Streszczenie - Instytut Mechaniki Teoretycznej i Stosowanej

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
Gliwice 2010
IMPLEMENTACJA METOD BEZSIATKOWYCH DO WYZNACZANIA
NIESTACJONARNEGO POLA TEMPERATURY W MATERIAŁACH
O WSPÓŁCZYNNIKU PRZEWODZENIA CIEPŁA ZALEŻNYM
OD WSPÓŁRZĘDNYCH GEOMETRYCZNYCH
ANITA UŚCIŁOWSKA
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska
e-mail: [email protected]
Streszczenie. WaŜnym zagadnieniem w inŜynierii jest rozwiązanie problemu
niestacjonarnego pola temperatury w ośrodku o współczynniku przewodzenia
ciepła zaleŜnym od współrzędnych geometrycznych.
Zjawisko to jest zagadnieniem początkowo-brzegowym opisanym równaniem
róŜniczkowym drugiego rzędu ze zmiennymi współczynnikami, zawierającym
operator Laplace’a. Warunek początkowy określa temperaturę w chwili
początkowej badanego zjawiska. Warunek brzegowy moŜe definiować
temperaturę lub strumień temperatury na brzegu obszaru.
Rozwiązanie rozwaŜanego zagadnienia wymaga zastosowania złoŜonych metod
obliczeniowych. W proponowanej pracy zastosowana została implementacja
metody róŜnic skończonych oraz metody rozwiązań podstawowych w celu
wyznaczenia dynamiki pola temperatury. Ponadto ze względu na obecność w
opisującym równaniu zmiennych współczynników zastosowano metodę iteracji
Picarda. Część niejednorodną równania aproksymuje się radialnymi funkcjami
bazowymi i w oparciu o nie wyznacza się rozwiązanie szczególne zagadnienia.
Ostateczne rozwiązanie zagadnienia otrzymuje się w postaci funkcji ciągłych
nieskończenie wiele razy róŜniczkowalnych. Pozwala to na dokonywanie analizy
otrzymywanych rezultatów i poddawaniu operacjom matematycznym bez
Ŝadnych ograniczeń.
MODELOWANIE INśYNIERSKIE
Gliwice 2010
IMPLEMENTATION OF MESHLESS METHODS FOR CALCULATION
OF TRANSINT TEMERATUE FIELD IN MATERIALS
WITH VARIABLE THERMAL CONDUCTIVITY
ANITA UŚCIŁOWSKA
Institute of Applied Mechanics, Poznan University of Technology
e-mail: [email protected]
Summary. The phenomenon of transient temperature field in a material of
spatially varying thermal conductivity coefficient is very popular as a subject of
investiagtion.
This phenomenon is modelled as initial-boundary value problem with second
order differential equation with variable coefficients, including Laplace operator.
The initial condition describes the temperature in initial time in the region. The
boundary condition defines the temperature or heat flux on the boundary of the
region.
The solution of the considered problem requires combined numerical method. In
presented paper the implementation of the finite difference method and the
method of fundamental solutions is done to simulate transient temperature field.
Moreover, the governing equation includes the variable coefficient. To solve such
equation with boundary conditions the method of Picard iterations is used. The
inhomogeneous part of the equation is approximated by radial basis functions and
due to this approximation the particular solution of the considered equation is
calculated.
The final solution is in the form of continuous functions infinitely times
differentiable. It leads to very useful form of the solution, which gives possibility
to perform analysis of obtained results and make mathematical operations without
any restrictions.