Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 1 Zadanie 1 Czy

Analiza Matematyczna dla Informatyków
Lista 1
Zadanie 1 Czy zdanie Jeżeli 3 jest liczba, parzysta,
, to o ile 3 jest liczba, nieparzysta,
, to 3 jest podzielne przez 2.” jest
”
prawdziwe?
A co można powiedzieć o prawdziwości zdania: Jeżeli n jest liczba, parzysta,
, to o ile n jest liczba, nieparzysta,
, to 3 jest
”
podzielne przez 2.”?
Zadanie 2 Sprawdzić, czy nastepuj
ace
zdania sa, tautologiami:
,
,
p ⇒ (q ⇒ p)
(¬p) ⇒ p ⇒ p
p ⇒ (¬q ∧ q) ⇒ r
p ⇒ (q ⇒ (p ∧ q))
(¬p) ⇒ (p ⇒ q)
(p ∨ q) ⇒ r ⇒ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r)
p ⇒ (q ⇒ r) ⇒ [(p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)]
(p ⇒ q) ∧ (¬q) ⇒ (¬p)
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r)
Zadanie 3 Rozstrzygnać
, poprawność poniższych wnioskowań Sherlocka Holmesa, odpowiedź uzasadnić:
Jeżeli morderca jest lekarzem, to zna dzialanie tej rzadkiej trucizny. Dowody wskazuja, na to, że morderca zna dzialanie
tej trucizny. Zatem morderca jest lekarzem.
Jeżeli morderca jest lekarzem, to zna dzialanie tej rzadkiej trucizny. Dowody wskazuja, na to, że morderca nie umial
przewidzieć dzialania tej trucizny. Zatem morderca nie jest lekarzem.
Zadanie 4 Definiujemy dwa spójniki logiczne ↓ (kreske, Sheffera, operator NAND) oraz ⊥ (spójnik Pierce’a, operator
NOR) w nastepuj
acy
sposób:
,
,
def
p ↓ q = (¬p ∨ ¬q)
def
p ⊥ q = (¬p ∧ ¬q) .
oraz
Podać tabele ich wartości logicznych.
(*) Wyrazić koniunkcje,
kreski Sheffera, a nastepnie
przy użyciu
,
, alternatywe,
, negacje,
, implikacje, przy użyciu wylacznie
,
spójnika Pierce’a.
Zadanie 5 Zapisać przy użyciu kwantyfikatorów oraz ocenić wartość logiczna, poniższych zdań. Odpowiedź uzasadnić.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Suma dowolnych dwóch liczb rzeczywistych jest wieksza
od ich różnicy.
,
Iloczyn pewnych dwóch liczb rzeczywistych jest mniejszy od ich ilorazu.
Istnieja, liczby rzeczywiste nie bed
kwadratem żadnej liczby rzeczywistej.
,
, ace
Nie istnieje liczba rzeczywista, której kwadrat bylby mniejszy od zera.
Uklad równan: x + y = 2, 2x + 2y = 3 nie ma rozwiazań.
,
Liczby 5 i 17 nie maja, wspólnego dzielnika.
Zadanie 6 Niech A, B, C, D ⊆ X sa, zbiorami. Spradzić, czy nastepuj
ace
wlasności sa, prawdziwe:
,
,
X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B);
X \ (A ∩ B) = (X \ A) ∪ (X \ B);
A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);
A ∪ (B \ C) ⊇ (A ∪ B) \ (A ∪ C);
(A \ B) \ (C \ D) ⊂ (A \ C) ∪ (D \ B);
(A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D).
Zadanie 7 Wyznaczyć i naszkicować na osi liczbowej lub w ukladzie wspólrzednych
nastepuj
ace
zbiory:
,
,
,
3
2
4
3
2
x ∈ R : 4x − 21x + 29x − 6 = 0
x ∈ R : x − 3x − 2x − 6x − 8 = 0
√
{x ∈ R : 1 ≤ | log2 x| ≤ 2}
x ∈ R : x2 − 2x + 1 < 1
2
2
(x, y) ∈ R : y > x
(x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 1
n
o
2
2
(x, y) ∈ R2 : 2x + 3y + 5 = 0
(x, y) ∈ R2 : x4 + y9 = 1
(x, y, z) ∈ R3 : 3x + 4y + 2z − 1 = 0
(x, y, z) ∈ R3 : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25
n
o
p
(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2
(x, y, z) ∈ R3 : y = x2 + z 2 − 1 .
Zadanie 8 Rozwiazać
nierówności:
,
2x − 1
< 1,
3x + 5
1
1
>
,
|x − 2|
1 + |x − 1|
|x| − 1
1
≥ .
2
x −1
2
2
Zadanie 9 Wyznaczyć dziedzine, i zbiór wartości nastepuj
acych
funkcji:
,
,
√
x
1
f (x) =
,
g(x) = 2
h(x) = x − 1,
1,
1+x
x −x+ 4
1
k(x) = min x,
x
,
a nastepnie
naszkicować ich wykresy.
,
Zadanie 10 Wyznaczyć dziedziny funkcji
q
f (x) = log 12 (1 − sin 2x) − log 12 (1 − cos 2x)
√
1
10 + 3x − x2
g(x) = logx2 −1 22x+1 −
−
.
8
x2 − 4x
i
Zadanie 11 Pokazać, że funkcja f (x) = x + x1 , x 6= 0, jest funkcja, nieparzysta,
, rosnac
, a, na przedziale [1, +∞) oraz
malejac
a
na
przedziale
(0,
1].
, ,
Zadanie 12 Zbadać parzystość (nieparzystość) nastepuj
acych
funkcji
,
,
p
x−1
2x + 1
f (x) = log
,
g(x) = x · x
,
h(x) = log x + 1 + x2 ,
x+1
2 −1
k(x) = sin x + cos x.
Zadanie 13 Niech f : D → R, gdzie D jest niepustym podzbiorem R symetrycznym wzgledem
0. Pokazać, że f można
,
przedstawić jako sume, funkcji parzystej i nieparzystej.
Zadanie 14 Dla jakich liczb a, b, c ∈ R odwzorowanie f : R 3 x 7→ ax2 + bx + c ∈ R jest iniekcja,
, suriekcja,
, bijekcja?
,
Zadanie 15 Sprawdzić, czy podane funkcje
p
x
,
g(x) = x − x2 ,
f (x) = 2
x +1
sa, różnowartościowe i wyznaczyć ich zbiory wartości.
h(x) = ex−1 ,
k(x) = log 5x − x2 − 6
Zadanie 16 Niech f : R → R2 jest odwzorowaniem określonym wzorem f (x) = (x + 2, 2x + 1). Sprawdzić czy f jest
iniekcja, lub suriekcja.
,
Zadanie 17 Niech f, g : R → R bed
, a, funkcjami określonymi wzorami
x+1
dla x < 1
f (x) =
i
x2 + x
dla x ≥ 1
g(x) =
x
.
x2 + 1
0,
−x2 ,
dla x ≤ 0,
dla x > 0.
Utworzyć g ◦ f .
Zadanie 18 Dane sa, dwa odwzorowania f, g : R → R:
0, dla x ≤ 0,
f (x) =
x, dla x > 0
i
g(x) =
Naszkicować wykresy tych odwzorowań i wyznaczyć zlożenia g ◦ f i f ◦ g.
Zadanie 19 Przedstawić funkcje
f (x) =
q
log 12 (1 − sin 2x)
i
|2x+1|
g(x) = log2 2
1
−
8
w postaci zlożenia funkcji elementarnych.
Zadanie 20 Niech f : R2 → R i g : R → R bed
, a, odwzorowaniami określonymi wzorami f (x, y) = 2x − y i g(x) =
Utworzyć g ◦ f .
x
1+x2 .