wykorzystanie podstawowych praw fizyki w modelowaniu

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
35, s. 131-138, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI
W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNYCH
MATERIAŁU
TADEUSZ WEGNER, DARIUSZ KURPISZ
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska
e-mail: [email protected], [email protected]
Streszczenie. W niniejszej pracy, bazując na gruncie zasady zachowania energii
oraz geometrycznej interpretacji procesu odkształcenia przedstawionej w pracy
[Wegner T., Matematyczne modelowanie mechanicznych właściwości
materiałów. Biuletyn WAT, Vol. LIV, Nr 12, 2005, s. 5-51.] wyprowadzono wzór
na funkcję gęstości energii wewnętrznej oraz zaproponowano sposób jej podziału
na część objętościową i postaciową. Przyjęto takŜe inny sposób opisu wybranych
właściwości materiału bazujący na intensywności przyrostu funkcji gęstości
energii wewnętrznej. Na podstawie tej koncepcji uzyskano związki pozwalające
na wyznaczenie zaleŜności odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w procesie
odciąŜania oraz składowych stanu odkształcenia po zakończeniu tego procesu.
Całość rozwaŜań odniesiono do jednoosiowego rozciągania i poddano weryfikacji,
wykorzystując wyniki eksperymentu przeprowadzonego dla aluminium
w statycznej próbie rozciągania, uzupełnionej o pomiary odkształceń
poprzecznych do osi rozciągania.
1. WSTĘP
Matematyczny opis właściwości mechanicznych materiału, bazujący na klarownych
załoŜeniach i trafnej interpretacji fizycznej, jest niezwykle istotny w badaniu zjawiska
zniszczenia materiału.
Większość modeli właściwości fizycznych materiałów, cytowanych powszechnie
w literaturze, sprowadza się do aproksymacji eksperymentalnych zaleŜności uzyskanych
w próbie jednoosiowego rozciągania np. [5]. Tego rodzaju modele nie stwarzają moŜliwości
opisu właściwości materiału w złoŜonym stanie napręŜenia. Budowa modeli mechanicznych
właściwości materiału dla trójosiowego stanu napręŜenia jest trudnym zadaniem, zwłaszcza
wtedy, gdy właściwości te są nieliniowe.
W takich przypadkach pomocne są modele energetyczne. Opierają się one na
zdefiniowaniu wielkości skalarnej nazywanej funkcją gęstości energii wewnętrznej, która
wprowadza związek pomiędzy niezmiennikami stanu odkształcenia a całkowitą energią
zakumulowaną w odkształconym materiale. Wprowadzenie takiego związku pomiędzy
składowymi stanu odkształcenia a energią zgromadzoną w materiale pozwala na ocenę stanów
132
T. WEGNER, D. KURPISZ
niebezpiecznych ze względu na moŜliwość plastycznego płynięcia bądź zniszczenia materiału.
Energetyczne kryteria niestabilności stosowane są między innymi w pracach [4] i [7].
Nie istnieje ogólnie obowiązująca postać funkcji gęstości energii, która byłaby prawdziwa
dla wszystkich materiałów. Znany jest jednak zespół załoŜeń, który powinna spełniać
prawidłowo dobrana funkcja gęstości energii wewnętrznej. Podają je min. Ogden i Taylor
w swojej pracy [3]. Wykorzystując te załoŜenia, konstruuje się postać funkcji gęstości energii
wewnętrznej, aproksymującej właściwości materiału. Przedmiotem zainteresowania są takŜe
materiały anizotropowe, stąd podejmowane są próby wykorzystania modelu energetycznego
do opisu właściwości tych materiałów [1], [6].
Zdecydowana większość modeli energetycznych niezaleŜnie od przyjętych załoŜeń cechuje
się znacznym stopniem trudności matematycznej, tymczasem przyroda rządzi się prostymi
prawami, które mogą skutecznie pomóc w rozpatrywaniu skomplikowanych zagadnień.
W niniejszej pracy, co jest jej oryginalną częścią, posługując się zasadą zachowania energii
oraz fizyczną interpretacją procesu odciąŜania, wyprowadzono związki matematyczne
pozwalające na dokonanie podziału energii na część objętościową i postaciową.
Wykorzystując pojęcie intensywności przyrostu funkcji gęstości energii wewnętrznej,
wyznaczono trajektorię obciąŜenia, wzdłuŜ której materiał wykazuje największą sztywność.
Określono takŜe zaleŜność odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w procesie odciąŜania
oraz składowe stanu odkształcenia po całkowitym odciąŜeniu elementu. Teoretyczne
rozwaŜania przeprowadzono dla statycznej próby jednoosiowego rozciągania, przy załoŜeniu
izotropowości materiału oraz zmienności współczynnika odkształceń poprzecznych.
Uzyskane związki poddano weryfikacji na postawie wyników eksperymentu
przeprowadzonego dla aluminium.
2. PODSTAWOWE ZWIĄZKI MATEMATYCZNO FIZYCZNE
Przyjmijmy, zgodnie z tokiem rozumowania przedstawionym w pracy [7], Ŝe proces
odkształcenia materiału poddanego działaniu zewnętrznych obciąŜeń moŜna przedstawić
w przestrzeni głównych składowych odkształcenia za pomocą linii, której punkty odpowiadają
określonym stanom odkształcenia.
Rys. 1. Proces jednoosiowego rozciągania materiału liniowo spręŜystego
w przestrzeni głównych składowych odkształcenia x=ε1, y=ε2, z=ε3
WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI… 133
Przy odkształceniu czysto objętościowym linia ta jest pochylona pod jednakowym kątem
do wszystkich osi układu (odcinek OO1), co oznacza, Ŝe odległość mierzona wzdłuŜ tej linii
moŜe być uznawana za miarę odkształcenia objętościowego. ZałóŜmy dalej analogicznie, Ŝe
odległość mierzona w kierunku prostopadłym do tej linii określać będzie odkształcenie
postaciowe. Oznaczając główne składowe stanu odkształcenia przez ε 1 , ε 2 , ε 3 , zaś
wspomniane odległości przez h i r , otrzymujemy
1
1 2
2
h 2 = (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) = I 1 ,
(1)
3
3
2
2 2
2
2
r 2 = (ε 1 + ε 2 + ε 3 ) − 3(ε 1ε 2 + ε 1ε 3 + ε 2ε 3 ) = I1 − 3I 2 ,
(2)
3
3
gdzie I 1 oraz I 2 są niezmiennikami stanu odkształcenia. Gwarantuje to ich niezaleŜność od
przyjętego układu odniesienia, dzięki czemu moŜemy od nich uzaleŜnić funkcje gęstości
energii wewnętrznej W (h, r ) ∈ C 2 . Przyrost wartości tej funkcji wyraŜa się wzorem
[
] (
)
∂W
∂W
dh +
dr.
(3)
∂h
∂r
Zakładając, Ŝe mamy do czynienia z procesem statycznego jednoosiowego rozciągania oraz
przyjmując izotropowość materiału i znajomość aproksymacji jego charakterystyk
eksperymentalnych, otrzymujemy wzory transformacyjne
dW =
h(ε 1 ) = ε 1 cos α + 2ε 2 (ε 1 ) sin α ,
r (ε 1 ) = ε 1 sin α − 2ε 2 (ε 1 ) cos α ,
(4)
określające zaleŜność pomiędzy składowymi stanu odkształcenia h i r w przestrzeni R0H
a wydłuŜeniem względnym ε1 .
Korzystając z faktu, Ŝe
dW
σ 1 (ε 1 ) =
,
(5)
dε 1
na mocy związku (3) otrzymujemy
σ 1 (ε 1 ) =
∂W
dh ∂W
dr
(ε 1 , ε 2 (ε 1 ))
+
(ε 1 , ε 2 (ε 1 ))
,
∂h
dε 1 ∂r
dε 1
(6)
który po wykorzystaniu związków (4) i wykonaniu kilku elementarnych przekształceń
przyjmuje postać równania róŜniczkowego cząstkowego
σ 1 ( h, r ) =
∂W 
∂W 
′
′
 cos α + 2ε 2 (h, r ) sin α  +
 sin α − 2ε 2 (h, r ) cos α ,
 ∂r 

∂h 
gdzie
σ 1 (h, r ) = σ 1 (h cos α + r sin α ),
ε 2′ (h, r ) = ε 2′ (h cos α + r sin α ).
Rozwiązanie ogólne równania (7) moŜna przedstawić w postaci
(7)
134
T. WEGNER, D. KURPISZ
ε1



(8)
F r cos α − h sin α + 2ε 2 (r , h), W (r , h) − ∫ σ 1 (ε 1 )dε 1  = 0,


0


gdzie F jest dowolną funkcją ε 1 = h cos α + r sin α , zaś ε 2 (h, r ) = ε 2 (h cos α + r sin α ), bądź
równowaŜnie w postaci
ε1
(
)
W (h, r ) = ∫ σ 1 (ε 1 )dε 1 +G r cos α − h sin α + 2ε 2 (r , h) ,
(9)
0
gdzie G jest dowolną funkcją, zaś ε 1 i ε 2 (h, r ) określone są tak jak wyŜej . W interpretacji
fizycznej funkcja G jest funkcją kary, przyjmującą wartości niezerowe poza ścieŜką
odkształcenia. Jest to bezpośrednią konsekwencją zasady zachowania energii. Zatem na
ścieŜce odkształcenia mamy
ε1
W (h, r ) = ∫ σ 1 (ε 1 )dε 1 .
(10)
0
W celu dokonania podziału energii na części objętościową i postaciową wystarczy powołać
się na wyniki doświadczalne procesu odciąŜania materiału. Korzystając z faktu, Ŝe proces
odciąŜania przebiega wzdłuŜ prostej równoległej do linii reprezentującej zaleŜność napręŜenia
od odkształcenia w początkowym etapie obciąŜania próbki oraz zakładając, Ŝe odzyskiwana
jest tylko część objętościowa energii, otrzymujemy
W ( v ) (ε 1 ) =
σ 2 (ε 1 )
2E
,
(11)
oraz
W ( s ) (ε 1 ) = W (ε 1 ) −
σ 2 (ε 1 )
2E
,
(12)
gdzie W ( v ) (ε 1 ) i W ( s ) (ε 1 ) oznaczają odpowiednio część objętościową i postaciową energii.
Odwołując się do przedstawionej wcześniej interpretacji składowych stanu odkształcenia oraz
wykorzystując związki (4), po wykonaniu serii przekształceń otrzymujemy:
W ( v ) (h) =
σ 2 ( g1 (h))
2E
,
(13)
gdzie
g1 (h) = h cos α + f 1 (h) sin α ,
(14)
zaś r jest funkcją składowej h , r = f1 (h) wyznaczoną na podstawie związków (4). Podobnie
na podstawie zaleŜności (12) mamy
g 2 (r )
W ( s ) (r ) =
∫ σ (ε1 )dε1 −
0
σ 2 ( g 2 (r ))
2E
,
(15)
gdzie
g 2 (r ) = f 2 (r ) cos α + r sin α ,
zaś f 2 (r ) jest wyznaczoną na mocy związków (4) zaleŜnością składowej h od r .
(16)
WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI… 135
Całkowita energia zgromadzona wewnątrz odkształconego materiału wyraŜa się zatem za
pomocą związku
W (h, r ) = W ( s ) (r ) + W ( v ) (h).
(17)
3. INTENSYWNOŚĆ PRZYROSTU FUNKCJI GĘSTOŚCI ENERGII WEWNĘTRZNEJ
Przyjmując, Ŝe związki (4) określają postać parametryczną dowolnej krzywej C zawartej
w płaszczyźnie R 0 H , zaś W (h, r ) jest klasy C 1 na tej płaszczyźnie, pochodną kierunkową
funkcji W (h, r ) względem krzywej C moŜemy wyrazić związkiem
cccc
dW c
= o ∇W ,
ds
c
(18)
 dr dh 
 ∂W ∂W 
=
,
,
.
, s jest długością łuku, natomiast ∇W = 
 ∂r ∂h 
 dε 1 dε 1 
Z drugiej strony na mocy definicji iloczynu skalarnego, związek (18) moŜemy przedstawić
w postaci
dW
= ∇W ⋅ cos ∠(c, ∇W ).
(19)
ds
gdzie
Z otrzymanego powyŜej związku wynika, Ŝe o intensywności przyrostu funkcji gęstości
energii wewnętrznej decydował będzie cos ∠(c, ∇W ) . W zaleŜności od wartości
przyjmowanej przez cos ∠(c, ∇W ) moŜemy wyróŜnić następujące skrajne przypadki:
1. cos ∠(c, ∇W ) = 1 , co odpowiada sytuacji, w której intensywność przyrostu energii
wewnętrznej jest maksymalna. Przekształcenie związku (19) pozwala wyznaczyć w
przestrzeni R0 H równanie róŜniczkowe trajektorii stanów odkształcenia, wzdłuŜ której
następuje najszybszy przyrost energii wewnętrznej, a więc sztywność materiału jest
największa. Równanie tej trajektorii przyjmuje postać
∂W
dh
= ∂h .
(20)
dr ∂W
∂r
r
2. cos ∠ l , ∇W = 0 , w wyniku, czego uzyskujemy zerową intensywność przyrostu energii
wewnętrznej, co odpowiada brakowi obciąŜenia.
3. cos ∠ c, ∇W ( v ) = −1 , gdzie mamy do czynienia z największą intensywnością spadku
części objętościowej energii. Odpowiada to procesowi odciąŜenia elementu. Wykorzystując
związek (19) w odniesieniu do części objętościowej energii i wykonując kilka elementarnych
przekształceń, otrzymujemy w przestrzeni R0 H równanie róŜniczkowe trajektorii, wzdłuŜ
której następuje proces odciąŜania
∂W ( v )
dh
(21)
= ∂h .
dr ∂W ( v )
∂r
(
(
)
)
136
T. WEGNER, D. KURPISZ
W celu wyznaczenia zaleŜności odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w procesie
odciąŜania wystarczy tylko wykorzystać związki (4) (11) i (21), które po wykonaniu
przekształceń pozwalają zapisać
σ (ε 1 ) dε 1
dh
2
= E dh =
.
(22)
dr σ (ε 1 ) dε 1
2
E dr
Z drugiej strony
′
1 + 2ε 2 (ε 1 )
dh
=
.
(23)
′
dr
2 (1 − ε 2 (ε 1 ))
Wykorzystując związki (22) i (23) oraz wykonując serię przekształceń, otrzymujemy
równanie zaleŜności odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych, które przyjmuje postać
ε 2 (ε 1 ) = ε 2 odc ,
(24)
gdzie ε 2
jest składowa poprzeczną stanu odkształcenia w chwili inicjacji procesu
odciąŜania.
Składowe wzdłuŜną i poprzeczną po zakończeniu procesu odciąŜania moŜemy wyznaczyć ze
wzorów
1
′
′
′
ε 1odc = ε 1odc − σ odc oraz ε 2 odc = ε 2 (ε 1 odc ).
E
Korzystając z definicji współczynnika odkształceń poprzecznych i związku (24), mamy
odc
ε
ν~ odc (ε 1 ) = − 2
odc
ε1
.
(25)
Otrzymane równanie opisuje współczynnik odkształceń poprzecznych w trakcie odciąŜania
elementu.
4. WYKORZYSTANIE WYNIKÓW PRÓBY STATYCZNEGO JEDNOOSIOWEGO
ROZCIĄGANIA DLA ALUMINIUM.
Doświadczalne charakterystyki zaczerpnięte z badań M. Obsta [2] moŜna aproksymować
funkcjami
Re

ε1
dla ε 1 ≤ ε e ,

(26)
σ (ε 1 ) = 
εe
− aε 2 + bε + c dla ε > ε ,
1
1
1
e

oraz
1

ε ε
⋅ (4ν (ε e ) ) 1 e
dla
ε1 ≤ ε e ,

4

(27)
dla ε e < ε 1 < 0,074 ,
ν~ (ε 1 ) = 
ν (ε e ) exp(−10(ε 1 − ε e )1,6 )
ν (ε ) exp(−10(0,074 − ε )1,6 ) ⋅ exp(ε − 0,074) dla 0,074 ≤ ε < 0,121 ,
e
1
1
 e

2
R − Re
Rm − Re
( Rm − Re )ε r
gdzie a = m
,
b
=
2
⋅
ε
,
c
=
R
−
, ε e = 0,0063, natomiast
r
r
(ε m − ε e ) 2
(ε m − ε e ) 2
(ε m − ε e ) 2
Re = 184MPa , Rm = 238MPa są stałymi materiałowymi. Zestawienie tych aproksymacji
z wykresami doświadczalnymi przedstawiają rysunki 2 i 3.
WYKORZYSTANIE PODSTAWOWYCH PRAW FIZYKI W MODELOWANIU WŁAŚCIWOŚCI… 137
ν~ (ε 1 )
σ(ε1)[MPa]
0,6
300
0,5
250
D
D
0,4
200
•
0,3
150
0,2
100
0,1
50
ε1
0
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
Rys. 2. Aproksymacja wykresu zaleŜności napręŜenia od
odkształcenia względnego w próbie jednoosiowego
rozciągania dla aluminium
ε1
0
0,2
0
0,05
0,1
0,15
0,2
Rys. 3. Aproksymacja zaleŜności współczynnika
odkształceń poprzecznych od wzdłuŜnych w
próbie jednoosiowego rozciągania dla aluminium
Na podstawie wprowadzonych aproksymacji (26), (27) oraz wzorów (13) i (15)
otrzymujemy wykresy części objętościowej i postaciowej energii.
0,5
40
0,45
35
0,4
30
0,35
25
0,3
•P
0,25
20
0,2
15
0,15
10
0,1
5
0,05
0
0
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
Rys. 4. Wykres części objętościowej funkcji gęstości
energii wewnętrznej w zaleŜności od składowej h stanu
odkształcenia
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
Rys. 5. Wykres części postaciowej funkcji gęstości
energii wewnętrznej w zaleŜności od składowej r
stanu odkształcenia
Punkt P na wykresach 2 i 4 określa początek procesu plastycznego płynięcia, który
zachodzi wskutek poślizgów w sieci krystalicznej, na co wskazuje stałość części
objętościowej energii przy zmianie składowej h stanu odkształcenia.
Na podstawie charakterystyk eksperymentalnych i wzorów (24), (25) otrzymujemy
wykresy zaleŜności odkształceń poprzecznych oraz współczynnika odkształceń poprzecznych
od odkształceń wzdłuŜnych w procesie odciąŜania elementu.
0,098
-0,043
0,099
0,1
0,101
0,102
0,103
ε1
-0,0432
0,454
0,452
-0,0434
0,45
-0,0436
ε 2 obc
-0,0438
~ odc (ε )
v
1
0,448
0,446
-0,044
0,444
-0,0442
0,442
-0,0444
-0,0446
0,456
ε2
odc
-0,0448
-0,045
Rys. 6. Wykres przedstawiający zaleŜność odkształceń
poprzecznych od wzdłuŜnych w procesie obciąŜania i
odciąŜania materiału
0,44
0,438
0,436
0,098
~ obc (ε )
v
1
ε
0,099
0,1
0,101
0,102
0,103
Rys. 7. Wykres przedstawiający zaleŜność
współczynnika odkształceń poprzecznych od
odkształceń wzdłuŜnych w procesie obciąŜania i
odciąŜania materiału
138
T. WEGNER, D. KURPISZ
5. WNIOSKI
•
•
•
•
•
•
Zaproponowany w niniejszej pracy opis zjawisk zachodzących w odkształcanym materiale
umoŜliwia wyznaczanie zmian energii wewnętrznej odkształcenia objętościowego
i postaciowego w procesie odkształcenia materiału.
Przyjęty sposób podziału energii wewnętrznej jest koncepcją pomocną w opisie
odciąŜania elementu.
Energia odkształcenia objętościowego zgromadzona w obciąŜonym materiale stanowi
niewielką część całkowitej energii odkształcenia.
W procesie plastycznego płynięcia energia odkształcenia objętościowego zachowuje stałą
wartość
Szybkość wzrostu współczynnika odkształceń poprzecznych w procesie odciąŜania
(rys.6.) jest stała.
Zmiana współczynnika odkształceń poprzecznych w procesie odciąŜania jest
w przybliŜeniu liniowa.
LITERATURA
1. Kambouchev N, Radovitzky R, Fernandez J.: Anisotropic materials which can be modeled
by polyconvex strain energy functions. 47th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,
Structural Dynamics, and Materials Conference 1 – 4 May 2006, Newport, Rhode Island.
2. Obst M.: Energetyczny model materiału o nieliniowych właściwościach. Rozprawa
doktorska pod kierunkiem T. Wegnera. Poznań 2007.
3. Ogden R. W.: Non-linear elastic deformations. Dover Publications, Mineola, NY 1997.
4. Petryk H.: The energy criteria of instability in the time-independent inelastic solids.
“Archiwum Mechaniki Stosowanej” 1991, 43. 4, s. 519-545.
5. Rasmussen K.J.R.: Full-range stress-strain curves for stainless steel alloys., “Journal of
Constructional Steel Research” 2003, 59 s. 47-61.
6. Rovati M, Talirecio A.: A general approach for the evaluation of strain energy extrema in
anisotropic elasticity. The Frithiof Niordson Volume’.
7. Wegner T., Matematyczne modelowanie mechanicznych właściwości materiałów.
Biuletyn WAT, Vol. LIV, Nr 12, 2005, s. 5-51.
APPLYING OF BASIC PHYSICAL PRINCIPLES IN MODELING
OF MECHANICAL PROPERTIES OF MATERIAL
Summary. The physical model of the material properties, based on physical laws,
was proposed by authors in this paper. The conservation energy principle was used
to build strain energy density function. On the base of this principle and definition
of the strain energy increment intensity, the division of energy was proposed, what
is important element of this work. The conception of energy splitting into
volumetric and shear parts is accepted for description of material properties.
All assumptions are based on uniaxial tension test supported by transverse
deformations measurements. The results of uniaxial tension test were acquired
from dissertation [2], while geometrical interpretation of material deformation
process was taken from paper [7]. All considerations were carried out for
aluminium.