Egzamin z matematyki Transport St. 01-02-2012

Egzamin z matematyki
Transport St. 01-02-2012
Zadanie 1
(10 pkt.).
Wyznacz ekstrema lokalne funkcji
h(x) = x2/5 (x − 1)
Rozwi¡zanie. Dziedzin¡ funkcji h jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Mamy
h(x) = x7/5 − x2/5 , wi¦c h0 (x) = 57 x2/5 − 25 x−3/5 . Pochodna nie jest okre±lona
dla x = 0. Znajdujemy punkty krytyczne:
0=
7 2/5 2 −3/5
7x − 2
x − x
=
5
5
5x3/5
sk¡d x = 2/7. h0 jest dodatnia dla x > 2/7, ujemna dla 0 < x < 2/7 i dodatnia
dla x < 0, zatem w x = 2/7 mam minimum lokalne, a w x = 0 maksimum
lokalne (ostrze).
Zadanie 2
(10 pkt.).
Wyznacz asymptoty funkcji
p
x2 + 2x.
Dziedzin¡ funkcji jest (−∞, −2] ∪ [0, ∞). Granice lewostronna w
x = −2 i prawostronna w x = 0 s¡ równe 0, wi¦c nie ma asymptot pionowych.
p
√
x 1 + 2/x
x2 + 2x
lim
= lim
=1
x→∞
x→∞
x
x
Rozwi¡zanie.
i
lim
p
x→∞
x2 + 2x − x = lim √
x→∞
2x
=1
x2 + 2x + x
wi¦c praw¡ asymptot¡ uko±n¡ jest y = x + 1.
√
lim
x→−∞
p
|x| 1 + 2/x
x2 + 2x
= lim
= −1
x→−∞
x
x
i
lim
p
x→−∞
x2 + 2x + x = lim √
x→−∞
2x
= −1.
x2 + 2x − x
wi¦c lew¡ asymptot¡ uko±n¡ jest y = −x − 1.
Zadanie zawieraªo puªapk¦ dla miªo±ników reguªy de L'Hospitala:
√
Zadanie 3
x2 + 2x
x+1
≈√
≈
x
x2 + 2x
(10 pkt.).
Oblicz caªk¦
Z
dx
2 + tg x
1
√
x2 + 2x
... etc
x+1
Rozwi¡zanie. Podstawienie t = tg x (tu si¦ przydawaªa dobrze napisana sci¡ga)
R
dt
dt
1+t2 = dx zamienia caªk¦ na
(2+t)(1+t2 ) . Rozkªadaj¡c na uªamki proste dosta-
jemy
1
2/5
2/5 − t/5
,
=
+
(2 + t)(1 + t2 )
2+t
1 + t2
wi¦c
Z
2/5 − t/5
dt
1 + t2
Z
1
2
1
2t
= ln(2 + t) + arc tg t −
dt =
5
5
10
1 + t2
1
2
1
= ln(2 + t) + arc tg t −
ln (1 + t2 ) =
5
5
10
1
1
2
ln (1 + tg2 x).
= x + ln(2 + tg x) −
5
5
10
dt
=
(2 + t)(1 + t2 )
Z
1/5
dt +
2+t
Z
(tu te» ±ci¡ga byªa po»¡dana).
Zadanie 4
(10 pkt.).
Oblicz caªk¦
Z
x sin(2x + 1)dx.
Rozwi¡zanie.
Z
x sin(2x + 1)dx
u=x v 0 =sin(2x+1) u0 =1 v=− 1 cos(2x+1)
2
1
= − x cos(2x + 1) +
2
1
= − x cos(2x + 1) +
2
Z
1
cos(2x + 1)dx
2
1
sin(2x + 1)x + C.
4
.
O tych czerwonych elementach na ogóª zapominano
Inna mo»liwo±¢ to
Rozwi¡zanie.
Z
x sin(2x +
1)dx t=2x+1
dt=2dx
x=(t−1)/2
1
=
4
Z
(t − 1) sin tdtu=(t−1)
v 0 =sin t
u0 =1 v=− cos t ...
i dalej standardowo
Zadanie 5
(10 pkt.).
Oblicz pole trójk¡ta krzywoliniowego ograniczonego krzy-
wymi
y=
p
2 − x2 ,
y=x
i osi¡ OY.
√
√
Pierwsza funkcja jest okre±lona dla − 2 ≤ x ≤ 2 i jest zawsze
nieujemna.
Punkty
przeci¦cia z drug¡ krzyw¡ otrzymujemy rozwi¡zuj¡c rów√
nanie 2 − x2 = x. Podnosz¡c do kwadratu otrzymujemy rozwi¡zania x = ±1,
z których tylko x = 1 jest wªa±ciwym rozwiazaniem.
Rozwi¡zanie.
2
y=x
y=
√
2 − x2
Szukane pole jest zatem równe
Z
1
0
p
π
xp
x
x2 1
( 2 − x2 − x)dx =
2 − x2 + arcsin √ − = .
2
2 0
4
2
Inne rozwi¡zanie mogªo wygl¡da¢ tak:
√
2
√ Krzywa y = 2 − x przedstawia brzeg górnej poªowy koªa o
promieniu 2. Proste y = x i o± OY wycinaj¡ z niego "serek" o k¡cie wewn¦trznym
π
równym 1/8 k¡ta peªnego, zatem pole szukanej gury wynosi 2π
8 = 4.
Najcz¦±ciej popeªniane bª¦dy
Rozwi¡zanie.
1. Cz¦±¢ rozwi¡zywaªa równanie
√
2 − x2 = x w zad. 5 tak:
p
√
x = 2 − x2 ??? = ??? 2 − x
i otrzymywaªa 0 pkt.
√
2. Tworzenie szkicu wykresu funkcji 2 −√x2 rozpoczynano
od tabelki. Dla
√
x = 2, 3 otrzymywano warto±ci funkcji −2, −7 i nie budziªo to »adnej
reeksji u rozwi¡zuj¡cych.
3. Wykresy funkcji
√
2 − x2 w wielu wypadkach byªy liniami prostymi.
4. W zad. 2 szukanie dziedziny funkcji (x2 + 2x ≥ 0) ko«czyªo si¦ na rozpatrzeniu przypadku x ≥ 0, 2 + x ≥ 0.
5. Cz¦±¢ z tych, którzy wyznaczyli prawidªowo t¦ dziedzin¦, liczyªa równie»
granic¦ prawostronn¡ w x = −2 i lewostronn¡ w x = 0. Ciekawe rzeczy
wychodziªy, bo przecie» funkcja nie jest tam okreslona.
1
6. Wydaje si¦, »e ugruntowaªo si¦ przekonanie, »e f (x)
dx jest równe (??)
ln |f (x)| dla dowolnej funkcji f . A ju» prawdziwym kuriozum byªo takie
rozwi¡zanie (pisz¦ ? zamiast =)
R
Z
dx
?
2 + tg x
Z
1
dx +
2
Z
1
dx? ln 2 + ln | tg x| + C
tg x
7. No i jeszcze jeden kwiatek z caªek
Z p
Z
2
2 − x2 dx = (2 − x2 )1/2 dx? (2 − x2 )3/2 .
3
Jak juz si¦ ma ±ci¡g¦, to warto z niej inteligentnie korzysta¢.
7x−2
3/5
8. Równanie z zad. 1 0 = 5x
.
3/5 prowadziªo cz¦sto do 0 = 7x − 2, , x
Ciekawe, sk¡d braªa si¦ ta druga mo»liwo±¢?
3