T - AGH

Automatyka i sterowanie w
gazownictwie
Modelowanie
Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz
Nazwa wydziału: WIMiR
Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH
Modele matematyczne
• Własności układu zdeterminowane są przez zbiorniki
energii lub masy w układzie nazywamy własnościami
dynamicznymi układu ( krótko – dynamiką układu ).
• Stanem ustalonym w układzie nazywamy stan, w którym
zbiorniki energii lub masy w układzie są napełnione, co się
objawia stałym poziomem sygnału wyjściowego.
Modele matematyczne ( wnioski cd. )
•
•
Jeżeli chcemy wyznaczyć zachowanie się układu pod
wpływem sterowań, to oprócz przebiegu funkcji sterującej
musimy znać „zawartość” zbiorników energii w momencie
rozpoczęcia sterowania. Z matematycznego punktu widzenia
oznacza to, że dla każdego z równań różniczkowych,
opisujących jeden zbiornik musimy mieć zdefiniowany
warunek początkowy.
W tym momencie należy jeszcze zaznaczyć, że do tej pory nic
nie mówiliśmy o związku pomiędzy wewnętrznymi zbiornikami
energii w układzie, a sygnałami wyjściowymi. Należy tu
stwierdzić, że w przypadku ogólnym nie jest to zależność
prosta.
Modele matematyczne – zmienne stanu
• Zmiennymi stanu (symbol x(t)) układu
nazywamy zmienne opisujące zawartość
wewnętrznych zbiorników energii układu;
• Ilość zmiennych stanu potrzebnych do opisu
procesu jest równa ilości niezależnych
zbiorników energii w układzie;
• Rzędem układu nazywamy ilość niezależnych
zbiorników energii w układzie. Jest on równy
ilości współrzędnych stanu.
 x  f ( x, u )

 y  g ( x, u )
Budowa modelu matematycznego w oparciu o
analizę bilansową w układzie.
1. Określenie granic układu będącego przedmiotem naszego
zainteresowania, tj. wskazać, jakie części rzeczywistości
uznajemy za układ, który chcemy opisać,
2. Określenie powiązania naszego układu z otoczeniem poprzez
wprowadzenie odpowiednich więzów lub sygnałów wejściowych,
3. Wybór zmiennych fizycznych ( sygnałów ) , występujących w
układzie, przy czym wygodnie jest podzielić je na dwie grupy:
• zmienne przepływu – są one miarą wielkości przepływającej
przez element, np. prąd przepływający przez rezystor, ciecz lub
gaz przepływający przez rurociąg.
• zmienne spadku – są one miarą różnicy stanów na dwóch
końcach elementu, np. różnica potencjałów na dwóch końcach
rezystora, spadek ciśnienia po obu stronach zwężki w rurociągu,
itp.
Budowa modelu matematycznego w oparciu o
analizę bilansową w układzie cd.
4. Napisanie równania określające zachowanie się układu.
Równania te można podzielić na dwie grupy:
• równania bilansowe – są to równania określające równowagę
układu, dotyczą one zmiennych przepływu,
• równania spójności określające zależności występujące
pomiędzy zachowaniem się poszczególnych elementów układu
ze względu sposób połączenia tych elementów. Dotyczą one
zmiennych spadku.
5. Uwzględnienie zależności fizycznych. Są to prawa fizyki
łączące zmienne przepływu ze zmiennymi spadku; dzięki nim
eliminuje się zmienne zależne, pozostawiając tylko zmienne
niezależne.
Przykład 1– model matematyczny silnika prądu
stałego
i
R
L
u(t)
(t)
e
Schemat silnika prądu stałego.
Przykład 1 – model matematyczny silnika prądu
stałego
1. Granice układu: rozważamy sam silnik, bez źródła
zasilania, obciążenia i podłoża,
2. Uwzględnienie więzów: Jako elementy łączące nasz
układ otoczeniem przyjmiemy następujące sygnały:
• sygnałem wejściowym jest napięcie zasilające,
• obciążenie silnika zastąpimy dodatkowym momentem
przyłożonym na wał silnika,
• podłoże zastąpimy odpowiednimi siłami reakcji.
Przykład 1 – model matematyczny silnika prądu
stałego
3. Wielkości fizyczne: w rozważanym silniku wyróżniamy dwie części: elektryczną
(uzwojenia ) oraz mechaniczną ( wirnik ). Część elektryczna może być dobrze
opisana przez dwójnik RL zawierający następujące elementy: rezystancję R,
indukcyjność L oraz źródło napięcia reprezentujące siłę elektromotoryczną
indukującą się w uzwojeniach podczas ruchu obrotowego wirnika. Jako sygnały
występujące w części elektrycznej można więc przyjąć:
•
uu - napięcie zasilania,
•
ur - spadek napięcia na rezystancji,
•
ul - spadek napięcia na indukcyjności,
•
us - siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniach.
Część mechaniczna to obracający się wirnik, na który działają określone momenty
mechaniczne, które przyjmiemy jako sygnały występujące w tej części układu:
•
M1 – moment napędowy,
•
M2 – moment obciążenia,
•
M3 - moment tarcia,
•
M4 – moment bezwładności.
Przykład 1 – model matematyczny silnika prądu
stałego cd.
4. Ułożenie równań: w tym przypadku musimy ułożyć dwa równania:
jedno dotyczące zmiennych spadku ( dla części elektrycznej ) –
będzie to równanie spójności, oraz drugie dotyczące zmiennych
przepływu ( dla części mechanicznej ) - będzie to równanie
bilansowe. Równanie spójności napiszemy korzystając z prawa
Kirchoffa. W tym wypadku suma wszystkich napięć w układzie musi
być równa zero. Z kolei równanie bilansu ułożymy korzystając z faktu,
że suma wszystkich momentów w układzie (łącznie z momentem
bezwładności ) jest równa zero. Oba równania możemy więc zapisać
następująco:
uu – ur – ul – us = 0
(1)
M1 – M2 – M3 – M4 = 0
(2)
Przykład – model matematyczny silnika prądu
stałego cd.
5. Zależności fizyczne: w naszym wypadku są to
powszechnie znane z fizyki wzory, które dla
przypomnienia zapiszemy poniżej:
ur  iR
di
ul  L
dt
us  k1
M 1  k 2i
M 3  k3
d
M4  J
dt
gdzie: i – oznacza natężenie prądu w uzwojeniach,  - oznacza
prędkość kątową wału silnika, J -oznacza moment
bezwładności, k1 k2 k3 - oznacza stałe współczynniki.
•
Uwzględniając powyższe zależności w równaniach ( 1 ) i ( 2 )
otrzymujemy:
Przykład 1 – model matematyczny silnika prądu
stałego cd.
di
uu  iR  L  k1  0
dt
d
k 2i  M 2  k3  J
0
dt
•
Powyższe równania porządkujemy w taki sposób, aby pochodne
znalazły się po lewej stronie i otrzymujemy równanie stanu dla
naszego systemu. Będzie ono mieć następującą postać:
R k1
1
 di


i



uu
 dt
L
L
L

 d  k 2 i  k3   1 M
2
 dt
J
J
J
•
•
Równanie wyjścia będzie miało postać:
y=
Przykład 2 – siłownik pneumatyczny membranowy
Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę
wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do
ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest
przesunięcie trzpienia x.
p z(t)
A - powierzchnia membrany,
m - masa części ruchomych (
membrana i trzpień ),
k - stałą sprężystości sprężyny
podpierającej,
R - współczynnik oporów ruchu
części ruchomych.
A
m
k
R
x(t)
Przykład 2 – siłownik pneumatyczny membranowy
cd.
• Bilans sił występujących w w/w siłowniku:
• Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp.
Fp(t) = Apz(t)
• Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia
Fs(t)=kx(t)
• Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w
rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do
prędkości:
FR(t)=Rv(t)
• Siła bezwładności jest opisana powszechnie znanym wzorem:
Fb(t)=ma(t)
Przykład 2 – siłownik pneumatyczny membranowy
cd.
Bilans sił można zapisać następująco:
Fp = Fs+FR+Fb
Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy:
Apz(t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t)
Wiedząc, że:
v(t )  x (t )
Otrzymujemy:
a (t )  v(t )  x(t )
Ap z (t )  kx(t )  Rx (t )  mx(t )
Założenia do modelu matematycznego
analizowanych elementów pneumatycznych:
• Zastosowane w układzie wężyki pod wpływem ciśnienia
nie zmieniają wymiarów geometrycznych
• Temperatura przepływającego w wężykach gazu
nie zmienia się
• Przyjęto, że w osuszaczu płaszczowym ubytek
masy z transportowanej próbki gazowej na skutek
utraty wody jest pomijalnie mały
• Przemiana gazowa w mieszku pompki
membranowej jest izotermiczna i moment
mechaniczny wytwarzany przez silnik zasilający
pompę jest stały
Przykład 3 – wężyk doprowadzający gaz
wariant 1 (dla krótkiego wężyka ok. 20 cm)
• Przy użyciu laminarnych rezystancji
pneumatycznych. Matematyczna zależność
opisująca laminarną rezystancję pneumatyczną
przedstawia prawo Hagena Poiseuilla’a, opisujące
zależność pomiędzy spadkiem ciśnienia w kanale,
a przepływem objętościowym. Dla kanału
cylindrycznego ma ona postać:
Przykład 4 – wężyk doprowadzający gaz
wariant 2 (dla dłuższego wężyka ok.1m)
• Jako element o stałych skupionych z
opóźnieniem:
Przykład 5 – pompka membranowa
• Jest to element wymuszający przepływ gazu.
Sposób jej sterowania określa, czy układ będzie
pracował impulsowo, czy w sposób ciągły.
Ck – zmienna pojemność
pneumatyczna
Zz1, Zz2 – nieliniowe
impedancje zaworków
Założono, że: przemiana w
mieszku pompki jest
izotermiczna i że moment
mechaniczny wytwarzany
przez silniczek zasilający
pompkę jest stały.
Przykład 5 – pompka membranowa
• Model zmiennej pojemności pneumatycznej:
Przykład 5 – pompka membranowa
Model nieliniowych rezystancji pneumatycznych
tworzących statyczną charakterystykę zaworka:
Przykład 5 – pompka membranowa
• Model nieliniowych rezystancji pneumatycznych
tworzących dynamiczną część rezystancji zaworka:
Przykład 6 – model komory (za pomocą
stałej pojemności pneumatycznej:)
p
Vcz
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Definicja
Stanem procesu nazywamy zbiór liniowo niezależnych
wielkości x1(t) … xn(t):
1. określających w pełni skutki przeszłych ( w przedziale
czasu [0, t0 ] ) oddziaływań na system,
2. wystarczający do wyznaczenia przebiegów dowolnych
wielkości w systemie w przyszłości. ( dla t > t0 )
Wielkości
stanu
x1(t) … xn(t) – zmienne
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Zmienne stanu budują wektor stanu systemu:
x1(t) 
x (t)
2
n


x(t) 
R
.... 


xn (t)
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Uwagi nt. wektora stanu:
• Znajomość stanu procesu w chwili początkowej
x(t0) oraz sterowań U w przedziale [t0;t1) pozwala
na wyznaczenie stanu x i wyjścia procesu y w
przedziale (t0;t1) .
• Wybór wektora stanu dla procesu nie jest
jednoznaczny dla tego samego systemu można
wybrać wiele równoważnych wektorów stanu) .
• Liczba zmiennych stanu procesu równa jest liczbie
niezależnych zbiorników energii w układzie.
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
R
Przykład:
C1
u1(t)
a/ układ opisany
1 zmienną
stanu:
Jest nią uc(t)
uc (t)
C2
i(t)
R
u1(t)
b/ układ opisany
2 zmiennymi
stanu:
Są to uc1(t) i
uc2(t)
C1
i(t)
uc1 (t)
i2 (t)
C2
uc2 (t)
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Znajomość zmiennych stanu pozwala na wyznaczenie wszystkich
innych wielkości w systemie.
Przypadek a/:
Przypadek b/:
u1 (t )  uc (t )
i(t ) 
R
uc1 (t )  uc2 (t )
i2 (t ) 
R
duc1 (t )
i(t )  i2 (t )  C1
dt
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
•Zmienne stanu najczęściej są powiązane z sobą zależnością w
postaci równania różniczkowego.
•W przypadku ogólnym stan systemu x(t) nie jest dostępny
(mierzalny). Dostępne jest tylko wyjście systemu opisane przez y(t).
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.
Wektor sterowań:
u1 (t ) 
u (t ) 
2
p


u (t ) 
R
.... 


u p (t ) 
Wektor sterowań opisuje od strony formalnej
oddziaływania sterujące działające na system .
wszystkie
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.
Wektor wyjść:
 y1 (t ) 
 y (t )
2
r


y (t ) 
R
.... 


 yr (t ) 
Wektor wyjść opisuje tę część systemu, która jest dostępna do
obserwacji i pomiarów.
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.
Równanie stanu jest wektorowym równaniem różniczkowym I rzędu
(liniowym lub nieliniowym)
Nieliniowe ciągłe równanie stanu:
x ( t )  f ( x ( t ), u ( t ), t )
Nieliniowe równanie wyjścia:
y ( t )  g ( x ( t ), u ( t ), t )
f, g – funkcje wektorowe o odpowiednich wymiarach
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni stanów.
Schemat blokowy systemu opisanego nieliniowym ciągłym
równaniem stanu:
u(t)
x(t)  f (x(t),u(t),t)
x(t)
y(t)  g(x(t),u(t),t)
y(t)
Opis systemów dynamicznych w przestrzeni
stanów.
Równanie stanu dla systemu liniowego stacjonarnego:
 x (t )  Ax(t )  Bu (t )

 y (t )  Cx(t )  Du (t )
Gdzie:
A- macierz stanu o wymiarze n x n,
B – macierz sterowań o wymiarze n x p,
C – macierz wyjść o wymiarze r x n,
D – macierz bezpośrednich sterowań o wymiarze r x p
Transmitancja operatorowa
Dotychczas układy rzeczywiste opisywaliśmy (tworząc ich model
matematyczny) równaniami różniczkowymi.
Np. model silnika prądu stałego.  di
R k
1
  uu
 dt
L
L
L

 d  k 2 i  k3   1 M
2
 dt
J
J
J

i
1
Model systemu dynamicznego w postaci transmitancji jest drugim,
częściowo alternatywnym, częściowo uzupełniającym sposobem
opisu systemów dynamicznych dla potrzeb automatyki.
Podstawowa ideą opisu transmitancyjnego jest badanie zachowania
się wyjścia obiektu pod wpływem określonych sterowań.
W automatyce rozróżniamy dwa rodzaje transmitancji:
transmitancję operatorową oraz transmitancję widmową, przy czym
są one z sobą ściśle powiązane.
Przekształcenie Laplace’a
• Transformata Laplace'a jest jednym z narzędzi
matematycznych służących do rozwiązywania liniowych
równań różniczkowych zwyczajnych. W metodzie tej
przekształca się równanie różniczkowe zwyczajne w
równanie algebraiczne, którego zmienną jest operator
Laplace'a „s”.
• Następnie (w równaniu algebraicznym) wykonuje
się konieczne przekształcenia
• Rozwiązanie równania różniczkowego uzyskiwane
jest poprzez zastosowanie odwrotnej
transformaty Laplace'a.
Definicja transformaty Laplace’a
Mając funkcję czasową f(t) spełniającą następujący warunek:


0
f (t )e
t
dt  
dla pewnej skończonej liczby rzeczywistej σ, transformatę
Laplace'a tej funkcji wyznacza się z następującej całki:

£  f (t )  F ( s)  0
f (t )e  st dt
Zmienna s określana tutaj jako operator Laplace'a i jest
zmienną zespoloną określoną wzorem
s =σ + jω .
Podstawowe twierdzenia
1. Liniowość:
£{ af1(t) + bf 2(t)} = aF1(s) + bF2(s), a, b – stałe
2. Całkowanie w dziedzinie rzeczywistej:
 t f (t )dt   F ( s )
0

s


£ 
Podstawowe twierdzenia cd.
3. Różniczkowanie w dziedzinie rzeczywistej:
£
n 1
 d n f (t ) 
n
n  k 1 ( k )

s
F
(
s
)

s
f (0)



n
k 0
 dt 
• pierwsza pochodna:
 df (t ) 

  sF ( s )  f (0)
 dt 
£
• druga pochodna:
£
 d 2 f (t ) 
2

s
F ( s )  sf (0)  f ' (0)


2
 dt 
Transformaty Laplace’a najczęściej
spotykanych funkcji
Lp.
Oryginał f(t)
Transformata F(s)
1.
 (t )  impuls jednostkowy
1
( funkcja Diraca)
2.
1(t )  skok jednostkowy
1
s
( funkcja Heavyside' a )
3.
t
1
s2
4.
1
t n 1
(t  1)!
1
;n  1
sn
5.
e  t
1
s 
6.
t  e  t
1
(s   ) 2
7.
t n 1 t
e
(t  1)!
1
(s   ) n
8.
sin t

s 2
cos t
s
s 2
sinh t

s  2
cosh t
s
s  2
e t sin t

(s   ) 2   2
9.
10.
11.
12.
2
2
2
2
Definicja transformaty operatorowej
Transmitancją operatorową układu o jednym wejściu i jednym
wyjściu nazywamy następujące wyrażenie:
G (s) 
Y (s)
U (s)
Transmitancja jest więc stosunkiem transformaty Laplace’a
wyjścia systemu do transformaty wejścia systemu, przy
zerowych warunkach początkowych.
To ostatnie założenie jest bardzo istotne i decyduje o ograniczeniach
stosowalności modelu transmitancyjnego. W praktyce, transmitancja
ma najczęściej postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s, przy
czym lokalizacja pierwiastków tych wielomianów ma decydujące
znaczenie dla własności układu.
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy
Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę
wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do
ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest
przesunięcie trzpienia x.
p z(t)
A
A - powierzchnia membrany,
m - masa części ruchomych (
membrana i trzpień ),
k - stałą sprężystości sprężyny
podpierającej,
R - współczynnik oporów ruchu
części ruchomych.
m
k
R
x(t)
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy cd.
• Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na
podstawie bilansu sił występujących w nim:
• Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp.
Fp(t) = Apz(t)
• Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia
trzpienia
Fs(t)=kx(t)
• Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w
rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do
prędkości:
FR(t)=Rv(t)
• jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem:
Fb(t)=ma(t)
Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy cd.
Bilans sił można zapisać następująco:
Fp = Fs+FR+Fb
Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy:
Wiedząc, że:
Apz(t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t)
v(t )  x (t )
a (t )  v(t )  x(t )
Otrzymujemy:
Ap z (t )  kx(t )  Rx (t )  mx(t )
Transformata Laplace’a powyższego równania, przy założeniu zerowych
warunków początkowych na x oraz x będzie mieć następującą postać:
APz(s) = kX(s) + RsX(s) +ms2X(s)
Jeżeli teraz przypomnimy, że wyjściem układu jest sygnał x, a wejściem –
sygnał pz, to widzimy, że transmitancja operatorowa układu będzie
mieć postać:
X (s)
A
G (s) 
Pz ( s )

ms 2  Rs  k
Charakterystyki układów
1. Charakterystyki statyczne opisują własności
statyczne systemów dynamicznych
2. Charakterystyki opisujące własności
dynamiczne systemów:
• Czasowe
• Częstotliwościowe:
- Charakterystyka amplitudowo-fazowa
- Charakterystyka amplitudowa
- Charakterystyka fazowa
Własności statyczne systemów dynamicznych
Charakterystyka statyczna opisuje zależność wyjścia
systemu dynamicznego od jego wejścia w stanie
USTALONYM.
u(t)
Obiekt
y(t)
Sposób wyznaczania:
1. Podajemy sygnał u o stałej wartości na wejście obiektu,
2. Czekamy, aż wartość wyjścia „y(t)” się ustali,
3. Odczytujemy wyjście „y”
4. Zmieniamy stałą wartość wejścia „u” i powtarzamy kroki 1-3
Wyjście układu y
Przykładowy przebieg charakterystyki statycznej:
Punkt pracy
Wejście układu u
UWAGA! Charakterystyka statyczna prawie każdego
rzeczywistego układu jest nieliniowa!
Punkt pracy układu
Punkt pracy układu
Jest zdeterminowany przez warunki konkretnego procesu, np.
jest to wymagana temperatura pieca, w której przebiega
proces, itp.
W praktyce obiekt może mieć kilka punktów pracy ( np. kilka
różnych temperatur)
Linearyzacja statyczna
y
Zakres
liniow
y
P(u0,y0
)Punkt
pracy
Zakres
liniow
y
u
W niewielkim otoczeniu punktu pracy układ może być uważany
za liniowy.
Chrakterystyki czasowe
Definicja:
Charakterystyką czasową nazywamy przebieg czasowy wyjścia układu y(t)
wywołany określonym wymuszeniem.
Charakterystyka impulsowa:
Jest to odpowiedź układu na impuls Diraca δ(t)
Charakterystyka skokowa:
odpowiedź układu na skok jednostkowy 1(t)
Eksperymentalne wyznaczanie charakterystyk
czasowych:
u(t) = 1(t),
u(t)  (t)
zadajnik
y(t)
Obiekt
t
Rejestrator,
System SCADA
Transmitancja widmowa
Definicja
Transmitancją widmową układu nazywamy stosunek
wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi
Yw
tego
układu
wywołanej
wymuszeniem
sinusoidalnym
do
wartości
zespolonej
tego
wymuszenia:
Yw ( j )
G ( j ) 
U w ( j )
Doświadczalne wyznaczanie transmitancji
widmowej i charakterystyk częstotliwościowych:
u(t) = Au sin(t)
generator
Obiekt
Rejestracja:
y(t)=Ay sin (t+  ) M() i  ()
Transmitancja widmowa
Sygnał wejściowy U:
U w ( j )  AU (  )e
j t
Odpowiedź obiektu Y:
Yw ( j )  AY ( )e
j (t  ( ))
Transmitancja widmowa
G ( j )  P( )  jQ ( )  M ( )e
Moduł transmitancji:
• A(ω) – amplituda,
•
(ω) – faza
AY ( )
M ( )  G ( j ) 

Au ( )
Faza transmitancji:
j (  )
P 

2
Q  
 ( )  arg G ( j )  arc tg
P  
 Q 

2
Analityczne wyznaczanie transmitancji widmowej:
Wykorzystujemy związek pomiędzy transmitancją widmową i operatorową,
pozwalający na wyznaczenie transmitancji widmowej na podstawie
transmitancji operatorowej:
G( j)  G(s) s j
Charakterystyki częstotliwościowe
Definicja
Charakterystyką amplitudowo – fazową układu (charakterystyką
Nyquista ) nazywamy wykres transmitancji widmowej tego układu na
płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
Q(w)
Przykład:
 
w= 0
M(w)
(  )
P(w)
Charakterystyki częstotliwościowe
Definicja
• Logarytmiczną charakterystyką amplitudową (charakterystyką Bodego )
nazywamy zależność 20logM() w funkcji log 
Definicja
• Logarytmiczną charakterystyką fazy nazywamy zależność  ( )w funkcji
log 
20logM()[dB]
Przykład
 ()
log 
Podstawowe człony dynamiczne
• Okazuje się, że tym samym modelem matematycznym
można opisać wiele zupełnie różnych procesów fizycznych.
• W konsekwencji tego, grupy procesów będą mogły być
opisane transmitancjami tego samego typu.
• W związku z tym można stwierdzić, że ogromna większość
rzeczywistych procesów dynamicznych może być opisana
kilkoma podstawowymi transmitancjami, bądź ich
połączeniem.
Podstawowe człony dynamiczne
• Jest ich kilkanaście.
• Na wykładzie zaprezentowane będą cztery
człony,
najczęściej
wykorzystywanych
w
praktyce do identyfikacji obiektów rzeczywistych
(w otwartym układzie sterowania):
1. Inercyjny I rzędu
2. Inercyjny II rzędu
3. Inercyjny I rzędu z opóźnieniem
4. Całkujący z opóźnieniem
• Oraz jeden wykorzystywany do analizy
zamkniętych układów regulacji:
1. Oscylacyjny II rzędu
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny I rzędu
Przykład fizyczny.
i(t)
Schemat dwójnika RC:
R
y(t)
u(t)
C
Zakładamy, że sygnałem sterującym jest napięcie zasilające u(t), a sygnałem
wyjściowym – spadek napięcia na kondensatorze y(t)
u (t )  Rit   y t 
dy t 
dy
i i t   C
 u t   RC  y t 
dt
dt
Po przekształceniu w dziedzinie zmiennej zespolonej otrzymujemy:
G (s) 
Y (s)
1

U ( s ) RCs  1
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny I rzędu
Transmitancja tego elementu ma
postać:
G (s) 
k
Ts  1
t


1
k


Charakterystyka czasowa: y(t )  L A 

  Ak 1(t )  e T
y(t)  s Ts  1

1
gdzie:
k – współczynnik
wzmocnienia,
T – stała czasowa,
A – amplituda skoku
jednostkowego.




Ak
0.6388A k
T
t
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny II rzędu
Przykład fizyczny.
Schemat procesu mieszania w zbiornikach:
 ,
C2
2

C1
1

Roztwór o natężeniu objętościowym  i stężeniu 
przechodzi przez dwa zbiorniki – mieszalniki o
objętościach c1 oraz c2.
k
G (s) 
T1s  1T2 s  1
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny II rzędu
Jeżeli przyjmiemy całkowite wymieszanie, to dla stężeń 1 oraz
2 w poszczególnych zbiornikach możemy sformułować
następujące równania bilansowe:
d

1      
C
1
2
1

dt

C d 2      
2
 2 dt
Przyjmujemy, że sygnałem wyjściowym jest stężenie w drugim
zbiorniku 1. Sygnałem wejściowym stężenie zadane .
Po przekształceniach
otrzymamy:
i
transformacji
otrzymanego
 s 
1
G s  

1s   C1
 C 2

s  1
 s  1

 

równania
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt inercyjny II rzędu
Transmitancja obiektu:
gdzie:
k
G (s) 
T1s  1T2 s  1
k – współczynnik
wzmocnienia
y (t ) 
T1 , T2 – stałe czasowe.
Charakterystyka czasowa:
k
1

k
L  

 s (T1s  1)(T2 s  1) 
1
t
t




1 

 k 1(t ) 
T1e T1  T2 e T2

T1  T2 

y(t)
u(t)=1(t)
T1
T2
czas




Podstawowe człony dynamiczne
obiekt I rzędu z opóźnieniem
Transmitancja obiektu:
ke s
G (s) 
gdzie:
Ts  1
 - opóźnienie (czas martwy) obiektu,
t 
s
k – wzmocnienie obiektu,





1
ke
1
T

y (t )  L  
  k 1(t   )  e
T – stała czasowa obiektu.

 s Ts  1
y(t)
y(t)
k
u(t)=1(t)

T
Charakterystyka czasowa
czas


Charakterystyka czasowa skokowa
y
K Au
0.9 8 K A u
0.6 3 2 K A u
0
τ
T+τ
4T+τ
t
Charakterystyka skokowa obiektu inercyjnego z opóźnieniem
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt całkujący z opóźnieniem
Transmitancja obiektu:
gdzie:
y
 - opóźnienie (czas martwy) obiektu,
k – wzmocnienie obiektu,
T – stała czasowa obiektu.
β = arctg K Au
0.368KAu T
0
ke s
G (s) 
Ts
τ
T+τ
Charakterystyka skokowa obiektu całkującego z inercją
wyższego rzędu
t
Parametry zastępczego modelu obiektu
całkującego z inercją wyższego rzędu na
podstawie charakterystyki skokowej
Na podstawie rysunku możemy określić wszystkie
współczynniki zastępczej funkcji przejścia, mianowicie:
 Współczynnik wzmocnienia dany jest znanym
wzorem
tg
K
Au
 Pozostałe parametry zastępcze można wyznaczyć ze
wzorów
(0.368 KAuTz )
Tz 
0.368 tg 
  (Tz   )  Tz
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt oscylacyjny II rzędu
Transmitancja obiektu:
gdzie:
k – współczynnik wzmocnienia,
k
G (s)  2 2
T0 s  2 T0 s  1
T0 – okres drgań własnych,
 - współczynnik tłumienia .
Warunek wystąpienia oscylacji:
 <1
Podstawowe człony dynamiczne
obiekt oscylacyjny



k
1  1
y (t )  L   2 2
  k 1( t ) 
 s T0 s  2 T0 s  1 



e

t
T0
1 2
 1
sin 
 T0

y(t)
1
u(t)=1(t)
Charakterystyka czasowa
czas
2


t 


