Równania różniczkowe cząstkowe

SPIS TREŚCI
Przedmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1. Równania różniczkowe cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Pojedyncze równania różniczkowe cząstkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Układy równań różniczkowych cząstkowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Strategie badania równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Zagadnienia dobrze postawione i rozwiązania klasyczne . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Słabe rozwiązania i regularność. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Typowe trudności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Przegląd treści . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Część I
PRZYKŁADOWE WZORY ROZWIĄZAŃ
2. Cztery ważne równania liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1. Równanie transportu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Zagadnienie początkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Zagadnienie niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Równanie Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Rozwiązanie podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Własność wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3. Własności funkcji harmonicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4. Funkcja Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5. Metody energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Równanie przewodnictwa cieplnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1. Rozwiązanie podstawowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2. Własność wartości średniej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Własności rozwiązań. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4. Metody energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
Spis treści
2.4. Równanie falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1. Rozwiązanie metodą średnich sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2. Zagadnienie niejednorodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3. Metody energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3. Nieliniowe równania pierwszego rzędu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1. Całki zupełne i obwiednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Całki zupełne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Obwiednie i nowe rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Metoda charakterystyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Wyprowadzenie równania charakterystyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4. Rozwiązanie lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5. Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Wprowadzenie do równań Hamiltona–Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Rachunek wariacyjny i równania Hamiltona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2. Przekształcenie Legendre’a i wzór Hopfa–Laxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3. Słabe rozwiązania. Jednoznaczność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Wprowadzenie do praw zachowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1. Fale uderzeniowe, warunek wzrostu entropii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2. Wzór Laxa–Olejnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3. Słabe rozwiązania i ich jednoznaczność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4. Zagadnienie Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5. Zachowanie dla długich czasów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Inne metody reprezentacji rozwiązań. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1. Rozdzielanie zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Rozwiązania samopodobne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Fale biegnące i płaskie. Solitony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Podobieństwo i skalowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Transformata Fouriera i transformata Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Transformata Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Transformata Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Zamiana równań nieliniowych na liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1. Transformata Hopfa–Cole’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2. Potencjały i przepływy bezwirowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3. Metoda hodografu i przekształcenie Legendre’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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175
175
183
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196
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199
Spis treści
4.5. Metody asymptotyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1. Zaburzenia osobliwe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2. Metoda Laplace’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3. Optyka geometryczna. Stacjonarna faza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.4. Homogenizacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6. Szeregi potęgowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1. Powierzchnie niecharakterystyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2. Funkcje analityczne w sensie rzeczywistym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3. Twierdzenie Cauchy’ego i Kowalewskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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201
201
206
208
208
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221
225
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232
234
Część II
TEORIA LINIOWYCH RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH
5. Przestrzenie Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.1. Przestrzenie Höldera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Przestrzenie Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1. Słabe pochodne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Definicja przestrzeni Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Elementarne własności słabych pochodnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Aproksymacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Wewnętrzna aproksymacja funkcjami gładkimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Aproksymacja funkcjami gładkimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3. Aproksymacja funkcjami gładkimi do brzegu włącznie . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Przedłużanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Ślady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Nierówności Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1. Nierówność Gagliarda–Nirenberga–Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2. Nierówność Morreya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3. Ogólne nierówności Sobolewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Zwartość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Dodatkowe informacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1. Nierówności Poincarégo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2. Ilorazy różnicowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.3. Różniczkowalność prawie wszędzie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.4. Wykorzystanie transformaty Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Inne przestrzenie funkcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1. Przestrzeń H −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2. Przestrzenie funkcji zależnych od czasu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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272
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277
279
280
280
282
286
289
8
Spis treści
6. Równania eliptyczne drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
290
6.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Równania eliptyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2. Słabe rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Istnienie słabych rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Twierdzenie Laxa–Milgrama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2. Oszacowania energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Alternatywa Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Regularność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1. Regularność we wnętrzu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2. Regularność na brzegu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Zasady maksimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1. Słaba zasada maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2. Mocna zasada maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3. Nierówność Harnacka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Wartości własne i funkcje własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.1. Wartości własne symetrycznych operatorów eliptycznych . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2. Wartości własne niesymetrycznych operatorów eliptycznych . . . . . . . . . . . . .
6.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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294
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320
321
323
327
327
328
333
337
340
7. Liniowe równania ewolucyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
7.1. Równania paraboliczne drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2. Istnienie słabych rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3. Regularność rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4. Zasady maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Równania hiperboliczne drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2. Istnienie słabych rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3. Regularność rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4. Rozchodzenie się zaburzeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5. Równania w dwu zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Układy hiperboliczne równań pierwszego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2. Symetryczne układy hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3. Układy ze stałymi współczynnikami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Teoria półgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1. Definicje, podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2. Konstrukcja półgrup kontrakcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3. Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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341
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396
400
400
406
408
412
414
Spis treści
9
Część III
TEORIA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH
8. Rachunek wariacyjny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1. Podstawowe pomysły. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2. Pierwsza wariacja i równanie Eulera–Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3. Druga wariacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.4. Układy równań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Istnienie minimów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1. Warunek wymuszania i półciągłość z dołu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.2. Wypukłość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3. Słabe rozwiązania równania Eulera–Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4. Układy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Regularność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1. Oszacowania pochodnych drugiego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2. Uwagi o wyższej regularności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4. Więzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1. Nieliniowe zagadnienia na wartości własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2. Więzy jednostronne i nierówności wariacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3. Przekształcenia harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.4. Nieściśliwość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Punkty krytyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1. Twierdzenie o przełęczy górskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2. Zastosowanie do półliniowych równań eliptycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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417
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464
469
472
9. Metody niewariacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473
9.1. Monotoniczność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Metody punktu stałego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.2. Twierdzenia Schaudera i Schaefera o punkcie stałym . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Metoda podrozwiązań i nadrozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4. Nieistnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1. Wybuchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2. Tożsamość Derricka–Pochożajewa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Geometryczne własności rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1. Gwiaździste poziomice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2. Symetria radialna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. Potoki gradientowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1. Funkcje wypukłe na przestrzeniach Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.2. Subróżniczki i półgrupy nieliniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.3. Zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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502
502
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512
10
Spis treści
9.7. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.8. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10. Równania Hamiltona–Jacobiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
517
10.1. Wprowadzenie: rozwiązania lepkościowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1. Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2. Zgodność różnych definicji rozwiązania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2. Jednoznaczność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3. Teoria sterowania i programowanie dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1. Wprowadzenie do teorii sterowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.2. Programowanie dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.3. Równanie Hamiltona–Jacobiego–Bellmana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.4. Wzór Hopfa–Laxa po raz drugi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11. Układy praw zachowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
542
11.1. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.1. Rozwiązania całkowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1.2. Fale biegnące, układy hiperboliczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2. Zagadnienie Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.1. Fale proste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2. Fale rozrzedzeniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.3. Fale uderzeniowe i nieciągłości kontaktowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.4. Lokalne rozwiązania zagadnienia Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3. Układy dwóch praw zachowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1. Niezmienniki Riemanna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2. Nieistnienie gładkich rozwiązań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4. Kryteria entropijne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.1. Znikająca lepkość, fale biegnące . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2. Para entropii i strumienia entropii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.3. Jednoznaczność dla skalarnego prawa zachowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5. Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.6. Uwagi bibliograficzne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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583
DODATKI
A. Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
584
Macierze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oznaczenia geometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funkcje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funkcje o wartościach wektorowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konwencja zapisu oszacowań . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kilka uwag na temat oznaczeń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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585
586
589
590
591
A.1.
A.2.
A.3.
A.4.
A.5.
A.6.
Spis treści
11
B. Nierówności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
591
B.1. Funkcje wypukłe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2. Nierówności elementarne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
591
592
C. Twierdzenia rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
596
Gładkość brzegu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Twierdzenie Gaussa–Greena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Współrzędne biegunowe i wzór na całkowanie po włóknach . . . . . . . . . . . . . . . . .
Splot i wygładzanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Twierdzenie o funkcji odwrotnej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Twierdzenie o funkcji uwikłanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zbieżność jednostajna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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598
599
599
602
603
605
D. Liniowa analiza funkcjonalna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
605
Przestrzenie Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Przestrzenie Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ograniczone operatory liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Słaba zbieżność . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operatory zwarte i teoria Fredholma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Operatory symetryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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E. Teoria miary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Miara Lebesgue’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funkcje mierzalne i całkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Twierdzenia o zbieżności dla całek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Różniczkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Funkcje o wartościach w przestrzeni Banacha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Literatura uzupełniająca do wydania polskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Skorowidz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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C.1.
C.2.
C.3.
C.4.
C.5.
C.6.
C.7.
D.1.
D.1.
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D.4.
D.5.
D.6.
E.1.
E.2.
E.3.
E.4.
E.5.