemy indukcyjnie otrzymując nierówność dim(K[x1 , . . . , xn ]) ­ n.
Niech
0 = P0 ⊆ . . . ⊆ Pr
będą ideałami pierwszymi w K[x1 , . . . , xn ],. Niech K[x1 , . . . , xn ]/P1 := R. To
jest dziedzina. Z lematu Noether znajdziemy pewne y1 , . . . takie, że R ⊇ K[y1 , . . . , ym ]
jest rozszerzeniem całkowitym. Wiemy, że P1 6= 0. Zatem x1 , . . . , xn ∈ R są algebraicznie zależne nad R. Stąd dim(K[x1 , . . . , xn ]) ¬ n.
Dowód tw. Noether
3
WYKŁAD TRZECI
Zaczniemy od dygresji dotyczącej klasy pierścieni przemiennych wymiaru 1.
Twierdzenie 3.1 Następujące warunki są równoważne (dla pierścienia przemiennego R):
• R jest dziedzina noetherowską, całkowicie domkniętą, dim(R) = 1,
• R ma jednoznaczność rozkładu na ideały pierwsze
Pierścienie spełniające te warunki, zwane pierścieniami Dedekinda, odegrały
kluczową rolę w początkowym rozwoju algebraicznej teorii liczb. Więcej szczegółów znaleźć można w podręcznikach z algebry przemiennej lub teorii liczb.
*
*
7
*
Definicja 3.1 Jeśli K ⊆ L jest rozszerzeniem ciał, to przez stopień przestępny
L nad K, ozn. degtrK (L), rozumiemy:
sup{n | L zawiera n niezależnych elementów nad K}.
Twierdzenie 3.2 Jeżeli R jest dziedziną, sk. generowaną nad ciałem K, wówczas dim(R) = degtrK (L), gdzie L = (R) jest ciałem ułamków R.
Dowód. Z lematu Noether wiemy, że K[x1 , . . . , xn ] ⊆ R jest rozszerzeniem całkowitym. Zatem po przejściu do ciał ułamków także rozszerzenie K(x1 , . . . , xn ) ⊆
L jest rozszerzeniem całkowitym, a więc także algebraicznym. Zatem trdegK (L) =
n. Ale dim(R) = n, co dowodziliśmy na ostatnim wykładzie.
Wniosek 3.1 NIech R będzie skończenie generowaną algebrą nad ciałem K
taką, że R jest ciałem. Wówczas K ⊆ R jest rozszerzeniem skończonym.
Dowód. Skoro R jest ciałem, to dim(R) = 0. Z twierdzenia wiemy zatem,
że dimtrK (R) = 0. Zatem K ⊆ R jest algebraiczne. Skoro R jest skończenie
generowana nad K, to jest to rozszerzenie skończone.
Wniosek 3.2 Jeśli M ⊳ R maksymalny, przy czym R jest skończenie generowaną algebrą nad K, to K ⊆ R/M jest skończonym rozszerzeniem ciał.
Wniosek 3.3 Jeśli K = K, to każdy maksymalny ideał w R = K[x1 , . . . , xn ]
jest postaci:
n
X
(x − ai )K[x1 , . . . , xn ],
M=
i=1
dla pewnych ai ∈ K.
Dowód. Z Wniosku 2 wiemy, że R/M = K, bo K jest algebraicznie domknięte.
Dla każdego i istnieje takie ai , że xi − ai ∈ M . Zatem M jest ideałem w R. Jest
to ideał maksymalny, bo jest kowymiaru 1.
Wniosek 3.4 Jeśli K = K oraz I⊳K[x1 , . . . , xn ], przy czym I 6= K[x1 , . . . , xn ],
to niepusty jest następujący zbiór:
V (I) := {a ∈ K n | f (a) = 0, ∀f ∈I }.
Dowód. I jest właściwy, więc istnieje ideał maksymalny M taki, że I ⊆ M . Z
n
P
(x − ai )K[x1 , . . . , xn ]. Stąd
Wniosku 3 wynika zatem, że M =
i=1
a = (a1 , . . . , an ) ∈ V (I).
8
Wniosek 3.5 (Twierdzenie Hilberta o zerach) Niech K = K. Niech f ∈
K[x1 , . . . , xn ] będzie takie, że f (a) = 0, dla każdego a ∈ V (I), gdzie I ⊳
K[x1 , . . . , xn ]. Wtedy
√
f ∈ I := {g ∈ K[x1 , . . . , xn ] | ∃r g r ∈ I}.
Dowód. Jeśli f = 0, to teza jest jasna. Jeśli f 6= 0. to z twierdzenia Hilberta o
bazie:
m
X
gi K[x1 , . . . , xn ].
I=
i=1
Niech J ⊳K[x1 , . . . , xn+1 ] będzie ideałem generowanym przez gi oraz 1−f xn+1 .
Wtedy J = K[x1 , . . . , xn+1 ]. Gdyby nie, to na mocy Wniosku 4, każdy ideał
właściwy ma jakieś zero. A więc V (J) 6= 0, czyli istnieje wspólne zero dla wielomianów z J równe a. Zatem (1 − f xn+1 )a = 0. Oraz f (a) = 0 ⇒ 1 = 0.
Stąd:
1 = g1 h1 + . . . + gm hm + (1 − f xn+1 )hn+1 ,
(1)
dla pewnych hi ∈ K[x1 , . . . , xn+1 ]. Niech α : K[x1 , . . . , xn+1 ] → K(x1 , . . . , xn ).
Wzór: α : xi → xi , i = 1, 2, . . . , n, natomiast α(xn+1 ) = 1/f . Stosujemy α do
wzoru (1). Dostajemy:
1 = g1 h1 (x1 , . . . , xn , 1/f ) + . . . + gm hm (x1 , . . . , xm , 1/f ).
Istnieje zatem r ∈ Z, że:
f r = g1 h1 (x1 , . . . , xn , 1/f )f r + . . . ⇒ f r ∈ I.
|
{z
}
wielomian
Definicja 3.2 Podzbiór A ⊆ K n nazwiemy algebraicznym, jeśli jest on postaci
A = V (I), dla pewnego ideału I. Innymi słowy jest to zbiór rozwiązań skończonego układu równań algebraicznych.
Twierdzenie 3.3 Niech K = K. Wówczas:
• V (0) = K n
• V (K[x1 , . . . , xn ]) = ∅
• V (I1 + I2 ) = V (I1 ) ∩ V (I2 ) (i analogicznie dla sumy dowolnej ilości ideałów)
• V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J).
Definicja 3.3 Na K n określić możemy topologię, w której zbiorami domkniętymi będą zbiory V (I), gdzie I ⊳ K[x1 , . . . , xn ]. Nazywamy ją topologią Zariskiego.
Twierdzenie 3.4 Załóżmy, że K = K. Jeśli A ⊆ K n , to niech I(A) oznacza
najmniejszy ideał I w K[x1 , . . . , xn ] taki, że dla każdego f ∈ I oraz dla każdego
a ∈ A zachodzi równość f (a) = 0. Wówczas:
9
1. V (I(A)) = A, dla każdego zbioru algebraicznego A.
√
2. Jeśli J ⊳ K[x1 , . . . , xn ], to I(V (J)) = J ⊇ J.
Dowód. Zaczniemy od (1). To, że A ⊆ V (I(A)) jest jasne. Skoro A jest algebraiczny, to istnieje J ⊳ K[x1 , . . . , xn ] taki, że A = V (J). Stąd I(A) ⊇ J. Zatem
V (I(A)) ⊆ V (J) = A.
√
Niech f ∈ J. Zatem istnieje takie r, że f r ∈ J. √
Ale J ⊆ I(V (J)), zatem
f r ∈ I(V (J)).√
Zatem f ∈ I(V (J)). zatem I(V (J)) ⊇ J. Jest natomiast jasne,
że I(V (J)) ⊆ J.
√
Wniosek 3.6 Jesli J = J, to I(V (J)) = J. Są to tzw. ideały półpierwsze.
Przekształcenia I, V zadają odwracającą porządek bijekcję pomiędzy ideałami w
K[x1 , . . . , xn ], a zbiorami algebraicznymi w K n .
Definicja 3.4 Niech A ⊆ K n będzie zbiorem algebraicznym. Powiemy, że jest
on przywiedlny jeśli jest sumą dwóch zbiorów algebraicznych w K n , różnych od
samego siebie. Zbiór A jest nieprzywiedlny (inaczej: jest rozmaitością) jeśli nie
jest przywiedlny.
Twierdzenie 3.5 Niech A będzie zbiorem algebraicznym. Równoważne są następujące warunki:
1. A jest zbiorem nieprzywiedlnym w K n
2. I(A) jest ideałem pierwszym w K[x1 , . . . , xn ].
Dowód. Załóżmy, że f, g ∈ K[x1 , . . . , xn ] oraz f g ∈ I(A). Zatem f g(a) = 0,
dla każdego a ∈ A. Zatem f (a) = 0 lub g(a) = 0, dla każdego a ∈ A. Zatem:
A = (A ∩ V (f )) ∪ (A ∩ V (g)).
Obydwa składniki tej sumy są zbiorami algebraicznymi, zatem z założenia (1)
wynika, że A = A ∩ V (g) lub A = A ∩ V (f ). Zatem f ∈ I(A) lub g ∈ I(A). Stąd
(1) ⇒ (2).
Załóżmy, że I(A) jest pierwszy. Jeśli A = A1 ∪ A2 , gdzie A1 , A2 są zbiorami
algebraicznymi, to
I(A) = I(A1 ∪ A2 ) = I(A1 ) ∩ I(A2 ).
Ale I(A1 )I(A2 ) ⊆ I(A1 ∩ A2 ) = I(A). Zatem z założenia, że I(A) jest pierwszy
wynika, że I(A1 ) ⊆ I(A) lub I(A2 ) ⊆ I(A). Zatem A1 = V (I(A1 )) ⊇ V (I(A)) =
A lub A2 = V (I(A2 )) ⊇ V (I(A)) = A. Zatem A = A1 lub A = A2 .
Definicja 3.5 Wymiarem geometrycznym zbioru algebraicznego A nazywamy
liczbę:
sup{n | A = An ) An−1 ) . . . ) A1 ) A0 = ∅}.
gdzie Ai są niepustymi podzbiorami nieprzywiedlnymi.
10
Wniosek 3.7 Wymiar geometryczny zbioru A ⊆ K n równy jest dim(K[x1 , . . . , xn ]/I(A)).
Obserwacja 3.1 Niech A będzie podzbiorem algebraicznym w K n . Wówczas
istnieją nieprzywiedlne zbiory algebraiczne A1 , . . . , Ar w K n takie, że:
A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ar .
Co więcej, jeśli istnieją także nieprzywiedlne zbiory algebraiczne B1 , . . . , Bs w
K n takie, że:
A = B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bs ,
to r = s oraz istnieje takie σ ∈ Sr , że Aσ(i) = Bi .
Fakt ten odpowiada sytuacji znanej z pierścieni noetherowskich, gdzie radykał
pierwszy jest przecięciem skończenie wielu ideałów pierwszych minimalnych.
4
WYKŁAD CZWARTY
Wymiar Gelfanda-Kiryłowa
Poniższy fragment wykładu oparty jest o następujące pozycje:
• Krause, Lenagan - Growth of Algebras and Gelfand-Kirylow dimension.
• McConnell, Robson - Noncomutative Noetherian Rings.
Definicja 4.1 Niech K będzie ciałem. Powiemy, że K-algebra jest skończenie
generowana jeśli istnieją a1 , . . . , an ∈ A takie, że A to najmniejsza podalgebra
w A, która zawiera a1 , . . . , an . Inaczej mówiąc, istnieje n oraz homomorfizm
φ : Khx1 , . . . , xn i → A,
na
gdzie Khx1 , . . . , xn i to K-algebra wolna o zbiorze wolnych generatorów x1 , . . . , xn .
Korespondując z powyższą definicją rozważmy dowolną skonczenie wymiarową
podprzestrzeń V algebry A, która generuje A, czyli na przykład V = span{a1 , . . . , an }.
Niech:
V 0 = K,
...,
V k = spanK {ai1 . . . aik | ij ∈ {1, 2, . . . , n}}.
Definicja 4.2 Niech A będzie algebrą, zaś V dowolną skończenie wymiarową
podprzestrzenią generującą A. Niech An = V 0 + V 1 + . . . + V n , gdie n ­ 0.
Wówczas:
A0 ⊆ A1 ⊆ A2 ⊆ . . .
oraz A jest sumą mnogościową wszystkich Ai . Określamy dV : N → R+ , gdzie:
dV (n) = dimK (An )
jako funkcję wzrostu odpowiadającą przestrzeni V . Jest to funkcja niemalejąca.
11
UWAGA. Jeśli 1 ∈ V , to An V n . Założenie to będziemy często czynić.
DYGRESJA. Jeżeli S jest półgrupą i S jest skończenie generowana (jako półgrupa) np. S = ha1 , . . . , an i, to niech Z = {a1 , . . . , an } oraz Z ∪ Z 2 ∪ . . . ∪ Z n = Bn .
Określamy dZ (n) := |Bn |. Obserwacja: jesli A = K[S], to jeśli V = spanK (Z),
to dV (n) = dZ (n).
Definicja 4.3 Niech Φ będzie rodziną niemalejących funkcji N → R+ . Wprowadzamy relację na Φ: jeśli f, g ∈ Φ, to
f ¬∗ g ⇔ ∃c,m∈N f (n) ¬ cg(mn), dla prawie wszystkich n.
oraz f ∼ g wtedy i tylko wtedy, gdy f ¬∗ g oraz g ¬∗ f .
Łatwo pokazać, że ∼ jest relacją równoważności na Φ. Elementy Φ/ ∼ nazywamy
wzrostami funkcji z Φ. Klasa f to G(f ).
Definicja 4.4 Niech A będzie skończenie generowaną algebrą oraz V skończenie
wymiarową podprzestrzenią generującą A. Wówczas określamy G(A) = G(dV )
jako wzrost algebry A
Pokażemy teraz, że powyższa definicja jest poprawna. Załóżmy, że V, W są przestrzeniami skończenie wymiarowymi generującymi A. Mamy wówczas:
[
[
(V0 + V1 + . . . + Vk ) = A =
(W0 + W1 + . . . + Wk ).
k­0
k­0
Stąd istnieją s, t ∈ N takie, że:
W =
s
X
V i,
V ⊆
i=0
t
X
W i.
i=0
Zatem dW (n) ¬ dV (n), dla każdego n. Stąd dW ¬∗ dW .
PRZYKŁAD. Niech A będzie algebrą skończenie wymiarową. Wówczas możemy
przyjąć V = A. Stąd funkcja dV (n) jest stała. Zatem wzrost algebry skończenie
wymiarowej jest stały.
PRZYKŁAD. Niech A będzie algebrą wolną o dwóch generatorach równą Khx, yi.
Rozważmy zbiór Z = {1, x, y} ⊆ hx, yi zawarty w monoidzie wolnym o dwóch
generatorach. Wówczas dZ (n) to liczba słów długości co najwyżej n w tym monoidzie. Jest ich 2n+1 − 1. Zatem dZ (n) = 2n+1 − 1.
PRZYKŁAD. Niech f (n) = nα , dla pewnego α > 1. Wówczas f ∈ Φ. Wtedy
G(f ) nazywamy wzsotem wielomianowym stopnia α, ozn. Pα .
Definicja 4.5 Jeśli f ∈ Φ oraz f (n) ¬ nα , dla prawie wszystkich n wówczas
mówimy, że f ma wzrost wielomianowo ograniczony.
12
Lemat 4.1 Niech f, g ∈ Φ. Wtedy:
1. lim sup(logn (f (n)) = inf{ρ ∈ R | f (n) ¬ nρ , p.w.} = inf{ρ ∈ R | G(f ) ¬∗
Pρ } = t.
2. Jeśli G(f ) = G(g), to lim sup(logn (f (n)) = lim sup(logn (g(n)).
Dowód. Nietrudno widzieć, że (2) jest prostą konsekwencją (1). Dowodzimy
więc punkt (1).
• jeśli f (n) ¬ nρ , p.w. Stąd G(f ) ¬ G(nρ ) := Pρ . Jeśli inf{ρ ∈ R | f (n) ¬
nρ , p.w.} = s. Zatem t ¬ s.
• Dla każdego ǫ > 0 i dla prawie wszystkich n mamy:
logn (f (n)) ¬ lim sup(logn (f (n)) + ǫ
⇒
f (n) ¬ nr+ǫ .
Zatem:
S = inf {ρ ∈ R | f (n) ¬ nρ , dla p.w.n.} ¬ inf {r + ǫ | ǫ > 0}.
Teza wynika zatem z dowolności ǫ.
• Niech r = lim sup(logn (f (n)). Jeśli r = ∞, to widać, że t = ∞. Przypuśćmy, że r < ∞. Wtedy t < ∞, bo mamy już r ­ s ­ t. Przypuśćmy, że r > t. Połóżmy ǫ = (r − t)/3. Wtedy G(f ) ¬ Pt+ǫ , zatem
f (n) ¬∗ nt+ǫ , tzn. f (n) ¬ c(mn)t+ǫ p.w, dla pewnych c, m. Dobieram
n tak, aby mt+ǫ ¬ nǫ . Wtedy:
f (n) ¬ c(mn)t+ǫ ¬ cmt+ǫ nt+ǫ ¬ nt+2ǫ .
Po wzięciu logarytmu widzimy, że:
logn (f (n)) ¬ t + 2ǫ = t + 2/3(r − t).
Ale r < t, a wiec supremum jest na pewno większe od t + 2/3(r − t).
Definicja 4.6 Niech A będzie algebrą skończenie generowaną, zaś V - dowolną
podprzestrzenią generującą A. Wówczas wymiarem Gelfanda-Kiryłowa algebry
A, ozn. GKdim(A) nazywamy liczbę
lim sup(logn (dV (A)).
Jeśli A jest dowolną algebrą, to GKdim(A) to supremum z GLdim(B), po
wszystkich podalgebrach skończenie generowanych B algebry A.
UWAGA. Niech A będzie algebrą skończenie generowaną. Wówczas:
• dimK (A) = ∞ ⇒ GKdim(A) ­ 1.
13
• dimK (A) < ∞ ⇔ GKdim(A) = 0.
Dowód. Załóżmy, że A jest generowana przez przestrzeń skończenie wymiarową
V , ale A jest nieskończenie wymiarowa. Możemy zakładać, że 1 ∈ V . Wtedy:
V 0 ⊆ V 1 ⊆ ... ⊆ V n ⊆ ...,
ale to muszą być inkluzje ostre, bo jeśli nastąpiłaby stabilizacja, to V k = V k+1 =
V k+2 = . . ., a zatem algebra A byłaby sumą skończenie wielu przestrzeni skończenie wymiarowych. Zatem funkcja wzrostu jest ściśle rosnąca, w szczególności
dV (n) ­ n, zatem lim sup(logn (dV (n)) ­ 1. Stąd GKdim(A) ­ 1.
Punkt (2) wynika z (1). Jeśli wymiar jest skończony, to biorą V = A widzimy,
że dV (n) jest funkcją stałą, zatem wymiar wynosi 0.
Wymiar GK nie musi być koniecznie liczbą całkowitą. Na ćwiczeniach pokazane
będą następujące, nietrywialne rezultaty.
Twierdzenie 4.1 (Bergman’s Gap Theorem) Niech A będzie algebrą taką,
że GKdim(A) > 1. Wówczas GKdim(A) ­ 2.
Twierdzenie 4.2 Dla każdego α ­ 2 istnieje algebra skończenie generowana A
taka, że GKdim(A) = α.
PROBLEM OTWARTY. Czy algebry noetherowskie mogą mieć niecałkowity
skończony wymiar Gelfanda-Kiryłowa?
5
WYKŁAD PIĄTY
BYŁO. Zdefiniowaliśmy dV (n), gdzie V jest skończenie wymiarową podprzestrzenią generującą skończenie generowaną algebrę A. Zdefiniowaliśmy GKdim(A),
czyli wymiar Gelfanda-Kiryłowa jako lim sup(logn (dV (n)).
Lemat 5.1 Jeśli B ⊆ A jest podalgebrą, to GKdim(B) ¬ GKdim(A). Jeśli
φ : A → C jest homomorfizmem oraz φ(A) = C, to GKdim(C) ¬ GLdim(A).
Dowód. Założenie, że A jest skończenie generowana nie jest potrzebne, ponieważ ogólna definicja wymiaru to supremum wymiarów wszystkich skończenie
generowanych podalgebr. Jeśli V ⊆ B jest skończenie wymiarową podprzestrzenią, to V ⊆ B ⊆ A też jest skończenie wymiarową podprzestrzenią. Więc pierwsze stwierdzenie jest jasne. Punkt drugi jest analogiczny. Jeśli W ⊆ C jest
skończenie wymiarowa, to istnieje V ⊆ A, też skończenie wymiarowa taka, że
φ(V ) = W . Zatem φ(V m ) = W m , dla każdego m. Zatem dV (n) ­ dW (n).
14
Dalsze przykłady
Przykład 5.1 Rozważmy K[x1 , . . . , xd ] - wielomiany od przemiennych zmiennych.
Wybieram skończenie wymiarową podprzestrzeń generującą, a więc biorą V =
lin{x1 , . . . , xd , 1}. Ona generuje wielomiany jako algebrę. Niech An = V 0 +V 1 +
. . . + V n = V n , bo 1 ∈ V . Zatem dim(An ) to liczba jednomianów stopnia co
najwyżej n postaci xi11 . . . xidd , gdzie ij ­ 0. Ten jednomian to 1i0 xi11 . . . xidd ,
gdzie i0 + . . . + id = n. Temu przyporządkowujemy słowo w algebrze wolnej
Khx, yi postaci xi0 yxx1 y . . . yxid . To przyporządkowanie jest różnowartościo
n+d
we. Takich słów w Khx, yi jest n+d
d . Zatem dV (n) równe jest
d . Zatem
GKdim K[x1 , . . . , xd ] = d.
Obserwacja 5.1 Zauważmy, że dimK (W n ), gdzie W = lin{x1 , . . . , xd }, to liczba jednomianów dokładnie stopnia n. Znowu jest możliwe przyporządkowanie do
Khx, yi. To teraz dV (n) = n+d−1
d−1 . Teraz dV (n + 1) − dV (n) = dW (n + 1).
Czasem jest łatwiej liczyć elementy jednorodne danego stopnia, a nie wszystkie
i stąd powyższa obserwacja.
Lemat 5.2 Jeśli 0 6= f ∈ Q[x], gdzie deg(f ) = d, to istnieją a0 , . . . , ad ∈ Q, że
n
+ . . . + a1 n1 + a0 .
f (n) = ad nd + ad−1 d−1
Lemat 5.3 Dla funkcji f : N → Q równoważne są warunki:
n
• istnieją a0 , a1 , . . . , ad ∈ Q, że f (n) = f (n) = ad nd + ad−1 d−1
+ ... +
n
a1 1 + a0 dla prawie wszystkich n
n
n
+
+ad−1 d−2
• istnieją a1 , . . . , ad ∈ Q, że f (n+1)−f (n) = f (n) = ad d−1
. . . + a2 n1 + a1 .
Porównanie wymiaru Gelfanda-Kiryłowa z klasycznym wymiarem Krulla dla algebr przemiennych.2
Twierdzenie 5.1 Załóżmy, że A jest skończenie generowaną algebrą przemienną (nad ciałem K). Wtedy Kdim(A) = GKdim(A).
Dowód. Z lematu Noether o normalizacji wiemy, że istnieje B ⊆ A taka, ze
B ≃ K[x1 , . . . , xd ] oraz A jest skończenie generowanym B-modułem. Wiemy, że
Kdim(B) = Kdim(A) = d. Powyżej pokazaliśmy, że GKdim(B) = d. Pozostaje pokazać, ze GKdim nie zmienia się przy przejściu z B do A. To wynika z
następującego lematu.
Lemat 5.4 Niech B ⊆ A będzie podalgebrą taką, że A jest skończenie generowanym (lewostronnym) A-modułem. Wówczas GKdim(A) = GKdim(B).
2 Jeśli nie założymy, że A jest skończenie generowana, to dwa wymiary nie mają nic wspólnego. Jeśli K ⊆ L jest rozszerzeniem ciał, skończenie generowanym jako algebra, to klasyczny
wymiar Krulla L to 0. Ale GKdim(L) jest stopniem przestępnym stopnia n nad K.
15
Dowód. Wiemy, że GKdim(B) ¬ GKdim(A). Należy dowieść przeciwną nierówność. Wiemy, że A = Ba1 + . . . + Bar , dla pewnego r i pewnych elementów
a1 , . . . , ar ∈ A. Mamy pokazać, że jeśli V jest skończenie wymiarą podprzestrzenią w A, to lim sup(logn (dV (n)) ¬ GKdim(B). To wystarczy, bo GKdim(A)
jest supremum z lewej strony.
Możemy zakładać, że a1 , . . . , ar ∈ V . Niech V = linK {v1 , . . . , vn }. Wiemy, że
r
P
bjh ah , dla pewnych bih ∈ B. Ponadto vi vj , to dalej jest w A i znowu
vi =
h=1
możemy go zapisać jako
r
P
h=1
bijh an , dla pewmnych bijh ∈ B. Niech W będzie
podprzestrzenią w B rozpiętą przez {1, bih , bijh }. Jest ona skończenie wymiarowa. Zauważmy, że V + V 2 ⊆ W a1 + . . . + W ar . Indukcyjnie pokazuję, że
V n ⊆ W 2n−1 a1 + . . . + W 2n−1 ar .
Dla n = 1 jest to jasne. Załóżmy tezę dla n > 1. Mamy wówczas:
V n+1 = V n · V ⊆ (W 2n−1 a1 + . . . + W 2n−1 ar )W.
Mamy więc
W 2n+1 ai V ⊆ W 2n−1 ai V · V ⊆ W 2n−1 ai (W a1 + . . . + W ar ) ⊆
Wiemy jednak, ze a2i a1 ⊆ W ai . Zatem całość zawiera się w
zatem:
dv (n) = dimK V n ¬ dimK (W 2n−1 a1 + . . . + W 2n−1 ar ) ¬
P
X
W 2n a2i a1 .
i
W 2i+1 ai . Mamy
i
r · dimK (W 2n−1 )
.
rdW (2n − 1)
Zatem dV (n) ¬∗ dW (n) w sensie relacji ¬∗ . Zatem
lim sup(logn (dV (n)) ¬ lim sup(logn (dV (n)) ¬ GKdim(B).
Liczenie wzrostu poprzez algebry jednomianowe
Powiemy najpierw czym są „monomial algebras”. Niech Khx1 , . . . , xn i - algebra wolna rangi n. Jeśli J jest ideałem generowanym przez pewien zbiór
Z słów z monoidu wolnego hx1 , . . . , xn i, to algebra monomialowa to algebra
Khx1 , . . . , xn i/J.
Jeśli X = hx1 , . . . , xn i jest półgrupą słów, to Khx1 , . . . , xn i = K[X] jest algebrą
połgrupową X. Teraz biorę ideał I - ideał półgrupowy hx1 , x2 , . . . , xn i generowany przez Z. Wówczas algebra monomianowa to jest K0 [X/I], gdzie X/I jest
ilorazem Reesa. Co więcej J = K[I].
16
Definicja 5.1 (Porządek deg-lex na X) Niech w = xi1 . . . xik oraz v = xj1 . . . xjk
będą elementami X. Powiemy, że:
(
|w| < |v|, czyli k < l
w < v ⇐⇒
|w| = |v| oraz w poprzedza v leksykograficznie.
Podstawowe własności. Określony porządek jest dobry (a więc też liniowy).
Co więcej, jeśli w < v oraz a, b ∈ X, to awb < avb. Półgrupa X jest uporządkowana przez <.
Cel jest taki, że jeśli dana jest algebra skończenie generowana A, to chcemy zbudować algebrę jednomianową o tym samym GKdim, a nawet o tej samej funkcji wzrostu. Biorę algebrę A, gdzie A = K[a1 , . . . , an ], dla pewnych
a1 , a2 , . . . , an ∈ A (OSTRZEŻENIE: ten zapis K[cos] oznacza skończone generowanie, a więc najmniejszą podalgebrę nad K zawierającą „coś”). Możemy
wykonać homomorfizm φ : Khx1 , . . . , xn i → A zadany przez xi 7→ ai . Teraz A ≃ KhXi/ ker(φ). Buduję pewien zbiór słów W ⊆ X (potem przyjmę
I = X \ W ). Robimy to rekurencyjnie.
• W0 = {1} (słowo puste).
• Jeśli W0 , . . . , Wn−1 zostały już zdefiniowane, to po pierwsze zapisujemy w
porządku leksykograficznym wszyskie słowa długości n w X, a po drugie
P
idąc od lewej strony wykreślamy każde słowo v takie, że φ(v) =
λi φ(vi ),
dla λi ∈ K, gdzie v1 , . . . vs , że vi < v. To co zostaje to w definicji Wn .
• W to suma wszystkich Wn .
Lemat 5.5 Zachodzą następujące fakty.
1. φ(W ) jest bazą algebry A
2. każde podsłowo (spójny kawałek) słowa w ∈ W jest też elementem zbioru
W
Dowód. Dowodzimy punkt 1). Jest jasne, że A = K[a1 , . . . , an ] = K[φ(x1 ), . . . , φ(xn )].
Niech a = ai1 . . . aik , a zatem a = φ(xi1 . . . xik ). Jeśli w = xi1 . . . xik ∈ W , to
a = φ(w) ∈ φ(W ). Jeśli w ∈
/ W , to φ(w) jest liniową kombinacją φ(vi ), dla
pewnych vi < v. Stąd przez indukcję otrzymujemy, że φ(w) jes liniową kombinacją z φ(W ). Zatem φ(W ) rozpina A jako K-przestrzeń. Gdyby istniały takie
w1 , . . . , wk ∈ W , że λ1 φ(w1 ) + λ2 φ(w2 ) + . . . + λk φ(wk ) = 0, przy czym λi 6= 0.
P
Zatem φ( λi wi ) = 0, gdzie λi nie są równocześnie równe 0. Stąd zgodnie z
definicją W jeśli w1 < w2 < . . . < wn , to wr ∈
/ W . Sprzecznosć.
Załóżmy, że w = avb, gdzie a, v, b ∈ X oraz w ∈ W . Przypuśćmy, że v ∈
/ W.
Zatem istnieją v1 , . . . , vk ∈ X, że xi < v oraz φ(v)
jest
liniową
kombinacją
φ(v
i ).
P
P
λi φ(vi ) φ(b) =
λi φ(avi b).
Zatem φ(w) = φ(avb) = φ(a)φ(b)φ(c) = φ(a)
i
Ale vi < v. Zatem avi b < avb = w. Zatem ten jednomian został wyrzucony z
W . Sprzeczność.
Konsekwencje.
17
• Jeśli I = X \ W , to I ⊳ X (chodzi o ideał półgrupowy). Bierze się to stąd,
że W jest zamknięty na branie podsłów.
• KhXi/ K[I] to algebra jednomianowa odpowiadająca pewnej prezentacji
A (czyli φ : KhXi → A. Bazą tej algebry jest W .
Wniosek 5.1 Funkcja wzrostu A (odpowiadająca podprzestrzeni V = {1, a1 , . . . , an }
równa się funkcji wzrostu algebry KhXi/ K[I] odpowiadającej podprzestrzeni V =
{1, x1 , . . . , xn }. Stąd GKdim(A) = GKdim(KhXi/ K[I]).
6
WYKŁAD SZÓSTY
Zachowanie się wymiaru Gelfanda-Kiryłowa przy podstawowych konstrukcjach.
Dotychczas było, że jeśli B ⊆ A lub A → B jest epimorfizmem, to GKdim(B) ¬
GKdim(A). Teraz szereg konstrukcji.
Stwierdzenie 6.1 GKdim(A1 ⊕ A2 ) = max{GKdim(A1 ) + GKdim(A2 )}.
Dowód. Fakt, że zachodzi nierówność ­ jest oczywista, bo każda z algebr A1 ,
A2 jest podalgebrą sumy prostej. Niech W będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią w A1 ⊕ A2 . Wtedy W ⊆ W1 ⊕ W2 , gdzie Wi ⊆ Ai to rzuty W
na Ai . Jeśli W była sk. wymiarowa, to także Wi są sk. wymiarowe. Niech
max{GKdim(A1 ) + GKdim(A2 )} = α. Wiemy (było), że GKdim(A) = inf{g ∈
R | dV (n) ¬ nρ , pw., gdzie V ⊆ A to skończenie wymiarowa podprzestrzeń A.
Zatem dla każdego ǫ > 0 mamy: dWi ¬ nα+ǫ/2 , dla prawie wszystkich n. Stąd
dimK (W n ) = dW (n) ¬ dW1 (n) + dW2 (n) ¬ 2nα+ǫ/2 ¬ nα+ǫ ,
dla prawie wszystkich n. Stąd lim sup(logn (dV (n)) ¬ α.
Stwierdzenie 6.2 Jeśli I1 , . . . , In ⊳ A, to
GKdim(A/(I1 ∩ I2 ∩ . . . ∩ In )) = max{GKdim(A/Ij )}.
Dowód. Wiadomo, że A/(I1 ∩ I2 ∩ . . . ∩ In ) zanurza się w sumę prostą A/I1 ⊕
. . . A/Ij . Z drugiej strony mamy surjekcję.
Można wykazać też następujący fakt (ale nie będziemy tego robić, bo wymaga
to dużo środków):
Twierdzenie 6.1 Jeśli I1 , . . . , In ⊳ A, to:
GKdim(A/I1 I2 . . . In ) ¬
n
X
GKdim(A/Ij ).
j=1
Wniosek 6.1 Jeśli I ⊳ A oraz I n = 0 dla pewnego n, to
GKdim(A) ¬ n · GKdim(A/I).
18
Wniosek 6.2 Jeśli A jest prawostronnie noetherowska, to wiemy, że B(A)n =
0, gdzie B(A) jest radykałem pierwszym, zatem GKdim(A) ¬ nGKdim(A/B(A)).
To jest ciekawe, bo tu wkracza tw. Goldiego, które pozwala nam dużo mówić o
tych ilorazach. Potem zobaczymy coś takiego także dla skończenie generowanych
P I-algebr.
Stwierdzenie 6.3 Zachodzi równość: GKdim(A[x]) = GKdim(A) + 1.
Wiemy, że GKdim(K[x1 , . . . , xd ] = d), a teraz będzie coś ogólniejszego.
Dowód. Zaczniemy od dowodu nierówności ¬. Niech B będzie skończenie generowaną podalgebrą w A[x]. Można powiedzieć, że B ⊆ A′ [x], gdzie A′ jest
skończenie generowaną podalgebrą w A. Mogę zakładać, że A jest skończenie
generowana. Niech zatem V będzie skończenie wymiarową podprzestrzenią generującą A. Niech W = V + Kx, gdzie K to ciało, nad którym jest algebra.
Mogę zakładać (wiadomo), że 1 ∈ V . Zatem:
W n = (V + Kx)= V n + V n−1 x + V n−2 x2 + . . . + V n−1 + Kxn .
Skoro dim(V i x) ¬ dim(V n ), to dW (n) = dim(W n ) ¬ (n + 1)dv (n). Zatem:
lim sup(logn (dV (n)) ¬ lim sup(logn ((n+1)dV (n))) ¬ 1+lim sup(logn (dV (n)) ¬ 1+GKdim(A).
Niech W będzie podprzestrzenią skończenie wymiarową w A i niech W = V +
Kx, przy czym 1 ∈ V . Wiadomo, że
W 2n = (V + Kx)2 n ⊇ V n + V n x + . . . V n xn .
Zatem dW (2n) ­ (n + 1)dV (n).
Stwierdzenie 6.4 max{GKdim(A1 ), GKdim(A2 ) ¬ GKdim(A1 ⊗A2 ) ¬ GKdim(A1 )+
GKdim(A2 ).
Dowód. Wiemy, że A1 ≃ A1 ⊗ K ֒→ A1 ⊗ A2 . Niech W ⊆ A1 ⊗ A2 - skończenie
wymiarową. Istnieją W1 ⊆ A1 oraz W2 ⊆ A2 takie, że W ⊆ W1 ⊗ W2 . Teraz
W n = (W1 ⊗ W2 )n = W1n ⊗ W2n = dim(W1n ) · dim(W2n ). Zatem
lim sup(logn (dV (n)) = lim sup(logn (dW1 (n)·dW2 (n)) ¬ lim sup(logn (dW1 (n))+lim sup(logn (dW2 (n)).
Jeśli lim sup(logn (dW1 (n))) = lim(logn (dW1 (n))), wtedy
GKdim(A1 ⊗ A2 ) = GKdim(A1 ) + GKdim(A2 ).
Czy są takie algebry? Otóż są, np. algebra wielomianów A1 = K[x1 , . . . , xn ].
Inny przykład: jeśli GKdim(A1 ) = 0, 1 lub 2. Trzeci przykład: jeśli G to jest
grupa oraz GKdim(K[G]) < ∞, to K[G] też ma tę własność. Czwarty przykład: jeśli L jest skończenie wymiarową algebrą Liego to A = U (L) jest algebrą
obwiednią algebry L i też ma tę własność.
Następnym zagadnieniem będzie badanie GKdim(Mn (A)).
19
Lemat 6.1 Niech MR będzie skończenie generowanym modułem prawostronnym nad R. Wtedy istnieje podalgebra S ⊆ Mn (R), dla pewnego n oraz homona
morfizm S →→ EndR (M ).
Dowód. Niech MR = m1 R + . . . + mn (R) dla pewnych mi ∈ M oraz pewnego
na
n ­ 1. Istnieje zatem homomorfizm R-modułów π : Rn → M tak, że ǫi 7→ mi .
Zatem M ≃ Rn / ker(π). Utożsamiany EndR (Rn ) z Mn (R). Niech S := {α ∈
Mn (R), | α(ker(π)) ⊆ ker(π)}. Zauważmy, że S jest podalgebrą. Weźmy takie
α ∈ S. Jest jasne, że α indukuje endomorfizm α′ modułu M traktowanego jako
iloraz. Jest on określony wzorem α′ (x + ker(π)) = α(x) + ker(π). Mamy więc
dobrze określoną funkcję φ : S → End(M ). Ona przeprowadza α na α′ . Chcemy
pokazać, że φ jest epimorfizmem. Fakt, że to homomorfizm jest jasny, bo samo
α jest endomorfizmem. Zostaje kwestia, że jest to surjekcja. Niech β ∈ End(M ).
Czy istnieje α ∈ S, że φ(α) = β? To też jasne.
Wniosek 6.3 GKdim(EndR (M )) ¬ GKdim(S) ¬ GKdim(Mn (R)) = GKdim(R).
Dowód. Wiemy, że Mn (A) ≃ Mn (K) ⊗ A. Zatem GKdim(Mn (K)) = 0. Zatem
dV (n) jest stała. Zatem lim sup(logn (dV (n)) = lim(logn (dV (n))).
′
jest skończenie generowaStwierdzenie 6.5 Jesli R ⊆ R′ to algebry oraz RR
′
nym modułem prawostronnym, to GKdim(R ) = GKdim(R).
Dowód. Mamy zanurzenie R′ ⊆ EndR (R′ ). Dla r′ ∈ R′ , to φr′ (x) = r′ x. Zatem
GKdim(R′ ) ¬ GKdim(R). A w drugą stronę nierówność jest jasna.
Definicja 6.1 (Centralna lokalizacja) Niech A będzie algebrą, zaś C ⊆ Z(A).
Przypuśćmy, że C jest multiplikatywnie zamknięty oraz, że C składa się z samych elementów regularnych (nie będących dzielnikami 0). Wtedy istnieje tzw.
centralna lokalizacja R względem C, ozn. RC albo RC −1 złożony z elementów
ac−1 , przy pewnych utożsamieniach.
Stwierdzenie 6.6 GKdim(RC ) = GKdim(R).
Mamy pewne przykłady. Niech R = K[x1 , . . . , xn ] oraz C = R 6= {0}, zatem
RC −1 to funkcje wymierne K(x1 , . . . , xn ), a więc wymiar wielomianów i ciała
ułamków jest taki sam i równy n. Inny przykład. Jeśli G jest grupą abelową
skończenie generowaną. Rozważmy
K[G] ≃ K[Z n × H] ⊇ K[Z n ].
−1
Ale K[Z n ] = K[x1 , x−1
1 , . . . , xn , xn ]. Ale to ostatnie to lokalizacja przy odwróceniu jednomianów. Zatem GKdim(KG) jest rangą beztorsyjną tej grupy.
OSTRZEŻENIE. Jeśli lokalizacja jest niecentralna, to nie jest prawda. Jeśli
wezmę A1 – pierwszą algebrę Weyla. Można sprawdzić, że wymiar A1 to 2, a
ułamki nad nią mają wymiar nieskończony, co więcej zawierają algebrę wolną
nieprzemiennych zmiennych.
20
7
WYKŁAD SIÓDMY
Twierdzenie 7.1 Niech S ⊆ Z(A), przy czym S jest multiplikatywnie zamknięty oraz zawiera jedynie elementy regularne. Wówczas GKdim(AS −1 ) =
GKdim(A).
Dowód. To, że zachodzi nierówność ”­” jest jasne, bo A ֒→ AS −1 , przy czym
a 7→ a · 1−1 .. Pozostaje zatem dowieść ”¬”. Niech W ⊆ AS −1 jest skończenie
wymiarową podprzestrzenią. Np. W = linK {a1 s−1 , . . . , ak s−1
k }, przy czym ai ∈
A, si ∈ S. Istnieją zatem takie bi ∈ A oraz S ∈ S, że W jest rozpinane przez
b1 s−1 , . . . , bk s−1 . Wtedy W s ⊆ A jest podprzestrzenią skończenie wymiarową
w A. Niech V = W s + Ks + K · 1. Wiadomo, że kolejne potęgi V zawierają się
w sobie. Zatem: dW (n) = dimK (W n ) ¬ dimK (V s s−n ) = dimK (V n ) = dV (n).
Zatem dW ¬ dV . Zatem GKdim(AS −1 ) ¬ GKdim(A).
Tak nie jest (na ogół), jeśli lokalizacja nie jest centralna (w sensie Ore’go).
Zobaczymy przykład na ćwiczeniach.
Informacja o pewnych ważnych i trudnych twierdzeniach o
wymiarze Gelfanda-Kiryłowa
I. Wzrost grup, wymiar algebr grupowych
Twierdzenie 7.2 (Gromov) Jeśli G jest skończenie generowana (a zatem K[G]
jest skończenie generowaną algebrą), to GKdim(K[G]) < ∞ wtedy i tylko wtedy,
gdy G jest grupą prawie nilpotentną.3
Przypomnijmy definicje.
Definicja 7.1 Niech G będzie grupą. Określamy dolny ciąg centralny dla G:
ξ0 = G,
ξ1 = [G, G], ξk = [G, ξk−1 ].
Jasne, że:
G = ξ0 ⊇ ξ1 ⊇ ξ2 ⊇ . . .
Jeśli istnieje r takie, że ξr jest grupa trywialną, to mówimy, że G jest nilpotentna. Uwaga:
{abelowe} ⊆ {nilpotentne} ⊆ {rozwiązalne}.
Twierdzenie 7.3 (Tits) Jeżeli G jest nilpotentna, skończenie generowana, to
X
GKdim(K[G]) =
i · di ,
i
gdzie di jest rangą beztorsyjną i-tego ilorazu.
3 Inna
terminologia to nilpotent-by-finite, virtually nilpotent, a więc istnieje N ⊳ G, że N
jest nilpotentna, zaś G/N - skończona
21
Twierdzenie 7.4 Funkcja wzrostu dla skończenie generowanej grupy nilpotentnej G jest równoważna funkcji wielomianowej (w sensie ¬∗ ).
Twierdzenie 7.5 (Grigorczuk) Istnieją skończenie generowane grupy, których wzrost jest podwykładniczy, tzn. nie jest równoważny wykładniczemu ale
też nie jest ograniczony przez żaden wzrost wielomianowy.
Twierdzenie 7.6 (Grigorczuk) Jeśli S jest podpółgrupą w grupie nilpotentnej G, to grupa generowana przez S w G ma taki sam wzrost co S (a więc można
stosować poprzednie twierdzenia).
Wiemy, że jeśli G jest skończenie generowana prawie nilpotentna, to istnieje
nilpotentna podgrupa normalna N skończonego indeksu w G. Zatem K[G] jest
skończenie generowany jako K[N ]-moduł. Zatem wymiary K[G] oraz K[N ] są
równe.
Twierdzenie 7.7 (Alternatywa Titsa) Jeśli G ⊆ Gln (K), gdzie K jest dowolnym ciałem, jest skończenie generowaną podgrupą, to albo G zawiera podgrupę wolną rangi 2, albo G jest prawie rozwiązalna.
Twierdzenie 7.8 (Salwa, JO) Ponadto (alt. Titsa) albo G zawiera podpółgrupę wolną rangi ­ 2, albo G jest prawie nilpotentna.
Zatem jeśli jest grupa, którą da się włożyć w macierze nad ciałem to ma ona
albo wzrost wielomianowy, albo wykładniczy (czyli takie przykłady jak Grigorczuka nie istnieją).
II. Algebry małego wymiaru
Był problem: jeżeli R jest algebrą z gradacją, R - skończenie generowana i
dimK (R0 ) < ∞. Założmy, że R jest dziedziną. Czy wymiar GKdim(R) ∈
N ∪ {∞}.
Ogólniejszy problem (bardzo trudny): jeżeli R jest dowolną dziedziną, to czy
GKdim(R) ∈ N ∪ {∞}?
Twierdzenie 7.9 Jeśli R jest z gradacją i dziedziną (sk. generowaną), z faktu,
że GKdim(R) > 2 wynika, że GKdim(R) ­ 3.
III. Algebry spełniające tożsamości wielomianowe
Definicja 7.2 Niech A będzie algebrą. Jeśli istnieje taki niezerowy wielomian
f ∈ Khx1 , . . . , xn i taki, że f (a1 , . . . , an ) = 0, dla każdych a1 , . . . , an ∈ A, to A
nazywamy P I-algebrą.
Przykłady:
• A - przemienna
• A - nilpotentna (bez 1)
22
• Mn (A), gdzie A - przemienna (ogólniej, gdzie A - PI)
• G-grupa prawie abelowa, to K[G] jest PI.
Twierdzenie 7.10 (A. Braun) Jeśli A jest skończenie generowana i P I, to
J(A) jest nilpotentny.
Twierdzenie 7.11 W powyższej sytuacji B(A) = J(A).
Twierdzenie 7.12 (Posner) Jeśli A jest skończenie generowaną algebrą PI,
pierwsza, to Z(A) \ {0} jest multiplikatywnie zamknięty zbiór składający się z
elementów regularnych w A. Zatem A ⊆ AS −1 . Co więcej, AS −1 ≃ Mn (D),
gdzie D jest dziedziną o skończonym wymiarze nad swoim centrum (równym
notabene Z(A)S −1 .)
Wniosek 7.1 GKdim(A) = GKdim(Z(A)) ∈ N, jeśli A jest skończenie generowaną PI algebrą pierwszą.
Wniosek 7.2 Jeśli A jest dowolną P I algebrą, to jej wymiar GKdim(A) < ∞.
Drugi problem (bardzo trudny): jeśli A - prawostronnie noetherowska, to czy
GKdim(A) jest liczbą naturalną lub nieskończonością?
Twierdzenie 7.13 (Braun) Jeśli A jest skończenie generowaną P I-algebrą
prawostronnie noetherowską, to A ֒→ Mn (F ) dla pewnego ciała F oraz pewnego
n.
Twierdzenie 7.14 (Markov) Jeśli A ֒→ Mn (F ) dla pewnego ciała F oraz
jeśli A jest skończenie generowana, to GKdim(A) jest liczbą naturalną.
Twierdzenie 7.15 (Small, Warfield) Jeśli A jest skończenie generowana oraz
GKdim(A) = 1, to A jest PI.
IV. Porównanie z wymiarem Krulla
Twierdzenie 7.16 Jeśli R jest prawostronnie noetherowska, to GKdim(R) ­
wymiar Krulla R.
Zastosowanie grafów do liczenia wymiaru Gelfanda-Kiryłowa
Definicja 7.3 Przez graf Γ rozumiemy parę (V, E), gdzie V ⊆ V ×V . Określamy
pojęcia: drogi, łańcucha (droga bez powtarzających się krawędzi), cykl (łańcuch
o początku równym końcowi), cykl prosty (każdy wierzchołek cyklu z wyjątkiem
początku jest użyty jeden raz).
Przyjmijmy, że X = hx1 , . . . , xn i jest monoidem wolnym. Niech I ⊳ X (ideał w
X) generowany przez skończony zbiór elementów. Zatem
I = Xw1 X ∪ Xw2 X ∪ . . . ∪ Xwr X.
23
Niech k ∈ N takie, że k + 1 jest maksymalną z długości słów w wi . Zakładamy,
że k 6= 0. Definiuję graf Γ(I). Jest to V = {v ∈ X \ I : |v| = k}. Natomiast jeśli
s, t ∈ V to (s, t) ∈ E wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją x, y ∈ {x1 , . . . , xn }, gdzie
sx = yt ∈
/ I.
Przykłady. Niech n = 4 oraz hx1 , x2 , x3 , x4 i podzielone przez ideał generowany
przez xj xi , dla każdego j > i. Zatem słów w X jest skończenie wiele. Każde
z tych słów jest długości 2, a zatem k = 1. Zatem V = {x1 , x2 , x3 , x4 }. Na
przykład x1 · x1 = x1 · x1 ∈
/ I. Mam więc pętelkę w x1 . Mamy też x1 x2 = x1 x2 ∈
/
I. Ale nie ma strzałki z x2 do x1 , bo x2 x1 ∈ I.
8
WYKŁAD ÓSMY
BYŁO. Jeśli I ⊳ X = hx1 , . . . , xn i - wolny monoid. I jeśli I = (w1 , . . . , wn ),
gdzie wi ∈ X oraz jeśli k jest taką liczbą, że k + 1 jest maksymalną z długości generatorów wi , to możemy rozpatrywać graf Γ = Γ(I) = (V, E), gdzie
V = {v ∈ X \I : |v| = k} oraz E = {(s, t) ∈ V ×V : ∃x,y∈{x1 ,...,x n} sx = yt ∈
/ I}.
Był już jeden przykład. A terax kolejny. Niech X = hx, yi oraz I = (x3 , yxy, xyx).
Długości generatorów I wynoszą 3, a więc k = 2. A więc piszemy wszystkie słowa długości 2: {x2 , y 2 , yx, xy}. I to są wierzchołki. Aby mieć strzałki patrzę na
słowa długości 3 i patrzę, czy one mogą mieć „dwa zapisy”. Wypisujemy słowa
długości 3, ale te, których nie ma w I: xxy, yxx, xyy, yyx, yyy. Każde z nich da
jedną strzałkę w grafie. Zatem mamy strzałki x2 → xy, yx → x2 , y 2 → yx oraz
y 2 → y 2 . Ten graf ma wierzchołki podwójnie cykliczne, tzn. v ∈ V takie, że v
należy do dwóch różnych cykli prostych (dokładniej, w tym przypadku jeden
wierzchołek jest cykliczny).
UWAGA. Krawędzie Γ(I) są w bijekcji ze słowami w X o długości k + 1 nie
należącymi do I. Istotnie, jeśli y1 . . . yk+1 ∈ X \ I, przy czym yi ∈ {x1 , . . . , xn },
zatem mamy krawędź z y1 . . . yk do y2 . . . yk+1 . Odwrotnie, jeśli (s, t) ∈ E, to
jeśli s = y1 . . . yk oraz t = z1 . . . zk takie, że si , zi ∈ {x1 , . . . , xn }. Zatem sx = yt.
To jest równość słów. Co więcej z założenia element ten nie należy do I. Z tych
równości łatwo produkujemy odpowiednie słowa.
Definicja 8.1 Funkcja wzrostu dla grafu Γ to funkcja dΓ (m) równa z definicji
liczbie dróg długości ¬ m w grafie Γ. Wymiarem GK grafu Γ nazywamy liczbę
lim sup(logn (dΓ (m)).
Stwierdzenie 8.1 Rozważmy graf (na karteczce), gdzie σ1 , . . . , σd to cykle proste, zaś z1 , . . . , zd+1 to łańcuchy proste. Wówczas Γ ma wzrost wielomianowy.
Dowód. Niech n będzie liczbą krawędzi w Γ, zaś n1 , n2 to odpowiednio maksymalne i minimalne długości σ1 , . . . , σd . Niech P (m) będzie zbiorem wszystkich
d-podziałów liczb ¬ m. Czyli jest to zbiór k1 , . . . , kd takich, że ki ¬ 0 oraz
k1 + . . . + kd ¬ m. Niech p(m) będzie mocą zbioru P (m). Jeśli (k1 , . . . , kd ) ∈
P (m), to przyporządkowuję mu drogę w Γ postaci: k1 razy przechodzę cykle σ1 ,
24
potem z2 , potem k2 razy cykl σ2 , potem k3 itd. aż do kd razy cykl σd . Jest to
droga długości nie większej niż n1 · m + n. Zatem dΓ (n1 m + n) ­ p(m). Zatem
dΓ ­∗ p. Jeśli mam natomiast drogę długości n2 m, to jej odpowiada ciąg liczb
l1 , . . . , ld , które określają liczbę obrotów wobec σ1 , . . . , σi . Droga ta ma zatem
długość l1 (σ1 ) + . . . ld (σd ) ¬ (l1 + . . . + ld )n2 czyli n2 ¬ l1 + . . . + ld . Zatem z
dokładnością do stałej
dΓ (m) ¬ dΓ (n2 m) ¬ k 2 p(m).
Zatem dΓ ¬∗ p. No i nietrudno pokazać, ze p jest wielomianowa.
Twierdzenie 8.1 Jeśli I = (w1 , . . . , wn ) jest skończenie generowanym ideałem
w X = hx1 , . . . , xn i, to KhXi/KhIi oraz Γ(I) maja równoważne funkcje wzrostu.
Dowód. Niech m > k. Było już, że słowa długości k + 1 ∈ X \ I są w
jednoznacznej odpowiedności z Γ(I). Weźmy y1 y2 . . . ym ∈ X \ I, przy czym
yi ∈ {x1 , . . . , xn }. Temu przyporząkowujemy drogę w Γ(I) postaci
y1 y2 . . . yk → y2 y3 . . . yk+1 → . . . ym−k+1 ym−k . . . ym .
Jest to istotnie droga w Γ i ma ona długość m − k. I odwrotnie, jeśli mam drogę
długości m − k to ona pochodzi od pewnego słowa długości m. Jest ono poza I,
ponieważ jeśli miałem słowo y1 . . . ym . Gdyby ono było w I, to byłoby podzielne
przez jeden z generatorów. Ale każdy z nich ma długość k+1. A generatory mają
długość co najwyżej k. Czyli dla m > k słowa długości co najwyżej m w X \ I
są w bijekcji z drogami długości m − k w Γ(I). Zatem dX\I (M ) = dΓ (m − k).
Wobec tego dX\I ∼ dΓ .
Twierdzenie 8.2 (Ufnarovskii) Wzrost grafu Γ(I) jest wykładniczy lub wielomianowy oraz:
1. GKdim(Γ) = d < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy Γ nie ma wierzchołków podwójnie cyklicznych oraz d to maksymalna liczba taka, że Γ zawiera podgraf
z PRZYKŁADU (długośći d).
2. GKdim(P (I)) = ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy P am wierzchołek podwójnie
cykliczny.
Dowód. Zaczniemy od oczywistego lematu.
Lemat 8.1 Niech Γ będzie skończonym zorientowanym grafem. Wówczas:
1. Jeśli przez każde dwie krawędzie Γ przechodzi pewna doga oraz v ∈ V
nie leży w żadnym cyklu, to co najwyżej jedna krawędź wychodzi z v i co
najwyżej jedna wchodzi do v.
25
2. Załóżmy, że Γ nie ma wierzchołków podwójnie cyklicznych. Niech σ będzie
cyklem prostym oraz y to pewna krawędź nie należąca do σ, ale taka, że
początek (lub koniec) należy do σ. Wtedy dla każdej drogi z o pierwszej
krawędzi (ostatniej krawędzi) y wierzchołek v jest jedynym wierzchołkiem
σ zawartym w z.
3. Jeśli y1 , y2 ∈ E są takie, że żadna droga nie zawiera na raz y1 i y2 to
funkcje dΓ oraz dΓ1 + dΓ2 są równoważne, gdzie Γi = Γ \ {yi }. A więc
GKdim(Γ) = sup{GKdim(Γi )}.
Zacznijmy od przypadku 2). Jesli istnieją dwa cykle proste σ1 , σ2 przechodzące przez pewien v ∈ V . Niech n będzie maksimum z długości σ1 , σ2 . Jeśli
ǫ = ǫ1 → . . . → ǫn jest drogą w Γ, gdzie ǫi ∈ {0, 1} i „0” oznacza pójście do σ1 , a „1” oznacza pójście po σ2 . Przyporządkowuję jej dogę postaci
Aǫ1 → Aǫ2 → . . . → Aǫm . Takich dróg jest 2m . Długość takiej drogi jest nie
mniejsza niż n · m. Zatem dΓ (nm) ­ 2m . Zatem dΓ ­∗ 2m .
Założmy teraz 1) Możemy założyć, że Γ jest spójny. Korzystając z punktu trzeciego w lemacie mogę założyć, że każde dwie krawędzie są zawarte w pewnej
drodze. Teraz są dwa przypadki.
• Jeśli Γ nie ma żadnego cyklu, to sprawa jest jasna, bo graf ma skończenie
wiele dróg. Zatem funkcja dΓ (n) jest stała od pewnego miejsca. Zatem
GKdim(Γ) = 0.
• Założmy, że Γ ma cykl. Wybieram maksymalnej długości podgraf Γ′ z
PRZYKŁADU. Na pewno zawiera on wszystkie cykle w Γ. Istotnie, gdyby istniał cykl σ leżący poza tym maksymalnym, to wiedząc, że każde
dwie krawędzie są zawarte w pewnej drodze wiemy, że dałoby się połączyć
Γ′ oraz σ drogą. Ale to przeczy maksymalności Γ′ . Wiemy, że wzrost Γ′
jest rodzaju md . Ale poza Γ′ mamy skończenie wiele dróg, a więc funkcje
wzrostu Γ oraz Γ′ są równoważne.
Niech V będzie grafem skończonym i V = {v1 , . . . , vn }, zaś B jest r ×r macierzą
o współrzędnych (bij ), gdzie bij jest liczbą krawędzi od vi do vj . To jest tzw.
„macierz incydencji” grafu Γ. Teraz jeśli (B n )ij zawiera liczbę dróg z i do j o
długości równej przynajmniej n. Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że macierz taka spełnia swój wielomian charakterystyczny, a więc χB (B) = 0, gdzie
r−1
P
λi B i .
χB (x) jest wielomianem charakterystycznym macierzy B. Zatem B r =
i=0
To nam daje rekurencję, bo B
r+m
=
r−1
P
i=0
λi B
i+m
. Jeśli am jest sumą wszyst-
kich aij (a więc miejsc tej macierzy), a więc liczbą wszystkich dróg długości m w
grafie. To daje szereg Poincarego, który przy takiej rekurencji liniowej jest funkcją wymierną. A jest fakt kombinatoryczny, że wzrost przy funkcji wymiernej
jest albo wymierny albo wykładniczy. I to jest ogólny kombinatoryczny powód,
który był intuicją dla Ufnarovskiego.
26
9
WYKŁAD DZIEWIĄTY
Wymiar Krulla „modułowy” (Gabriela-Renschlera)
Literatura:
• Passman. A course in Ring Theory
• Lam. Lectures on Modules and Rings
Na początek powiemy o wymiarze Goldiego (wymiar jednolity). Umawiamy się,
że R jest pierścieniem z 1. Moduły będą natomiast prawostronne nad R.
Definicja 9.1 Niech V będzie R-modułem. Mówimy, że V jest jednolity jeśli
V 6= 0 oraz V nie zawiera sumy prostej swoich niezerowych podmodułów, tzn.
dla każdych niezerowych V1 , V2 ⊆ V mamy V1 ∩ V2 6= 0.
Definicja 9.2 Podmoduł E modułu V jest istotny (jako podmoduł w V ) jeśli
dla każdego X ⊆ V - podmodułu niezerowego mamy X ∩ E 6= 0. Innymi słowy,
dla każdego X 6= 0 zawartego w V mamy X ⊆e V .
Proste przykłady. Jeśli R = K jest ciałem, to V jest jednolity, gdy dimK (V ) = 1
oraz E ⊆ V jest istotny wtw gdy E = V . Na ogół stosuje się notację E <e V .
Lemat 9.1 Niech V będzie R-modułem, V 6= 0. Wtedy jeśli E1 ⊆ W1 , E2 ⊆ W2
to podmoduły w V , to:
1. jeśli Ei jest istotny w V , dla i = 1, 2, to E1 ∩ E2 też,
2. jeśli E1 jest istotny w V , to W1 istotny w V ,
3. jeśli E ⊆e W1 , W1 ⊆e V , to E ⊆e V ,
4. jeśli Ei ⊆e Wi , oraz W1 ∩ W2 = 0, to E1 ⊕ E2 ⊆e W1 ⊕ W2 .
Dowód. Dowodu wymaga tylko punkt (4). Weźmy W1 ⊕ W2 . Wiemy, że Ei ⊆e
Wi . Niech X 6= 0 będzie zawarty w W1 ⊕ W2 . Rozważmy, X ∩ (E1 ⊕ E2 ).
Wystarczy jeśli za X wezmę mniejszy moduł cykliczny xR, dla pewnego niezerowego x ∈ X. Wiadomo, że x = w1 +w2 , gdzie wi ∈ Wi . Gdyby X ∩W1 6= 0 lub
X ∩W2 6= 0, to teza byłaby jasna, bo np. w pierwszej sytuacji, (X ∩W1 )∩E1 6= 0,
bo E1 ⊆e W1 . Wtedy jednak także X ∩ (E1 ⊕ E2 ) 6= 0. Załóżmy zatem, że
X ∩ W1 = 0 oraz X ∩ W2 = 0. Wynika stąd, że w1 6= 0 oraz w2 6= 0. Istnieje
r ∈ R, że w1 r ∈ E1 , bo E1 ⊆e W1 . Zatem xr = w1 r + w2 r. Ale w1 r 6= 0 jest
elementem E1 , zatem xr 6= 0. Zauważmy, że w2 r też niezerowy, bo X ∩ W2 = 0.
Wobec tego istnieje r ∈ R, że 0 6= (w2 r)r′ ∈ E + 2. Zatem xrr′ = w1 rr′ + w2 rr′ .
Wiemy, że w2 rr′ 6= 0. Całość należy do X, zatem także Xrr′ 6= 0.
Lemat 9.2 Załóżmy, że V nie zawiera nieskończonych sum prostych podmodułów (niezerowych). Niech 0 6= W ⊆ V . Wtedy:
1. W zawiera podmoduł jednolity o ile W 6= 0.
27
2. istnieje skończenie wiele podmodułów jednolitych U1 , U2 , . . . , Un w V takich, że W ⊕ U1 ⊕ . . . ⊕ Un oraz W ⊕ U1 ⊕ . . . ⊕ Un ⊆e V .
Dowód. Zacznijmy od (1). Przypuśćmy, że W nie zawiera podmodułów jednolitych. Istnieje zatem niezerowy podmoduł 0 6= W1 ⊆ W taki, że W1 nie jest
istotny w W . Przypuśćmy (indukcja), że mamy już W1 , . . . , Wk ⊆ W takie, że
W1 + . . . + Wk = W1 ⊕ . . . ⊕ Wk praz W1 ⊕ . . . ⊕ Wk nie jest istotne w W . Istnieje
zatem jakiś Wk+1 ⊆ W taki, że (W1 ⊕ . . . ⊕ Wk ) ∩ Wk+1 = 0. Ale Wk+1 ⊆ W , z
założenia o W wiemy, że Wk+1 nie jest jednolity. Zatem Wk+1 ⊇ X ⊕ Y , przy
czym X 6= 0, Y 6= 0. Stąd W1 ⊕ . . . ⊕ Wk ⊕ X nie jest istotna w W . Sprzeczność.
Założmy, że dane jest W ⊆ V . Jeśli W jest istotny w V , to n = 0 i teza jasna.
Jeśli natomiast W nie jest istotny w V , to istnieje 0 6= X ⊆ V taki, że W ∩X = 0.
Z (1) istnieje U1 ⊆ X, który jest jednolity. Zatem W + U1 = W ⊕ W1 ⊆ W.
Stosujemy to co wyżej do modułu W ⊕ U1 , dostajemy W ⊕ U1 ⊕ U2 . Itd... Lemat 9.3 Niech V będzie modułem. Założmy, że E = U1 ⊕. . .⊕Us ⊆ V , gdzie
Ui są jednolite oraz E ⊆e V oraz W = W1 ⊕ . . . ⊕ Wt ⊆ V , gdzie Wi 6= 0. Wtedy
t ¬ s.
Dowód. Przypuścmy, że t > s. Przy pomocy indukcji względem i pokażemy, że
po pewnej permutacji modułów Uj mamy sumę prostą następującej postaci:
Vi = U1 ⊕ . . . ⊕ Ui ⊕ Wi+1 . . . ⊕ Wt .
Jeśli i = 0, to V0 = W1 ⊕ . . . ⊕ Wt ⊆ V . Krok indukcyjny. Założmy, że
Vi = U1 ⊕ . . . ⊕ Ui ⊕ Wi+1 . . . ⊕ Wt ma miejsce dla pewnego i < s. Niech
Vi′ = U1 ⊕ . . . ⊕ Ui ⊕ Wi+2 ⊕ . . . ⊕ Wt . Jasne, że Vi = Vi′ ⊕ Wi+1 . W szczegolności
V ′ nie jest istotny w V . Niech X = (U1 ∩ Vi′ ) ⊕ . . . ⊕ (Us ∩ Vi′ ).
Jeśli U1 ∩Vi′ 6= 0, to 0 6= Uj ∩V1′ ⊆ Uj , który jest jednolity. Zatem Uj ∩Vi′ ⊆e Uj .
Wiemy, zatem, że Ut ⊆e Ut ∩ Vi′ , zatem z lematu X jest istotny w U1 ⊕ . . . ⊕ Us .
Ale ta suma prosta z założenia jest istotna w całym V . Kolejny punkt lematu
mówi, że X ⊆e V . Ale X zawarte jest w Vi′ . Stąd Vi′ jest istotny. A to sprzeczność. Zatem istnieje j takie, że Uj ∩ Vi′ = 0. Wynika stą, że j > i.
Po przenumerowaniu możemy założyć, że j = i + 1. Zatem Vi′ ∩ Ui+1 = 0. Stąd
Vi′ + Ui+1 = Vi′ ⊕ Ui+1 = U1 ⊕ . . . ⊕ Ui ⊕ Ui+1 ⊕ Wi+2 ⊕ . . . Wt .
Dla i = s teza indukcyjna daje, że Vs = U1 ⊕ . . . ⊕ Us ⊕ Ws+1 . . . ⊕ Wt ⊆ V . Ale
to niemożliwe, bo U1 ⊕ . . . ⊕ Us istotna w V . Sprzeczność z przypuszczeniem, że
t > s.
Twierdzenie 9.1 Założmy, że moduł V nie zawiera nieskończonych sum prostych podmodułów niezerowych. Wtedy istnieje liczba n naturalna oraz podmoduły jednolite U1 , . . . , Un w V , że U1 ⊕ . . . ⊕ Un = U1 + . . . + Un oraz ta suma
jest istotna w całym V .
28
Dowód. Z lematu 2 wynika, że takie n istnieje. Z lematu 3 wynika jedyność.
Definicja 9.3 Liczba określona w twierdzeniu nazywa się wymiarem jednolitym modułu V (wymiarem Goldie’go). Oznaczamy go jako u − dim(V ). Jeśli V
zawiera nieskończone sumy proste to przyjmujemy, że u − dim(V ) = ∞.
UWAGI.
• Jeśli V = RR , to piszemy, że u − dim(RR ) jest prawostronnym wymiarem
Goldiego pierścienia R.
• Okazuje się, że na ogół u − dim(RR ) 6= u − dimR R.
• V nie zawiera nieskończonych sum prostych ⇐⇒ istnieje n takie, że jeśli
W1 ⊕ . . . ⊕ Wj ⊆ V i dla każdego i mamy Wi 6= 0, to j ¬ n.
Definicja 9.4 (Goldie) Pierścień nazywamy prawostronnie Goldiego jeśli:
• u − dim(RR ) < ∞
• R ma acc na prawostronne ideały anihilatorowe.
Definicja 9.5 Niech R będzie pierścieniem. Jeśli Q jest pierścieniem takim, że:
• R⊆Q
• każdy element regularny w R jest odwracalny w Q
• dla każdego 0 6= q ∈ Q istnieją a, s ∈ R, że s-regularny w R taki, że
q = as−1 .
to Q nazywamy klasycznym pierścieniem ułamków prawostronnych dla R. Oznaczamy go często przez Qrcl (R).
Uwagi. Taki pierścień ułamków nie musi istnieć nawet jeśli R jest dziedziną.
Jeśli dla R istnieje takie Q to jest ono jedyne. Jeśli istnieją ułamki lewostronne
i prawostronne, to są one izomorficzne.
Twierdzenie 9.2 (Goldie) Następujące warunki są równoważne:
1. R jest półpierwszym (nie ma ideałów nilpotentnych) pierścieniem prawostronnie Goldiego
2. R ma ułamki prawostronnie klasyczne oraz Qrcl (R) jest półprosty artinowski
Stwierdzenie 9.1 Jeśli R jest prawostronnie noetherowski, to R jest prawostronnie Goldiego.
Dowód. Warunek acc wynika natychmiast z noetherowskości. Jeśli jest on prawostronnie noetherowski, to nie może zawierać nieskończonej sumy prostej ideałów.
Wniosek 9.1 Twierdzenie działa dla dowolnego półpierwszego pierścienia prawostronnie noetherowskiego.
29
10
WYKŁAD DZIESIĄTY
Dzisiejszym tematem będzie WYMIAR KRULLA. W tym kontekście to, co
robiliśmy na poprzednim wykładzie nazywa się klasycznym wymiarem Krulla.
Za autora tego pojęcia uważa się Gabriela. W obiegu funkcjonują dwa pojęcia:
wymiaru Gabriela oraz wymiaru Gabriela-Rentschelera. Ten drugi to pojęcie, o
którym będziemy mówili. W dalszym ciągu R jest pierścieniem z 1, zaś M = MR
jest prawostronnym R-modułem. Źródła godne polecenia to:
• Gordon, Robson. Krull dimension. Memoirs AMS.
• McConnell, Robson. Noncommutative Noetherian Rings.
Powód rozważania tych wymiarów jest taki, że istnieje weiele noetherowskich
prostych pierścieni, dla których wymiar klasyczny jest nieużyteczny.
Definicja 10.1 Określamy wymiar Krulla. Jeśli M = 0, to Kdim(M ) = −1.
Jeśli M 6= 0, to dla liczby porządkowej α mówimy, że Kdim(M ) = α jeśli:
1. Kdim(M ) nie jest mniejszy od α
2. nie istnieje nieskończony łańcuch podmodułów
M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ . . .
taki, że dla Kdim(Mi−1 /Mi ) jest nie mniejszy od α
Jeśli warunki 1), 2) nie są spełnione dla żadnej liczby porządkowej α, to mówmy,
że M nie ma wymiaru Krulla.
Definicja 10.2 Jeśli R = RR , to KdimR := Kdim(RR ). Mówimy, że jest to
prawostronny wymiar Krulla tego pierścienia.
Co to znaczy, że Kdim(M ) = 0? Wiemy, że M 6= 0 oraz nie istnieje nieskończony taki, że każdy iloraz jest niezerowy. A więc każdy łańcuch się stabilizuje.
Zatem Kdim(M ) = 0 ⇐⇒ M jest artinowski.
Niech R będzie przemienną dziedziną ideałów głównych nie będąca ciałem. Niech
M = RR . Wiemy, że każdy element nieodwracalny ma jednoznaczność rozkładu:
a = pn1 1 . . . pnk k . Zatem ideał (a) jest zawarty tylko w skończenie wiele ideałach.
Wtedy R nie jest artinowski, bo a ∈
/ U (R), bo (a) 6⊇ (a2 ) 6⊆ . . . . Z drugiej strony
jeśli R = I0 ⊃ I1 ⊃ I2 . . ., gdzie Ij ⊳ R. to R/Ij ma skończenie wiele ideałów. A
zatem R/Ij jest artinowski. Zatem dla każdego i mamy Ij−1 /Ij jest artinowski
R-moduł. Zatem z deficji Kdim(R) = 1.
Stwierdzenie 10.1 Jeśli N ⊆ M oraz jeśli Kdim(M ) istnieje, to Kdim(N ),
Kdim(M/N ) też istnieją i są nie większe niż Kdim(M ).
Dowód. Jasne. Każdy łańcuch podmodułów w N jest łańcuchem podmodułów w M . Korzystając z homomorfizmu naturalnego M 7→ M/N uzyskujemy
rezultat dla M/N .
30
Stwierdzenie 10.2 Warunek 2) z definicji jest równoważny następującemu warunkowi 2’): dla każdego łańcucha M = M0 ⊇ M1 ⊇ . . . istnieje tylko skończenie
wiele ilorazów Mi−1 /Mi takich, że Kdim(Mi−1 /Mi ) jest nie mniejszy od α.
Lemat 10.1 Zachodzą następujące fakty:
1. Niech N ⊆ M jest podmodułem, to Kdim(M ) = sup(Kdim(N ), Kdim(M/N )).
2. KdimR = sup{KdimM : M − sk. gen. R-moduł}
3. KdimR ­ Kdim(R/I) gdy Kdim(R) istnieje o ile I ⊳ R.
Dowód. Zobaczmy jak 2) i 3) są konsekwencjami 1). Dowodzimy 2). Nierówność ¬ jest jasna. Weźmy moduł sk. generowany M = m1 R + . . . + mn R,
na
to na mocy 1) biorę Rn → M . Istnieje φ : Rn → M - homomorfizm. Z 1)
n
n
wiemy, że Kdim(RR ) = Kdim(RR ). Zatem Kdim(M ) ¬ Kdim(RR
). Także
3) wynika łatwo z 1). Weźmy homomorfizm π : R → R/I Wiemy z )1, że
Kdim(R/I)R ¬ Kdim(RR ). Ale R-podmoduły w R/I to to samo, co R/Ipodmoduły w R/I. Zatem Kdim(R/I)R = Kdim(R/I)R/I .
Dowodzimy teraz 1). Nierówność ­ była, już w poprzednim stwierdzeniu. Jeśli
dim(N ) oraz dim(M/N ) istnieją to też dim(M ) i on jest nie mniejszy. Teraz
nierówność w drugą stronę. Indukcja wzglęem α. Dla α = −1, to M = 0 i sprawa
jest jasna. Jeśli α = 0, to też jest prawda, bo klasa modułów artinowskich
jest zamknięta ze względu na rozszerzenia. Przypuśćmy, że Kdim(M ) jest nie
mniejszy od α. Wtedy istnieje łańcuch podmodułów
M = M0 ⊃ M1 ⊃ . . .
taki, że Kdim(Mi−1 /Mi ) jest nie mniejszy od α. Bierzemy teraz funkcję f :
S(M ) → S(N ) × S(M/N ) zadaną przez:
Mi 7→ (Mi ∩ N, (Mi + N )/N ).
To jest różnowartościowe na ciągu M0 ⊇ M1 ⊇ . . . to gdy j > i to jeśli f (M i) =
f (Mj ), to Mj ⊆ Mi , a więc z modularności kraty ideałów:
Mj = (Mj ∩ N ) + Mj = (Mi + N ) ∩ Mi = M + (N ∩ Mj ) = Mi + (N ∩ Mi ) = Mi .
Mamy zatem dla każdego i ciąg dokładmy postaci:
0 → M −i∩N/Mi+1 ∩N → Mi /Mi+1 → ((Mi /Mi ∩N ))/(Mi+1 /Mi+1 /Mi+1 ∩N ) → 0.
Drugi fragment to podmoduł N , a czwarty fragment to podmoduł w M/N ,
zatem korzystając z 2’) i z załozenia indukcyjnego dostajemy tezę.
Twierdzenie 10.1 Jeśli M jest prawostronnie noetherowski to Kdim(M ) istnieje.
31
Dowód. Przypuśćmy, że M nie ma wymiaru Krulla. Weźmy maksymalny podmoduł N w rodzinie w rodzinie podmodułów w I-modułu M , dla których
M/I nie ma wymiaru Krulla. Zatem M/N nie ma wymiaru Krulla. Ponieważ moduły ilorazowe M/J, dla J ⊆ M tworzą zbiór taki, że istnieje α, że
Kdim((M/N )/L) ¬ α, dla każdego niezerowego L ⊆ M/N . Wtedy z definicji
wymiaru Krulla dostanę, że dim(M/N ) ¬ α
Twierdzenie 10.2 Jeśli Kdim(M ) istnieje to M ma skończony wymiar Goldiego/
Dowód. Przyśćmy, że NIE. Weźmy M taki, że Kdim(M ) = α oraz u−dim(M ) =
α. Wybierzmy M z minimalnym możliwym α Wiemy, że M zawiera podmoduł
L∞
postaci A1 ⊕ A2 ⊕ . . . Przyjmijmy, że Mj :=
j=1 A2n j . Wtedy M = M0 ⊇
M1 ⊇ M2 ⊇ . . .. Każdy z ilorazów postaci Mn /Mn+1 jest nieskończoną sumą
prostą pewnych Ai . Zatem Kdim(Mn /Mn+1 ) ¬ α, na mocy pierwszego Lematu, bo Kdim(M ) = α. Z minimalności α (bo u − dum(Mn /Mn+1 ) = ∞) wiemy
z definicji wymiaru Krulla to daje, że wymiar Kdim(M ) jest nie mniejszy od
α, sprzeczność.
Twierdzenie 10.3 Jeśli R[x] ma wymiar Krulla to R jest prawostronnie noetherowski.
Dowód. Przypuśćmy, że tak nie jest. Niech I0 ( I − 1 ( I2 ( . . . będzie
łańcuchem ideałów prawostronnych R. niech:
A = I1 + I2 x + I3 x2 + . . . + In xn−1 + . . . ⊆ R[x]
B = I0 + I1 x + I2 x2 + . . . + In xn + . . . ⊆ R[x].
Wtedy A, B <r R[x]. Co więcej B ⊆ A. Iloraz A/B jest prawostronnym R[x]modułem. On ma wymiaro Krulla, bo zakładamy, że R[x] ma wymiar Krulla.
Wiemy, że:
A/B ≃ I1 /I0 ⊕ I2 /I1 ⊕ . . .
jako R-moduły, ale także jako R[x]-moduły. Wtedy dostajemy sprzeczność z
poprzednim twierdzeniem.
11
WYKŁAD JEDENASTY
Ostatnio było:
• Kdim(M ) istnieje ⇒ u − dim(M ) < ∞
• M -noetherowski ⇒ Kdim(M ) istnieje
• K − dim(R[x]) istnieje ⇒ R-prawostronnie noetherowskie.
Był także lemat, z którego będziemy korzystać:
32
Lemat 11.1 Niech N ⊆ M . Wówczas:
Kdim(M ) = sup{Kdim(N ), Kdim(M/N )}.
Celem na dziś jest następujący fakt:
Twierdzenie 11.1 Jeśli R jest prawostronnie noetherowski, to Kdim(R[x]) =
Kdim(R) + 1.
Definicja 11.1 Niech M będzie modułem niezerowym, zaś α niech będzie liczbą
porządkową. Mówimy, że M jest α-krytyczny, jeśli:
• Kdim(M ) = α
• dla każdego niezerowego podmodułu N ⊆ M mamy Kdim(M/N ) < α.
Mówimy, że moduł jest krytyczny, jeśli jest α-krytyczny dla pewnego α.
Przykład. Jeśli α = 0, to wiemy, że M jest artinowski. Wówczas moduł jest
krytyczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest modułem prostym.
Twierdzenie 11.2 Niech M będzie niezerowym modułem mającym wymiar Krulla. Wówczas M ma podmoduł krytyczny.
Dowód. Indukcja względem wymiaru M . Dla α = 0 fakt mówi po prostu, że
każdy moduł artinowski ma podmoduł prosty. To jasne, bo artinowskie mają
dcc. Jeśli 0 6= N ⊆ M ⇒ Kdim(N ) ¬ Kdim(M ). Założenie indukcyjne pozwala
zatem zakładać, że Kdim(N ) = Kdim(M ), dla każdego niezerowego podmodułu N w M . Jeśli M jest α-krytyczny, dla α = Kdim(M ), to OK. Jeśli M
nie jest krytyczny, to istnieje niezerowy M ⊆ N , że Kdim(M ) = Kdim(M/N ).
Niech M1 = N . Jeśli M1 jest krytyczny, to OK. Jeśli nie jest, to istnieje niezerowy M2 ⊆ M1 , że Kdim(M1 ) = Kdim(M1 /M2 ) itd. W ten sposób o ile nie
istnieje podmoduł krytyczny, to dostajemy łańcuch M1 ⊃ M2 ⊃ . . . i wszystkie
Mi mają wymiar α. Ale z definicji wymiaru Krulla taki łańcuch nie może być
nieskończony. Zatem dla pewnego n moduł Mn jest krytyczny.
Twierdzenie 11.3 Jeśli M jest modułem α-krytycznym, to każdy jego niezerowy podmoduł N jest α-krytyczny.
Dowód. Wiemy, że Kdim(M/N ) < Kdim(M ) = α. Z lematu, który przypomnieliśmy na początku wykładu wynika, że Kdim(N ) = α. Niech W ⊆ N
będzie niezerowym podmodułem. Interesuje nas wymiar ilorazu N/W ⊆ M/W .
Zatem Kdim(N/W ) ¬ Kdim(M/W ). Ale M jest krytyczny, a W jest niezerowym podmodułem M . Zatem Kdim(N/W ) ¬ Kdim(M/W ) < α. Zatem N
jest α-krytyczny.
Wniosek 11.1 Niech {Ni }i∈I , dla |I| > 1, będzie rodziną podmodułów w module M takich, że dla każdego i moduł Mi jest krytyczny oraz jeśli Kdim(Ni ) = αi ,
P
to αi 6= αj , dla i 6= j. Wtedy
Ni jest sumą prostą.
i∈I
33
Dowód. Dowodzimy nie wprost. Istnieje takie j ∈ I, że Nj ∩
P
i∈I
Ni 6= 0. Niech
np. Ni ∩ (Ni1 + . . . + Nik ) 6= 0, oraz bierzemy αi1 < αi2 < . . . < αik . Indukcja
pozwala zakładać, że Ni1 + . . . + Nik jest suma prostą. Wówczas z lematu wiemy, że wymiar sumy prostej jest supremum wymiaru składowych. Zatem dzięki
uporządkowaniu mamy Kdim(Ni1 +. . .+Nik ) = αik . Z drugiej strony przecięcie
Z := Nj ∩ Ni1 + . . . + Nik ⊆ Nj . Tymczasem wymiar Nj to αj . Zatem poprzednie twierdzenie daje, że wymiar tego przecięcia to też αj , bo Nj był krytyczny.
Możemy przy tym zakładać, że αj > αik . Ale to daje sprzeczność, bo wymiar
Z nie może być większy niż αik .
Wniosek 11.2 Jeśli M ma wymiar Krulla, to M ma podmoduły krytyczne tylko
dla skończenie wielu liczb porządkowych α.
UWAGA. Jeśli M jest modułem krytycznym, to M jest modułem jednolitym.
Istotnie, jeśli nie jest to istnieją takie niezerowe podmoduły M1 , M2 modułu M ,
że suma M1 + M2 nie jest prosta. Załóżmy, że Kdim(M ) = α. Skoro M jest
krytyczny, to także M1 i M2 są α-krytyczne. Rozważmy homomorfizm naturalny φ : M → M/M1 . Wiadomo, że M2 ≃ φ(M2 ). Ponieważ M jest α-krytyczny,
zaś M1 jest niezerowym podmodułem, to Kdim(M/N ) < α. Z drugiej strony
Kdim(M2 ) = Kdim(π(M2 )) ¬ Kdim(M/M1 ) < α. Sprzeczność.
UWAGA. Niech M będzie modułem noetherowskim. Zatem wymiar Krulla istnieje (BYŁO). Zatem istnieje w nim podmoduł krytyczny M1 . Wtedy M/M1
jest nadal noetherowski i w nim jest moduł krytyczny M2 /M1 itd. W ten sposób
dostaję łańcuch:
M1 ⊆ M2 ⊆ . . . ,
taki, że Mi1 /Mi jest krytyczny. Ale skoro moduł jest noetherowski, to łańcuch
ten musi się stabilizować. Oczywiście stabilizuje się na M .
Lemat 11.2 Niech M bedzie noetherowskim α-krytycznym R-modułem. Wtedy
M [x] jest α + 1-krytycznym R[x]-modułem.
Jak z tego lematu wynika dowód twierdzenia zapowiedzianego na początku wykładu? Weźmy M = RR i łańcuch:
0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = R.
Wiemy, że Kdim(RR ) = sup{Kdim(Mi+1 /Mi )}. Z lematu możemy rozważać
łańcuch:
0 = M0 [x] ⊆ M1 [x] ⊆ . . . ⊆ Mn [x] = R[x].
Podobnie Kdim(R[x]R[x] ) jest supremum wymiarów Mi+1 [x]/Mi [x]. Z lematu,
który udowodnimy okaże się, że ilorazy są krytyczne jako moduły nad R[x]. Ale
to nam da, że wymiar R[x] jest o 1 większy jako KdimRR .
34
Dowód. Dowodzimy lemat. Patrzymy na łańcuch:
M [x] ⊆ xM [x] ⊆ x2 M [x] ⊆ . . .
Wiemy, że xi M [x]/xi+1 M [x] ≃ M [x]/xM [x] ≃ M , gdzie mamy izomorfizm R[x]
modułów. Ale skoro x anihiluje te ilorazy, to izomorfizm jest też R-modułów.
Stąd Kdim(M [x]) ­ α + 1. Z definicji wymiaru.
Pokażemy teraz, że dla każdego niezerowego a ∈ M [x] mamy:
Kdim(M [x]/aR[x]) ¬ α.
(2)
Co nam to da? Po pierwsze z definicji wymiaru będziemy mieli, że Kdim(M [x]) ¬
α+1. Po drugie daje to α+1- krytyczność modułu M [x]. Dowodzimy zatem (2).
Niech 0 6= an będzie współczynnikiem przy najwyższej potędze x w wielomianie
a ∈ M [x]. NIech G będzie zbiorem podmodułów M [x] zawierających aR[x], G′
natomiast niech będzie zbiorem podmodułów w M [x] zawierających an xn w
R[x]. Twierdzimy, że:
G′ = G0 + G1 x + G2 x2 + . . . ,
przy czym Gi to najwyższe współczynniki wielomianów z G mających stopień i
oraz 0. Zauważmy, że G0 + G1 x + G2 x2 + . . . ⊆ G′ . Wiadomo, że w Gn będzie
zawsze an xn . W drugą stronę wiemy, że suma ta jest podmodułem. Rozważmy
funkcję φ : G → G′ . Korzystamy dalej z łatwej obserwacji.
Stwierdzenie 11.1 Jeśli G ( H, to φ(G) ( φ(H).
Zatem każdy łańcuch z G przechodzi na łańcuch w G′ i zachowane są ostre
inkluzje. Stad
Kdim(M [x]/aR[x]) ¬ Kdim(M [x]/axn R[x]).
Teraz patrzymy na łańcuch:
M [x] ⊃ xM [x] ⊃ x2 M [x] ⊃ . . . ⊃ xn M px[⊃ an xn M [x].
Wiemy, że pierwsze n − 1 faktorów ma wymiar α. Ostatni iloraz to:
xn M [x]/an xn M [x] ≃ M [x]an M [x] ≃ (M/an M )[x].
Ale w założeniach lematu mieliśmy, że M jest α-krytyczny. Zatem wymiar
ilorazu M/an M jest mniejszy od α (ale mamy tu na myśli wymiar dla Rmodułów). Ponadto, ponieważ M jest noetherowski, to ma skończony łańcuch
krytyczny. Czyli do faktorów tego łańcucha możemy stosować założenie indukcyjne, bo ich wymiary są mniejsze od α. Zatem dostajemy łańcuch krytyczny dla M [x] o faktorach wymiaru mniejszego niż α + 1 (nad R[x]). Zatem Kdim(M [x]/an R[x]) ¬ α. Stad każdy iloraz łańcucha, który rozważamy
ma wymiar nie większy od α. Zatem Kdim(M [x]/an xn M [x]) ¬ α. Zatem
Kdim(M [x]/aR[x]) ¬ α. Dowiedliśmy zatem (2).
35
12
WYKŁAD DWUNASTY
Kontynuujemy dziś zagadnienia związane z wymiarem Krulla. Pozostały nam
następujące cele:
Twierdzenie 12.1 Jeśli Kdim(MR ) istnieje oraz Kdim(RR ) istnieje, to:
Kdim(MR ) ¬ Kdim(RR ).
UWAGA: Gdy M - skończenie generowany to jest to łatwe i już było.
Drugi cel to ważne twierdzenia strukturalne dla R mających wymiar Krulla.
Trzeci cel to porównanie Kdim i clKdim.
Lemat 12.1 Niech M = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ . . . będzie łańcuchem modułów
oraz 0 = A0 ⊆ A1 ⊆ A2 ⊆ . . . - pewien ciąg podmodułów M . Załóżmy, że
Mi ∩ Ai+1 6⊆ Ai + Mi+1 ,
(3)
dla każdego i. Wtedy M nie ma wymiaru Krulla.
P
Dowód. Niech B =
Mi ∩ Ai . Pokażemy, że M/B dziedziczy (3). Przupuśćmy,
że istnieje takie i, że:
Mi ∩ Ai+1 ⊆ Ai + Mi+1 + B.
Wtedy, ponieważ B ⊆ Ai + Mi+1 , to Mi ∩ Ai+1 ⊆ Ai + Mi+1 , sprzeczność. A
czemu B ⊆ Ai + Mi+1 ? Wiemy, że
B = M1 ∩ A1 + . . . + Mi ∩ Ai + Mi+1 ∩ Ai+1 + . . . ⊆ Ai + Mi+1 .
Zatem możemy zakładać, że B = 0.
Jeśli Kdim(M ) istnieje, to u−dim(M ) < ∞. Zatem ponieważ {Mi } jest zstępujący, to istnieje takie minimalne n, że u − dim(Mn ) = u − dim(Mk ), dla każdego
k ­ n. Na mocy (3) wiemy, że Mn ∩ An+1 6= 0. Ale Mn+1 ∩ An+1 ⊆ B = 0.
W takim razie Mn ⊇ (Mn ∩ An+1 ) ⊕ Mn+1 , przy czym obydwa składniki są
niezerowe. Zatem wymiary Goldiego Mn i Mn+1 są równe.
Lemat 12.2 Załóżmy, że M ma wymiar Krulla oraz niech {Aλ : λ < ǫ} bęS
dzie łańcuchem wstępującym podmodułów M taki, że A0 = 0 oraz Aλ = M .
Załóżmy, że Kdim(Aλ ) ¬ α, dla pewnego ustalonego α. Wtedy Kdim(M ) ¬ α.
Dowód. Przypuśćmy, że teza nie jest spełniona. Oznacza to, że Kdim(M ) nie
jest mniejszy lub równy od α, a więc istnieje łańcuch podmodułów:
M = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ . . .
36
taki, że Kdim(Mi /Mi+1 ) ­ α. Cel: doprowadzić do założeń poprzedniego lematu, pomijając niektóre elementy w łańcuchach {Aλ }i{Mi }. Ponieważ M 6⊆ M1 ,
to Aλ 6⊆ M1 , dla pewnej λ. Zatem mogę zakładać, ze A1 6⊆ A1 , czyli A1 =
A1 ∩ M0 6⊆ A0 + M1 .
Indukcja. Założmy, że dla 0 ¬ i ¬ n−1 mamy Mi ∩Ai+1 6⊆ Mi+1 +Ai . „Gdyby”
dla każdego j ­ 1 było tak, że: Mn ⊆ An + Mn+j , to Mn+j−1 ⊆ An + Mn+j .
Ponieważ Mn+j−1 ⊃ Mn+j , to stąd Mn+j−1 = (Mn+j−1 ∩ An ) + Mn+j (z
modularności). Wtedy:
Mn+j−1 /Mn+j = ((Mn+j−1 ∩ An ) + Mn+j )/Mn+j
to jest izomorficzne z:
(Mn+j−1 ∩ An )/((Mn+j−1 ∩ An ) ∩ Mn+j ) ≃ Mn+j−1 ∩ An )/(Mn+j ∩ An ).
Ale wymiar Krulla lewej strony to przynajmniej α, zatem takze wymiar prawej
strony to przynajmniej α, dla każdego i. Zatem Kdim(An ) > α, z definicji wymiaru. Sprzeczność. Zatem „gdyby” nie zachodzi.
Zatem istnieje takie j ­ 1, że Mn 6⊆ An + Mn+j . Zatem (pomijając pewne Mi )
mogę zakładać, zę Mn 6⊆ An + Mn+1 . Ponieważ:
[
Mn = Mn ∩ ( Aλ ),
to istnieje λ takie, że mn ∩ Aλ 6⊆ An + Mn+1 . Wtedy λ > n. Pomijając zatem
pewne Aµ mogę zakładać, że Mn ∩ An+1 6⊆ An + Mn+1 .
Twierdzenie 12.2 Jeśli Kdim(M ) istnieje oraz M jest sumą podmodułów,
które mają wymiar ¬ α, dla α - ustalonej liczby porządkowej, to Kdim(M ) ¬ α.
Dowód. Zacznijmy od ważnej obserwacji. Dla każdego 0 6= N ( M , to M/N
P
ma podmoduł niezerowy o wymiarze ¬ α. Wiemy, że M =
Mi , przy czym
i∈I
na
Kdim(Mi ) ¬ α. Bierzemy M → M/N . Istnieje zatem takie i, że π(Mi ) 6= 0.
Stąd istnieje łańcuch podmodułów {Aλ } taki, że
• Kdim(Aλ+1 /Aλ ) ¬ λ,
S
Aη , dla λ, granicznych.
• Aλ =
S
Aλ = M . Co więcej:
η<λ
Lemat 2 pokazuje, że jest OK na przejściu granicznym. Lemat o ciągu dokładnym pokazuje, że jest OK dla liczb porządkowych, które nie są graniczne, bo
Kdim(Aλ+1 = sup(Kdim(Aλ , Kdim(Aλ+1 /Aλ ).
Wniosek 12.1 Twierdzenie 1 z celów wykładu. Każdy moduł jest sumą podmodułów cyklicznych oraz Kdim(mR)R ¬ Kdim(RR ). Stąd z poprzedniego twierdzenia wiemy, że Kdim(M ) ¬ Kdim(R).
37
*
*
*
Twierdzenie 12.3 Niech R będzie półpierwszym pierścieniem z wymiarem Krulla. Wtedy R ma klasyczny pierścień ułamków prawostronnych, a więc Qra jest
półprosty artinowski.
Twierdzenie 12.4 Niech R będzie dowolnym pierścieniem z wymiarem Krulla.
Wtedy:
• B(R) (radykał pierwszy) jest ideałem nilpotentnym.
• R ma skończenie wiele minimalnych ideałów pierwszych P1 , . . . , Pn
• Kdim(R) = Kdim(R/B(R)) = sup{Kdim(R/Pi )}.
Dowód. W pełni pokażemy tylko punkt 3. Niech N := B(R). Korzystając z
punktu 1. wiemy, że:
N ⊃ N 2 ⊃ . . . ⊃ N k−1 ⊃ N k = 0.
Wiemy, że NR ⊆ RR , a więc Kdim(R) = sup{Kdim(R/N ), Kdim(N )}. Przyjrzyjmy się NRk−1 . Oczywiście jest on anihilowany przez N . A zatem struktura
kraty podmodułów tego modułu jest taka sama jak struktura kraty podmoduk−1
łów NR/N
. Zatem
k−1
) ¬ Kdim(R/N )R/N .
Kdim(NRk−1 ) = Kdim(NR/N
Podobnie dla każdego ilorazu., czyli Kdim(NR ) ¬ Kdim(R/N )R/N , z twierdzenia o ciągu dokładnym. Wiemy dalej, że:
Kdim(R) = sup{Kdim(R/N ), Kdim(N )} = sup{Kdim(R/N )R , Kdim(R/N )R/N }
Skoro kraty podmodułów (R/N )R oraz (R/N )R/N są identyczne, to dostajemy
żądaną równość.
Stwierdzenie 12.1 Jeśli M ma wymiar Krulla, to:
Kdim(M ) ¬ sup{Kdim(M/E) + 1 : E ⊆e M } := α.
13
WYKŁAD TRZYNASTY
Ostatnio BYŁO:
Twierdzenie 13.1 Jeśli M ma wymiar Krulla to
Kdim(M ) ¬ sup{Kdim(M/E) + 1 | E ¬e M }.
Lemat 13.1 Jeśli Kdim(R) istnieje oraz c ∈ R jest elementem regularnym, to:
Kdim(R/cR) < Kdim(R).
38
Uwaga: Coś podobnego było zrobione na wymiaru GK.
Dowód. Rozważam łańcuch podmodułów w RR :
R ⊇ cR ⊇ c2 R ⊇ . . .
ma ilorazy cn /cn+1 R ≃ R/cR, dla każdego n. Istotnie, biorąc f : R → cn R/cn+1 R
zadaną wzorem: r 7→ cn r + cn+1 R widzimy, że jest to homomorfizm R-modułów
prawostronnych. Co więcej ker φ = cR (to wynika z regularności c.
Zatem mamy nieskończony łańcuch, którego każdy iloraz ma wymiar α = Kdim(R/cR),
a więc wymiar R musi być większy z definicji wymiaru Krulla.
Zadanie 2 Jeśli Kdim(R) istnieje oraz R jest półpierwszy, to każdy istotny
prawostronny ideał w R zawiera element regularny.
Wniosek 13.1 Jeśli R jest półpierwszy oraz Kdim(RR ) istnieje to:
Kdim(RR ) = sup{Kdim(R/E) + 1 | E ¬e RR }.
Dowód. Z zadania wynika, że jeśli E ¬e RR to istnieje c ∈ E, że c jest regularny
w R. Z Lematu wynika, że Kdim(R) ­ Kdim(R/cR) + 1 ­ Kdim(R/E) + 1.
Zatem mamy drugą nierówność.
Twierdzenie 13.2 Jesli RR ma wymiar Krulla to R ma acc na ideały pierwsze.
Dowód. Niech P1 6⊆ P2 będą ideałami pierwszymi w R. Zatem 0 6= P2 /P1 ⊳
R/P1 , ale P2 /P1 ¬e R/P1 , bo R/P1 jest pierwszy. Z Wniosku dostajemy, że
Kdim(R/P1 ) > Kdim(R/P2 ) = Kdim(R/P1 /(P2 /P1 )), bo R/P1 jest pierwszy,
a P2 /P1 jest istotny w nim. Ale mamy dcc na liczby porządkowe zatem mamy
acc na ideały pierwsze.
Definicja 13.1 (Uogólnienie definicji klasycznego wymiaru Krulla) Niech
P będzie zbiorem wszystkich ideałów pierwszych w R. Niech:
P0 = {P ∈ P | P − ideał maksymalny w R.
Jeśli α jest liczbą porządkową, to:
Pα = {P ∈ P | ∀Q∈P (Q 6⊇ P ⇒ Q ∈ Pβ , ∃β<α )}.
Wiadomo, że
P0 ⊆ P1 ⊆ P2 . . .
Na mocy poprzedniego Twierdzenia istnieje takie α, że ten ciąg się stabilizuje.
Mówimy, że α = clKdim(R).
Definicja 13.2 Wprowadzamy następujące pojęcia:
• Niech R będzie ideałem pierwszym. Powiemy, że R jest prawostronnie
ograniczony jeśli każdy istotny ideał prawostrony R zawiera pewien niezerowy ideał dwustronny R
39
• Niech R będzie dowolnym pierścieniem. Mówimy, że R jest prawostronnie
całkowicie ograniczony jesli dla każdego ideału pierwszego P ⊳ R perścień
R/P jest prawostronnie ograniczony.
• R jest prawostronnie FBN jeśli jest prawostronnie noetherowski oraz prawostronnie całkowicie ograniczony.
Podstawowym przykładem są przemienne pierścienie noethrwoskie. Drugi przykład pochodzi jest wnioskiem z następującego twierdzenia:
Twierdzenie 13.3 (Posner) Niech R będzie pierwszą PI-algebrą. Wówczas R
ma ułamki klasyczne i Qcl (R) = R(Z \ {0})−1 oraz każdy ideał istotny prawostronny przecina Z(R) nietrywialnie.
Twierdzenie 13.4 Jeśli R jest prawostronnie FBN to clKdim(R) = Kdim(R).
Wniosek 13.2 Jeśli R jest prawostronnie FBN i lewostronnie FBN to Kdim(RR ) =
Kdim(R R).
Przykładem algebr spełniających ten wniosek są PI algebry, które są prawostronnie i lewostronnie noetherowskie.
Dowód.[Twierdzenie o równości wymiarów] Pierwszy etap dowodu polega na
dowodzie następującego twierdzenia.
Twierdzenie 13.5 Jeśli R jest pierwszy i KdimRR istnieje, to
Kdim(R/B) < Kdim(R),
dla każdego ideału B ⊳ R.
Dowód. Jeśli R jest pierwszy, to 0 6= B ⊳ R, to B ¬e RR . Zatem teza wynika
z jednego z wcześniejszych faktów.
Wniosek 13.3 Jeśli R jest prawostronnie noetherowski, to
clKdim(R) ¬ Kdim(RR ).
Dowód. BYŁO: istnieje tylko skończenie wiele minimalnych ideałów pierwszych
w R. Wiemy też, że
Kdim(RR ) = sup{Kdim(R/Pi ) | P1 , . . . , Pn są minimalnymi ideałami pierwszymi w R}.
i
Wiadomo także, że:
clKdim(R) = sup{clKdim(R/Pi ) | P1 , . . . , Pn są minimalnymi ideałami pierwszymi w R}.
Zatem wystarczy udowodnić tezę w przypadku, gdy R jest pierścieniem pierwszym. Zatem teza wynika łatwo z indukcji względem klasycznego wymiaru Krulla R. Gdy wymiar klasyczny równy jest 0, to teza jest oczywista. Z założenia indukcyjnego clKdim(R/P1 ) ¬ Kdim(R/P1 ). Na mocy Twierdzenia Kdim(R/P1 ) <
Kdim(R). Zatem clKdim(R) ¬ Kdim(R).
40
Druga część dowodu polega na wykazaniu nierównośc przy załozeniu, że R jest
prawostronnie FBN. Indukcja względem clKdim(R). Tak jak wcześniej: wystarczy pokazać twierdzenie w przypadku gdy R jest pierwszy. Niech
A1 ⊇ A2 ⊇ . . .
gdzie Ai < RR . Skoro Kdim(RR ) istnieje (bo R jest prawostronnie noetherowski, to Kdim(Ai ) istnieje, a więc u − dim(Ai ) ¬ N (istnieje take N, dla każdego
i). Istnieje zatem takie n0 , że:
u − dim(An ) = u − dim(An+1 ),
dla każdego n ­ n0 . Niech B <r R. Wiadomo, że B ∩ An0 = 0 i jest on
maksymalnym o tej własności. Wtedy B + An0 jest istotny w R. Ponieważ R
jest pierwszy oraz prawostronnie FBN, to In ⊆ B + An , dla pewnego ideału
In ⊆ B + An . Wtedy B + An0 ⊆ In ⊆ B + An . Teraz:
B ⊕ An0 /B ⊕ An ≃ An0 /An
jest R/In -modułem. Zatem:
Kdim(RR ) ¬ sup{Kdim(R/I)R + 1 | 0 6= I ⊳ R}.
Ale z założenia indukcyjnego wiemy, ze Kdim(R/I) ¬ clKdim(R/I). Zatem
Kdim(RR ) ¬ sup{Kdim(R/I)R +1 | 0 6= I⊳R} ¬ clKdin(R/I)+1 ¬ clKdim(R).
14
WYKŁAD CZTERNASTY
Wymiar projektywny (homologiczny, globalny)
Źródła:
• Passman, A course in Ring Theory
• Lam, Lectures on Rings and Modules
Niech R będzie pierścieniem z 1, zaś M -modułem prawostronnym nad R. Idea
jest taka, że definiujemy d(M ), co będzie miarą „odległości” modułu M od
modułów wolnych.
Definicja 14.1 (Moduł wolny) POwiemy, że F jest modułem wolnym o bazie X (gdzie X jest zbiorem) jeśli dla każdej funkcji f : X → M istnieje dokładnie jeden homomorfizm f : F → M taki, że f = f i., gdzie i jest włożeniem
X ֒→ F .
Takie moduły wolne istnieją, np.
L
−x ∈ XRx , gdzie (Rx )R ≃ RR .
41
Stwierdzenie 14.1 Niech M będzie dowolnym R modułem. Istnieje wówczas
na
homomorfizm f : F → M , dla pewnego F wolnego.
Stwierdzenie 14.2 Suma prosta modułów wolnych jest modułem wolnym. Ale
składnik prosty modułu wolnego nie jest wolny. Np. R = K ⊕ K, gdzie K-ciało.
Definicja 14.2 Powiemy, że P jest modułem projektywnym wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje P ′ takie, że P ⊕ P ′ jest modułem wolnym.
Stwierdzenie 14.3 Każdy moduł wolny jest projektywny.
Stwierdzenie 14.4 Suma prosta modułów projektywnych jest projektywna
Stwierdzenie 14.5 Składnik prosty modułu projektywnego jest projektywne.
Definicja 14.3 Określamy rezolwentę projektywną modułu M : jeśli M jest moǫ0
M taki, że mamy ciąg
dułem, to istnie,je moduł wolny F0 oraz epimorfizm F0 →
dokładny:
i0
F0 → M → 0.
0 → ker(ǫ0 ) →
Podobnie kładąc M = ker ǫ0 mogę produkować ciągi dokładne postaci:
i
1
F1 → ker(ǫ0 ) → 0
0 → ker(ǫ1 ) →
itd. Ciągu te można posklejać do jednego ciągu dokładnego. Rozważmy najpierw
ciąg:
ǫ0
i0
ǫ1
i1
ǫ2
M → 0.
F 0 →→
ker(ǫ0 ) →
F1 →→
ker(ǫ1 ) →
... → F2 →
Możmy z niego dostać ciąg dokładny postaci:
i ǫ
ǫ
0
0 1
M →0
F0 →
. . . → F2 → F1 →
I to jest rezolwenta wolna modułu M . Podobnie (ogólniej) mówimy o rezolwentach projektywnych modułu M .
Definicja 14.4 Wymiar projektywny modułu M , ozn. d(M ) równy jest -1, o
ile M = 0, zaś równy jest n jeśli M ma rezolwentę projektywną długości n i
nie ma krótszej. Jeśli moduł nie ma rezolwenty projektywnej, to mówimy, że ma
on wymiar nieskończony. Przez d(R), czy inaczej gldim(R) rozumieć będziemy
supremum po wymiarach projektywnych wszystkich R-modułów.
Na przykład jeśli d(M ) = 0, to M jest projektywny. Natomiast d(R) = 0 wtedy
i tylko wtedy, gdy R jest półprosty artinowski.
Niech G będzie skończoną grupą, zaś K-ciałem. Wówczas jeśli R = K[G]. Okazuje się, że d(R[G]) = 0, gdy charakterystyka K nie dzieli G (tw. Maschke).
Tymczasem okazuje się, że przeciwnym przypadku ten wymiar staje się nieskończony.
42