Macierze i układy równań

Macierze i ukªady równa«
E. Sadowska-Owczorz
1. Oblicz istniej¡ce iloczyny macierzy

(a)
AA, AB , AC , BA, BB , BC , CA, CB i CC .


A=
#
1 −1 3
0
2 1

(c)
19 pa¹dziernika 2016

"
#
−1 2
2 4
1
−2
1 2



3 2 
, C =
A =  1 0 −2 , B =
,
5 −1 3
−2 1
−2 2
3
"
(b)
- zadania
"
,
B=
−1 1
2 3
#
"
,
C=


3 5
−2 1
#
,

0 3 1
2
h
i




A =  1 0 2 , B = 0 3 2 , C =  1 .
3 2 0
4
2. Oblicz
(a) 2 −5 ,
3
2 (b) 2 2 −1
0 1
1
3 1 −3
(c) ,
3 −1 2 4
2 2 ,
−1 −3 0 (f) (g) (d) 2
1
−2
1
(e) 1 −1
2
0 2
2
1
3 ,
2
0
1 −1 1
1 −2
1 4
1
2 0 −1 −2 ,
2
3
1 0 −2
1 1
2
2
1
2
3
2
0
1
3
−1
2
3
0
2
2
1
2
1
3
4
1 −1
0
2
1
6
0
2 −4
3
2
0
1
2
2
1 2
1
3 4
1 −1 0
2
1 6
1
1 0
,
.
3. Wyznacz macierz odwrotn¡ do macierzy
"
(a)



(b) 

1 2
2 1
1
2
0
1
#
,
(c)
2
1 2
1
3 4
1 −1 0
2
1 1



,

(d)




2
1 1

3 2 
 1
,
1 −2 1
2 1
3


 0 1 −1 .
1 2
1
4. Rozwi¡» równania
"
(a)
X
2 3
−1 2
"
#
(b)
1 3
1 2
#
"
=
"
X=

(c)
#

,
3
1 −2
−2 −1
0

(f)
#
,







(g) 
1
1
−3
2


−1
2 1
3
6




 2 −1 0  X =  −1 −3 ,
3
0 0
3
0
(h)

(e)


"
#
1 0
1
2 4
3


0 =
X  1 2
,
−2 2 −3
1 0 −2
1


1 2 −1
2 4
3



0  X =  −2 2 −3 
 −3 1
.
2 0
0
2 0
2

3
2 −1
−2 2
0



1 = 5 5
1 
X  1 −1
,
−1
1
1
5 0 −1

(d)
0 7
−14 0



X 
2 −1
3
2 −1
2
1
0 −1
0
0
0
−1
1
2
2






X=



0
6
0
5
4 −2
−2
2



.

0 −1
2
h
i
1
2 −3 

 = 1 1 −4 4 .
0
0 −1 
3 −1
0

Macierze i ukªady równa«
E. Sadowska-Owczorz
- zadania
19 pa¹dziernika 2016
5. Rozwi¡» ukªady równa« (przy pomocy twierdzenia Cramera)
(a)
(b)

x + 2y
= 14
2x − y = 3

x − 3z
= −1
=1
3x − 5z
,
(c)
(d)
,



x + 2y
− 3z = 1
2x − y + 2z = 0



x + 3y − z = 5
,



x + 2y
− 3z = 13
2x − y + z = 0



x+y−z =6
(e)
,
(f)
6. Okre±l liczb¦ rozwi¡za« i rozwi¡» ukªady równa« w zale»no±ci od parametru
(a)
(b)

x + ay
=2
ax − y = −3

ax + 2z
3x − 2z
,
= −1
=1
(c)



x + 2ay
=1
2x − y + 2z = 0



x + 3y − az = 5
,
(d)



2x − y
+ 3z = −1
x+z =0



x + 2y + z = 4



2x − 3y
+z =8
x + 2y + z = 1



x + 2y + 2z = 2
,
,
a



x + 2y
− 3z = 0
2x − y + z = 0



ax + ay − z = 0
,
,
7. Okre± ilo±¢ rozwi¡za« i rozwi¡» ukªady równa« (przy pomocy twierdze« Kroneckera-Capellego i Cramera)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)

x + y
− 2z + 3w = 5
2x − y + 5z − w = 3
(g)


x + y − 2z = 5



2x − y + 5z = −8


3x − 2y




+z =1
x − y − 3z = 7
(h)



3x − y
− 2z + 3w = 5
2x + y + 4z − w = 3



x − 2y − 6z + 4w = 2
(i)


x + y − 2z + 3w




2x − y + 5z − w
=0
=0


x+y+z−w =0




−3x + 2y + z + w = 0
(j)



2x + y
−z =2
x − 3y + 6z = −3



5x − y + 4z = 1
(k)


3x + 2y − 2z + w = 6




2x − y + 5z − w = 4
(l)
−z =1
x − y + 4z = 9


4x + 2y




2


x + 3y − z = 1




3x − 2y + 2z =
4


2x − y + 3z = 3




4x + 5y + z = 5



5x − y
+ 4z = 1
x − 3y + 6z = 1



2x + y − z = 2



2x − 3y
+z+t=1
x − y − z − 4t = 2



−y + 3z + 9t = 2



3x − 2y
+ z + 3u = 1
2x + 3y − z − 2u = 0



x + 8y − 3z − 7u = 1


a − 3b + 2c − d




2a + b + c − 2d
=2
=3


4a − 5b + 5c = 7




a + 4b − c − d = 1


k + m − 2n = 0




2k − m + 3n = 4
− m + 2n = 2
3k − 2m − n = 0


k




Macierze i ukªady równa«
E. Sadowska-Owczorz
(m)
(n)


2s + 3t + 4u − v



3s − t + 2u + 2v
+ 2w = 2
−w =1


4s + t + u − 2v + 3w = −1




s + t + 5u + 3v − 2w = 4
(o)



5x − y
+ 4z + t = 0
2x − 3y + z − t = 3



2x + y − 2z − 3t = −6
(p)
- zadania
19 pa¹dziernika 2016


x − 3y + z = 3



3x + 3y − y = 5
−z =1
2x + y − 2z = 2


x + 2y






−x − 4y + 7z =



x − 3y + 6z = 1
−4


4x − 5y




+ 11z = 7
2x + y − z = 5
Odpowiedzi
1.
2.
(a)
AB , BB
, BC , CA i CC nie istniej¡.




"
#
"
#
6 10 −3
8 13
−7 −4 2
1 0




2
0 −5 , AC =  3 0 , BA =
A = 6
, BC =
,
3 26 16
−14 11
−8 −2
3
2 3


12 −3
4
1 12 
CB = 
 4
,
9 −3 −1
(b)
AA, AB
" i AC nie istniej¡.
#
"
#
"
#
"
#
−1 3 −2
3 2
−5 −4
3 7 14
2
BA =
, B =
, BC =
, CA =
,
2 4
9
4 11
0 13
−2 4 −5
"
#
"
#
7 18
−1 20
2
CB =
, C =
,
4 1
−8 −9
(c)
AB , B2 , CA
6 2

2
A = 6 7
2 9
i
C2 nie istniej¡.




0 6 4
6
7
h
i
h
i



1 
3 2 
,
, AC =  10 , BA = 9 4 6 , BC = 11 , CB =  0
7
8
0 12 8
(a) 19
(b) 1
(c) 0
(d) 30
(e) -22
(f) 16
(g) 0
3