Wykład II

Modelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate
Wykład II
2. Równania ruchu cieczy.
(2.1)
∂
z
=ρ
,
∂
v nt
oz
.
∂
,
∂
y
=ρ
∂
x
ox oy
=ρ
v nt v nt
Za punkt wyjścia do określenia równań ruchu lepkiej cieczy Newtonowskiej przez pory ciała
stałego przyjmujemy drugie prawo Newtona.
r
Oznaczając przez o siły działające w cieczy odniesione do jednostki objętości (gęstość działających
sił) drugie prawo Newtona możemy w kartezjańskim układzie współrzędnych x,y,z przedstawić
wzorem:
,
∂
r
vn określa wektor rzeczywistej (w sensie średniej) prędkości przepływającej cieczy i posiada
składowe v nx , v ny , v nz .
gdzie:
Prędkość vn można przy założeniu, że porowatość powierzchniowa fA jest w przybliżeniu równa
r
porowatości objętościowej f, powiązać z prędkością filtracji v następującym związkiem:
=
v
f
vn
r
1r
.
(2.2)
ox
v xf v yf v zf
t
t
t
Korzystając z powyższego związku równania (2.1) można zapisać inaczej:
∂ 

∂ 
∂ 
=ρ 
∂ 
=ρ
oy
oz
=ρ

,


,


.

∂ 

∂ 
(2.3)
r
z
p
e
ol
,ρ
y
p
,ρ
e
ol
ρ
x
p
przez
e
ol
r
p
ρ
e
ol
Gęstość siły o jest sumą sił, których źródło wynika z działania ciśnienia p, zwanym często
ciśnieniem porowym, energii potencjalnej płynącej cieczy oraz siły lepkości (lepkiego oporu przepływu).
Oznaczając:
składowe siły lepkości (oporu przepływu) –
,
składowe gęstości sił ciężkości (obliczone z energii potencjalnej przepływu) –
ρ
∂u
∂u
∂u
,ρ
,ρ
,
∂x
∂y
∂z
1
gdzie u = gz oraz składowe gęstości sił pochodzących od ciśnienia –
∂p ∂p ∂p
,
,
.
∂x ∂y ∂z
r
e
e
e
ol
ol
ol
u xu y u z
ox o y oz
p xp y p z
Stąd o można zapisać wzorem:
=−
x
p
∂
∂
,
−ρ
−ρ
∂
∂
r
∂
∂
=−
−ρ
−ρ
,
(2.4)
∂
∂
r
∂
∂
.
=−
−ρ
−ρ
∂
∂
r
Znak minus wynika z faktu, że gęstość siły o jest siłą bezwładności, a więc siłą przeciwnie
r
y
p
z
p
∂
∂
−
+
∂
∂
,
y
p
∂
∂
−
+
∂
∂
,
(2.5)
z
p
∂ 

∂ 
∂
∂
−
+
∂
∂
x
p
1

=−
ρ


1
=−
ρ

1

=−
ρ

e
e
e
ol
ol
ol
ux uy uz
∂ 

∂ 
∂ 

∂ 
px py pz
v xf v yf v zf
t
t
t
skierowaną do akcji, jakimi są siły znajdujące się po prawej stronie równań (2.4). W rezultacie drugie
prawo Newtona w odniesieniu do składowych sił w kierunkach x, y, z można zapisać w postaci:
.
Powyższe równania przy użyciu zapisu wskaźnikowego Einsteina mają postać:
i
p
i
+
e
ol
( δ 3 ),
−
i
1 ∂
ρ∂
xi
g
=−
p xi
t
fi
v
f
1∂
∂
,
(2.6)
e
ui
ol
δ
i
=
xi
g
i
p
gdzie porównując wyrażenia (2.5) i (2.6) otrzymujemy:
- oznacza składowe siły tarcia lepkiego
3
- oznacza składowe siły masowej ciężkości cieczy.
vi
c
=−
i
p
e
ol
Dla cieczy Newtona opór lepki jest proporcjonalny do prędkości filtracji, lecz odwrotnie do niej
skierowany i wyraża się wzorem:
,
(2.7)
v
s
gdzie c jest współczynnikiem oporu lepkiego przepływajacej cieczy.
r
r
Wprowadźmy prędkość
związaną z prędkością
związkiem:
K
.
2
+

δ 3 ,
i
1
ρ

xi
g
p
=
d
a
r
g
K
c
λ = 1/
(2.8)
w związku (2.8) wyraża się wzorem:
r
a
r
r
= −λ ,
K
r
przy czym wektor
v
s
r

(2.9)
s
r
Pochodna cząstkowa po czasie wektora
równa się:
Kt
vt
st
r
r
r
∂
∂
∂
.
=
−λ
∂
∂
∂
(2.10)
Podstawiając (2.8) do (2.6), po uwzględnieniu związku (2.7) możemy zapisać:
Kt
st
f
K
s
K
f
r
r
r 1 r
r
1∂
λ∂
+
= −  + λ  .
λ
∂
∂
(2.11)
Jeżeli prędkości zmiany gradientu ciśnienia jest mała w porównaniu z pozostałymi wielkościami w
równaniu (2.11) (zagadnienia quasi – statyczne) to możemy przyjąć, że:
f
=0
∂
s
st
f
i równanie (2.11) sprowadza się do postaci:
Kt
r
λ∂
r
1∂
1 r
=−
.
∂
λ
(2.12)
Rozwiązaniem tego równania jest funkcja:
r
t
f
=
e
s
s
r
0
−
λ
.
(2.13)
s
Jak widać to na rys. 4 im większe opory tarcia lepkiego w przypadku przepływu laminarnego cieczy
r
przez ośrodek porowaty, tym szybciej wartość bezwzględna wektora
osiąga wartość bliską zeru.
3
f
t
s
r
Rys. 4 Przebieg funkcji
()
w czasie dla wartości
/ λ =10;50;100.
Można więc stwierdzić, że dla odpowiednio dużych wielkości oporu lepkiego po bardzo krótkim
czasie (mniejszym niż 1 sekunda) dostajemy związek liniowy:
=λ
r
K
v
r
,
(2.14)
co można zapisać inaczej w postaci:

δ 3
i
+
xi

ρ

pg
=−
d
a
r
g
gc
v
r

.
(2.15)
+
δ
i
ρ
xi
H
=
pg
Z poprzednich rozważań (Rozdział III.1) wiemy, że wysokość hydrauliczna z pominięciem, ze
względu na jej mała wielkość, energii kinetycznej przepływającej cieczy wyraża się wzorem:
3.
(2.16)
=−
H
d
a
r
g
k
r
v
Wprowadzając ponadto w miejsce g/c wielkość k oznaczającą współczynnik filtracji k, dostajemy
prawo Darcy’ego dla przypadku ośrodka jednorodnego i izotropowego:
.
(2.17)
Przeprowadzając analogiczne rozumowanie dla przypadku ośrodka anizotropowego równanie (2.17)
przyjmie postać:
4
H
j
ki
vi
, ,
(2.18)
j
ki
gdzie
j
=
jest tensorem przepuszczalności o 9 współczynnikach przepuszczalności wyrażony wzorem:
k k k
k k k
k k k
j
ki
=
11
12
13
21
22
23
31
32
33
,
(2.19)
k
przy czym ze względu na symetrię tensora wystepuje tylko 6 możliwych różnych wielkości
współczynników przepuszczalności. Najczęściej w przypadku ośrodków anizotropowych mamy do
czynienia z tensorem przepuszczalności, który posiada jedynie wartości różne od zera na głównej
przekątnej:
k
= 0
0
0
0 .
(2.20)
k
j
ki
0
11
22
0
33
r
=
.
(2.21)
R
r
R
r
v
gk
Uzyskaliśmy tą drogą równania ruchu zgodne z prawem Darcy’ego. W dalszych rozważaniach
będziemy stosować bardziej ogólny sposób dochodzenia do podstawowych związków fizycznych
modelu. Prowadzą one do identycznych rezultatów, jednak są nieco bardziej złożone pod względem
aparatu matematycznego. Z tego względu zdecydowaliśmy się na przedstawienie obydwu dróg
dochodzenia do równań modelu.
Powyższe rozważania prowadzą również do wniosku, że podczas przepływu filtracyjnego
cieczy przez ośrodek porowaty występuje siła oporów lepkich, która determinuje prędkość przepływu
filtracyjnego, ale również oddziaływuje na szkielet ośrodka porowatego, przy czym ma w tym przypadku
zwrot przeciwny i wynosi:
Siłę
wyrażoną związkiem (2.21) będziemy nazywali siłą unoszenia filtracji. Siła ta ma
duży wpływ na odkształcenia postaciowe szkieletu gruntowego, a także na stany graniczne ośrodka
porowatego.
3 Równania hydrodynamiki wód podziemnych dla przypadku przepływu cieczy
nieściśliwej przez nieodkształcalny ośrodek porowaty.
ρ=
o
t
s
n
o
c
Zakładając, że ośrodek gruntowy jest ciałem idealnie sztywnym, a ciecz przepływająca przez siatkę
kanalików filtracyjnych jest nieściśliwa, układ równań opisujący proces przepływu laminarnego
sprowadza się do:
o równania stanu:
,
(2.22)
równania ciągłości przepływu
v zz
v yy
v xx
∂(
∂
) + ∂( ) + ∂( ) = 0,
∂
które można zapisać inaczej w postaci:
5
∂
(2.23)
v
v
i
d
r
równań ruchu
vx v y vz
=−
=−
=−
(2.24)
H xH y H z
kx k y kz
o
= 0.
∂
,
∂
∂
,
∂
∂
.
∂
(2.25)
=
=−
=
.
(2.26)
H
d
a
r
g
k
r
v
Równanie ruchu cieczy można zapisać inaczej:
k
=
kz
ky
kx
W olbrzymiej większości przypadków rozważamy zagadnienia ośrodka izotropowego. Dla tego
przypadku mamy:
.
(2.27)
Podstawiając równania ruchu (2.27) do równania ciągłości przepływu (2.23) dostajemy
równanie różniczkowe opisujące proces przepływu cieczy nieściśliwej przez jednorodny, izotropowy,
nieodkształcalny ośrodek porowaty w postaci:
∂2
∂
2
+
∂2
∂
Hz
2
+
Hy
Hx
∂2
∂
2
=0,
(2.28)
co można zapisać inaczej:
H
∇2
=0.
(2.29)
Φ=−
H
k
W dalszych rozważaniach istotne wydaje się wprowadzenie nowej wielkości określanej mianem
potencjału prędkości przepływu i wyrażanej związkiem:
.
(2.30)
Równanie (2.28) przyjmuje w tym przypadku postać:
z
y
x
∂ 2Φ ∂ 2 Φ ∂ 2Φ
+
+
=0
∂ 2 ∂ 2 ∂ 2
(2.31)
lub
∇2Φ = 0 .
natomiast równania ruchu sprowadzają się do:
6
∂Φ
,
∂
x
vx
=
(2.32)
vy vz
y
∂Φ
,
∂
∂Φ
,
=
∂
=
z
r
d
a
r
g
v
lub
(2.33)
r
=
Φ.
(2.34)
Wyprowadzone równania (2.32) i (2.34) pozwalają na rozwiązanie zagadnień przepływu
ustalonego cieczy nieściśliwej przez nieodkształcalny ośrodek porowaty przy założeniu jednorodności i
izotropowości ośrodka.
4 Równanie hydrodynamiki wód podziemnych dla przypadku przepływu cieczy
ściśliwej z uwzględnieniem ściśliwości szkieletu gruntowego.
Powróćmy do równania ciągłości przepływu uwzględniającego efekty ściśliwości cieczy i fazy
stałej ośrodka porowatego:
f t
v zz
v yy
v xx
∂(ρ
∂
) + ∂(ρ ) + ∂(ρ ) = − ∂(ρ ) .
∂
∂
∂
(2.35)
∂
t
f
ft
∂(ρ
f t
Pochodną cząstkową po czasie możemy zapisać inaczej:
)=ρ∂
∂ρ
.
∂
+
∂
(2.36)
Ht
g
pt
Zgodnie z równaniami stanu oraz uwzględniając, że
∂
∂
=ρ
∂
∂
(2.37)
s
(2.38)
Ht
g
pt
ft
oraz
w
t
∂ρ
∂
∂
= ρβ
= ρ2 β
∂
∂
∂
Ht
g
pt
otrzymamy:
,
s
s
∂
∂
∂
.
=β
=ρ β
∂
∂
∂
(2.39)
w
Ht
7
∂
,
∂
Ht
g
f
∂
) = ρη
r
p
s
∂(ρ
∂
∂
+ ρ2 β
∂
∂
f t
czyli
Ht
) = ρ2 β
s
∂
g
∂(ρ
f t
Związek (2.37) można przedstawić, zatem:
,
(2.40)
(2.41)
f
w
η spr
).
+ β
s
Współczynnik
(β
=ρ
r
p
s
η
g
gdzie
(2.42)
określany jest nazywany współczynnikiem pojemności sprężystej warstwy
wodonośnej.
η spr
jest wielkością małą i jego wartość waha się w przedziale 10
−6
1
÷ 10−5   .
 
m
Wielkość
Równanie ciągłości przepływu można zapisać w formie:
∂
∂
Ht
) + ∂ ( ρ ) + ∂ ( ρ ) = − ρη
∂
.
∂
r
p
s
v zz
v yy
v xx
∂(ρ
∂
(2.43)
+
∂
∂
∂
= −η
Ht
∂
∂
.
∂
r
p
s
+
v zz
v xx
∂
∂
v yy
Uwzględniając, że zmiany gęstości cieczy w zależności od zmiennych przestrzennych x, y, z są
małe, można przyjąć, że nie zależą od tych zmiennych niezależnych. Równanie (4.151) uprości się
wówczas do postaci:
(2.44)
vx v y vz
H xH y H z
k k
k
Uwzględniając równania ruchu dla przypadku ośrodka izotropowego w postaci:
∂
∂
∂
=−
∂
∂
=−
∂
=−
,
,
(2.45)
.
Równanie (2.44) można przedstawić w następującej formie:
2
=
η
∂
∂
Ht
∂2
∂
k
2
+
r
p
s
∂2
∂
Hz
2
+
Hy
Hx
∂2
∂
.
(2.46)
Ostatecznie równanie opisujące proces przepływu cieczy ściśliwej przez ściśliwy ośrodek
porowaty można zapisać:
Ht
=
1∂
,
∂
a
2
(2.47)
k
+ β
)
w
(β
f
ρ
s
=
r
p
s
η
∂2
∂
g
a
=
2
+
k
gdzie
∂2
∂
Hz
2
+
Hy
Hx
∂2
∂
.
(2.48)
Współczynnik a nosi nazwę współczynnika piezoprzewodności.
Równanie (2.47) jest różniczkowym równaniem filtracji nieustalonej w ośrodku jednorodnym i
izotropowym przy sprężystym reżimie przepływu filtracji i nosi nazwę równania przewodnictwa Fouriera.
Postać tego równania jest analogiczna do równania przewodności cieplnej.
8
∂
∂
Ht
η
r
Ht
M
Ma
∂
=
∂
p
s
M
M k
W przypadku przepływu pod ciśnieniem dla warstwy o miąższości M równanie (2.47)
przedstawiane jest w innej postaci. Pomnóżmy licznik i mianownik członu równania znajdującego się po
prawej stronie równania (2.47) przez M (średnią miąższość warstwy wodonośnej).
Możemy zapisać:
(2.49)
M
k
TS
Oznaczając przez:
M
r
p
s
=
=η
- przewodność warstwy
- bezwymiarowy współczynnik pojemności wodnej warstwy wodonośnej
równanie (2.47) można przedstawić w postaci:
∂2
∂
2
=
∂
∂
Ht
2
+
ST
∂2
∂
Hz
2
+
Hy
Hx
∂2
∂
.
(2.50)
W rozdziale VIII będzie pokazany przykład rozwiązania zagadnień przepływu nieustalonego
metodami analitycznymi. Zagadnienia przepływu nieustalonego są rozwiązywane również metodami
numerycznymi przy pomocy profesjonalnych programów komputerowych np. [Flac, ModFlow,
Mathematica 5, Maple 8].
9