Matematyka Dyskretna

Matematyka Dyskretna
wykład dla kierunku Informatyka Stosowana
Instytut Techniczny PWSZ w Nowym Sączu
Adam Kolany
plan wykładu
[4 godz.] Liczby naturalne. Arytmetyka Peano.
•
•
•
•
•
przypomnienie definicji liczb naturalnych
zasada indukcji
aksjomaty Peano
wyprowadzenie własności działań
definicja porządku i jego własności
[2 godz.] Zasady równoważne zasadzie indukcji.
•
•
•
•
zasada
zasada
zasada
zasada
minimum
maksimum
pudełkowa
kolekcji
[2 godz.] Rekusja.
•
•
•
•
•
•
rekursja następnikowa vs. rekursja porządkowa
funkcje i relacje pierwotnie rekurencyjne
operacja minimum efektywnego, funkcje i relacje rekurencyjne. Funkcja Ackermanna
uniwersalne funkcje Kleenego
ciąg Fibbonacciego
ułamki łańcuchowe – redukty
[4 godz.] Relacja podzielności i arytmetyka modularna.
•
•
•
•
•
•
liczby pierwsze
twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozkładu
małe twierdzenie Fermata i twierdzenie Eulera
algorytm Euklidesa, potęgowanie binarne
zagadnienie rozkładalności i logarytmu dyskretnego
testy pierwszości: test Millera - Rabina i Solovaya - Strassena
[4 godz.] Zliczanie zbiorów i funkcji.
• wzór włączeń/wyłączeń
• współczynniki dwumianowe
• trójkąt Pascala
1
• Permutacje, wariacje bez i z powtórzeniami
• Podziały i liczby Stirlinga
• Równania rekurencyjne
[4 godz.] Szeregi formalne.
• definicja pierścienia szeregów formalnych
• pochodna szeregu formalnego
• sumy wybranych ciągów liczbowych (kolejne potęgi liczb naturalnych)
[2 godz.] Permutacje.
• działania na permutacjach
• znak permutacji, rozkład na cykle
[4 godz.] Grafy.
• rodzaje grafów
• skojarzenia – tw. Halla
• przepływy w sieciach – tw. Forda - Fulkersona
• planarność grafów – tw. Kuratowskiego
• algorytmy grafowe (zb. rozpinające, minimalne trasy, . . . )
[4 godz.] Kraty i algebry Boole’a.
• pojęcie kraty i algebry Boole’a
• reprezentacja Stone’a
• funkcje boolowskie, bramki logiczne, tw. Posta
30 godzin
Literatura
•
Ross, K.A., Wright, Ch.R.B. Matemayka Dyskretna, PWN, Warszawa, 2003.
•
Bryant, V., Aspekty kombinatoryki, WNT, Warszawa, 2001.
•
Lipski, W., Marek, W., Analiza kombinatoryczna, WNT, Warszawa, 1986.
•
Buchmann, J., Wprowadzenie do kryptografii, PWN, Warszawa, 2006.
•
Koblitz, N., Wykład z teorii liczb i kryptografii, WNT, Warszawa, 1995.
2