AMENAGEUR van

Transkrypt

AMENAGEUR van

4. Znane metody optymalizacji sieci transportowej wg Steenbrinka (1978)
4.4. Techniki heurystyczne
4.4.1. Istota podejścia heurystycznego
Są dwa zasadnicze aspekty praktyczne zadania optymalizacji sieci transportowej:
a) duże rozmiary zadania; oznacza to, że mamy do czynienia z dużą liczbą zmiennych i
warunków ograniczających;
b) złożoność zadania; związki pomiędzy zmiennymi mogą być tak złożone, jak na przykład w
modelu transportowym lub modelu opisowym wyznaczania ruchu.
Z tymi charakterystykami związane są pewne istotne konsekwencje. Jedną z nich może
być niemożliwość znalezienia rozwiązania optymalnego w możliwym do przyjęcia czasie
obliczeń na EMC, czyli cel postępowania może ulec zmianie; wtedy rezygnujemy ze
znalezienia rozwiązania optymalnego, a poszukujemy rozwiązania dopuszczalnego, które jest
„stosunkowo dobre” lub „bliskie optymalnego”. Czasami musimy zadowolić się tylko
rozwiązaniem zaledwie dopuszczalnym. Gdy nie poszukujemy rozwiązania optymalnego,
dobrze jest jednak coś o nim wiedzieć, powiedzmy znać jego górne i dolne ograniczenia. Jak
wykazano przy omawianiu technik podziału i ograniczeń, można czasami znaleźć takie
ograniczenia rozwiązując zadanie prostsze, związane z zadaniem głównym; na przykład
pomijając warunki całkowitoliczbowości, przyjmując występowanie zależności liniowej lub
pomijając współzależności. Gdy znamy takie ograniczenia, możemy ocenić jak „blisko
optymalne” rozwiązanie dopuszczalne zostało znalezione.
Poszukując metod rozwiązania dużych i złożonych zadań, gdzie musimy otrzymać
jedynie stosunkowo dobre rozwiązanie, zwróćmy uwagę na proces rozwiązywania
problemów zachodzących w ludzkim mózgu (zob. na przykład Bergendahl, 1971). Możemy
zaobserwować pewne charakterystyki tego procesu, które można by „wbudować” do procesu
rozwiązywania zadań, realizowanego przez maszynę cyfrową, na przykład:
- upraszczanie problemu przez pomijanie niektórych ograniczeń lub zastępowanie ograniczeń
złożonych prostszymi;
- rozkładanie problemu głównego na łatwiejsze podproblemy;
- eliminowanie współzależności podproblemów;
- znajdowanie wyjściowego rozwiązania dopuszczalnego;
- stosowanie procesu iteracyjnego w celu ulepszenia rozwiązania wyjściowego:
- ocenianie czy dokonywane polepszenia są wystarczająco dobre;
- decydowanie o kontynuacji względnie zatrzymaniu procesu poszukiwań;
- odrzucanie natychmiast rozwiązań lub zbiorów rozwiązań, które nie są zadowalające.
Włączając te procedury do programu na EMC, stosowanego w celu rozwiązania
zadania, otrzymujemy następujące udogodnienia:
- zasady upraszczania, wyboru i podejmowania decyzji są jednoznacznie i ściśle określone;
- komputer wykonuje proste obliczenia znacznie szybciej niż mózg ludzki;
- pojemność pamięci komputera jest większa niż mózgu ludzkiego (jest to stwierdzenie
nieprawdziwe - przyp. tłumacza);
- doświadczenia wielu ludzi z zakresu rozwiązywania zadań mogą być włączone w jeden
program maszynowy.
W ten sposób możemy starać się zapisać tzw. metody heurystyczne, za pomocą których
można otrzymać zadowalające rozwiązania dużych i złożonych zadań optymalizacji sieci
transportowej w możliwym do przyjęcia czasie obliczeń na EMC. W następnych punktach
omówimy niektóre z tych metod.
Chociaż metoda heurystyczna jest często jedyna dostępna metodą rozwiązania, jest ona
również metodą bardzo niebezpieczną; czyli trzeba być bardzo ostrożnym stosując ją. Często
nie wiadomo jak bardzo różni się rozwiązanie znalezione od optymalnego. Nawet, jeśli mamy
dobrze oszacowane różnice pomiędzy wartością funkcji celu rozwiązania znalezionego a
odpowiednią wartością rozwiązania optymalnego, to nie mamy takiego oszacowania dla
Ost4-67
zmiennych decyzyjnych. Różnica ta może być bardzo duża, nawet jeśli wartość funkcji celu
nie odchyla się znacznie od wartości optymalnej.
Co więcej, niektóre zasady wyboru i podejmowania decyzji wydają się dobre i możliwe
do przyjęcia, podczas gdy w rzeczywistości takimi nie są. Przypomnijmy na przykład
paradoks Braessa (p. 2.2.2.2) mówiący, że wzrost liczby połączeń może również oznaczać
wzrost kosztów ponoszonych przez podróżnych przy danej macierzy podróży. Czyli jest
zupełnie możliwe, że stosując metodę heurystyczna będziemy posuwali się w złym kierunku,
myśląc że jest to kierunek właściwy. Przykłady na to przedstawimy dalej.
4.4.2. Eliminacja współzależności na etapie wstępnym
4.4.2.1. Ciągłe dopasowywanie optymalne
Będziemy teraz zajmować się zadaniem minimalizacji kosztów przy danej macierzy
podróży w systemie opisowym
min F (X, C )
(4.4.1)
C
przy warunkach
AX = 0, X ≥ 0
G (X, C ) = 0
lub zapisane inaczej
min ∑ Fij (xij , cij )
cij
(4.4.2)
ij∈L
przy warunkach: ograniczeniach sieci, danej macierzy podróży i modelu wyboru drogi.
Steenbrink (1970a, 1971) zaproponował metodę rozwiązywania polegającą na
zamiennym pomijaniu ograniczeń i optymalizacji, to znaczy na rozpoczynaniu postępowania
od przyporządkowania macierzy podróży do wyjściowej sieci, co oznacza że rozpoczyna się
od ograniczeń. Otrzymujemy wtedy potoki ruchu w każdym połączeniu xij(1) Następnie
rozwiązujemy zadanie bez warunków ograniczających
(
min ∑ Fij xij(1) , cij
cij
)
(4.4.3)
ij∈L
Nie jest to nic innego jak nL-krotne rozwiązywanie prostego zadania matematycznego
(
min Fij xij(1) , cij
cij
)
(4.4.4)
ponieważ Fij jest niezależne od ckl dla ij ≠ kl . To ostatnie zadanie - optymalne rozmiary
połączenia przy danym potoku ruchu - można rozwiązać badając wszystkie możliwości bądź
metodą poszukiwań, bądź różniczkując przy założeniu, że Fij (cij ) jest różniczkowalną
funkcją zmiennej ciągłej cij (zob. również p. 10.1). Zauważmy, że w rozwiązaniu zadania
(4.4.3) spełnione są ograniczenia sieci i macierzy podróży, natomiast nie uwzględniamy
modelu wyboru drogi. Otrzymaną sieć cij(1) traktujemy teraz jako nową sieć, której
przyporządkowujemy macierz podróży, czyli zadanie teraz brzmi
{ }
Ost4-68
(2 )
(2 )
znaleźć takie X ( 2 ) , że AX = 0, X ≥ 0
(
(4.4.5)
)
G X (2 ) , C(1) = 0
Ponownie rozwiązujemy zadanie bez warunków ograniczających
(
min ∑ Fij xij(2 ) , cij
cij
)
(4.4.6)
ij∈L
Proces kontynuujemy aż do momentu, gdy zmiany w wartości funkcji celu będą tak
małe, że dalsze jej poprawianie nie będzie celowe.
Ventker (1970) zaproponował podobne postępowanie, z tą tylko różnicą, że proces
rozpoczynamy od minimalizacji kosztów w systemie normatywnym. Następnie macierz
podróży przyporządkowywana jest sieci wyjściowej i dalsze postępowanie jest analogiczne
do opisanego powyżej.
Przy pominięciu efektu Braessa proces ten jest rzeczywiście procedurą „schodzenia z
góry” (hill - descending procedure)
∑ F (x ( ) , c ( ) ) ≤ ∑ F (x ( ) , c ( ) )
ij
n
ij
n
ij
ij∈L
ij
n
ij
n −1
ij
ij∈L
według procedury minimalizacyjnej, oraz
∑ F (x ( ) , c ( ) ) ≤ ∑ F (x (
ij
n
ij
ij∈L
n −1
ij
ij
n −1)
ij
, cij(n −1) )
ij∈L
według minimalizacji kosztów ponoszonych przez podróżnych w systemie opisowym
(chociaż istnieje różnica pomiędzy wielkością kosztów ponoszonych przez podróżnych w
systemie normatywnym i opisowym, możemy przypuszczać, że koszty te maleją, gdy
dokonamy właściwego wyznaczenia ruchu w systemie opisowym).
Wydaje się, że proces ten prowadzi do otrzymania stosunkowo dobrych rozwiązań,
które w każdej iteracji ulegają polepszeniu. Zaletą jest również możliwość jego łatwego
zrozumienia. Ponadto widzimy, że nie jest on iteracyjnym schematem obliczeń, lecz
umiejscowiony jest w rzeczywistości i wyraża rzeczywiste behawioralne reakcje na
rzeczywiste decyzje. Jeśli jakaś droga staje się atrakcyjniejsza dla podróżnych, to ruch
samochodowy na tej drodze wzrasta. Jest on typowym przykładem procedury heurystycznej
bo:
- stanowi symulacje pewnego procesu decyzyjnego człowieka; każdy krok obliczeń stanowi
pewne ulepszenie kroku poprzedniego, czyli jak się wydaje prowadzi do stosunkowo dobrych
rozwiązań;
- nie gwarantuje znalezienia optimum.
Droga 1
(kosztowna)
Droga 2
(tania)
Rys. 4.4.1. Sieć do przykładu metody ciągłego dopasowania optymalnego
Ost4-69
Dobrze jest pokazać, w jaki sposób proces heurystyczny może prowadzić do zupełnie
niewłaściwych rozwiązań. Weźmy dla przykładu sieć składającą się z dwóch dróg (rys.
4.4.1). Droga l jest krótsza, ale koszty jej poszerzenia są duże; droga 2 jest długa, ale koszty
te są małe. Drodze l przydziela się więcej ruchu niż drodze 2, ze względu na niższe koszty
ponoszone przez podróżnych. Staje się więc konieczne poszerzenie drogi l, mimo wysokich
kosztów z tym związanych. Po dokonaniu tego droga l w drugim etapie procesu obliczeń staje
się jeszcze bardziej atrakcyjna dla podróżnych, czyli ruch na niej zwiększa się. Wymaga to
ponownego zainwestowania w drogę l, mimo że koszt takiej inwestycji jest wysoki.
Rozwiązanie sugerujące poszerzanie drogi 2 (prawdopodobnie tańsze ze społecznego punktu
widzenia) o wyższych wprawdzie kosztach podróżowania, ale niższych kosztach inwestycji,
prawdopodobnie nigdy nie zostanie wybrane. Jeśli, przyjmując inną sytuację wyjściową,
założymy, że droga l lub droga 2 ma tak mało pasów ruchu, że w rozwiązaniu początkowym
nie przyjmuje w ogóle ruchu pojazdów samochodowych, to droga ta nigdy ruchu takiego nie
otrzyma (chyba że inna droga zostanie zwężona).
Zjawisko opisane powyżej możemy przedstawić w inny sposób. Przyjmijmy, że
nakłady inwestycyjne przyniosą dwojaki efekt. Pierwotnym efektem jest polepszenie
warunków ruchu pojazdów korzystających z danej drogi. Efektem wtórnym są zmiany w
dokonywanym wyborze dróg podróżowania. W metodzie ciągłego dopasowania optymalnego
na etapie wstępnym owe efekty wtórne są pomijane. Może to być słuszne jedynie, jeśli efekty
wtórne inwestycji są mniej istotne niż efekty pierwotne. co nie jest prawdą w przypadku
badania volumenu ruchu na sieci transportowej.
W p. 6.2.3 metodę te stosuje się do rozwiązania zadania optymalizacji sieci
transportowej w przypadku dwóch środków transportu. Tam również zjawisko opisane
powyżej występuje.
4.4.2.2. Wybieranie najbardziej obiecujących projektów
Inną techniką heurystyczną jest wybór najbardziej obiecujących projektów
inwestycyjnych i ich realizacja. Technika ta jest również bardzo podobna do procesu
podejmowania decyzji przez człowieka. Będziemy powtórnie zajmować się zadaniem
minimalizacji kosztów przy danej macierzy podróży i opisowym wyznaczaniu ruchu
pojazdów
min F = ∑ {iij (cij ) + xij t ij (xij , cij )}
cij
(4.4.7)
ij∈L
przy warunkach: ograniczeniach sieci i danej macierzy podróży oraz modelu wyboru drogi.
Podobnie jak w p. 4.4.2.1 będziemy kolejno pomijać optymalizację i ograniczenia modelu
wyboru drogi.
Najpierw dokonujemy opisowego wyznaczania ruchu X(1) dla sieci wyjściowej,
pomijając ograniczenia otrzymujemy zadanie minimalizacji
min F (1) = ∑ {iij (cij ) + xij(1)t ij (xij(1) , cij )}
cij
(4.4.8)
ij∈L
Przyjmując, że F(1) jest różniczkowania ze względu na zmienne ciągłe cij w punkcie
odpowiadającym minimalnej wartości (4.4.8) mamy
∂F (1)
= 0 dla wszystkich ij ∈ L
∂cij
Ost4-70
(4.4.9)
lub
dFij(1)
dcij
= 0 dla wszystkich ij ∈ L
(4.4.10)
ponieważ Fij(1) jest niezależna od cki dla ij ≠ kl .
Uwzględniając wypukłość Fij(1) (zob. rozdz. 2) wiemy, że
dFij(1)
dcij
<0
jeśli cij < cij∗
(4.4.11)
czyli musimy zwiększyć wymiary połączenia ij, co oznacza inwestowanie w połączenie ij,
dFij(1)
< 0 , i kontynuowanie tego procesu, aż do momentu, gdy pochodna równa się zero.
jeśli
dcij
Oznacza to inwestowanie, jeśli
diij
dcij
+ xij(1)
dt ij
dcij
<0
(4.4.12)
Jest to dobrze znana zasada inwestowania w dany projekt, jeśli zmniejszenie kosztów
ponoszonych przez użytkowników przeważa koszty inwestycji. Możemy rozumieć
zmniejszenie kosztów ponoszonych przez użytkowników jako zyski z inwestycji, a koszty
inwestowania jako koszty inwestycji. Czyli otrzymujemy zasadę, która mówi, że należy
inwestować, jeśli różnica pomiędzy zyskami a kosztami jest wielkością dodatnią lub jeśli
stosunek zysków do kosztów jest większy od jedności. Zasada ta jest również prawdziwa, gdy
Fij1 nie jest różniczkowalna oraz cij nie jest zmienną ciągłą. Stosując bezpośrednio tę zasadę
otrzymujemy metodę analogiczną do opisanej w poprzednim punkcie. Ale można również nie
dt
−x
dc , a tylko w te, które mają największą
inwestować we wszystkie projekty, dla których
di
dc
wartość ilorazu zyski/koszty, i kontynuować inwestowanie do momentu, gdy iloraz ten będzie
w dalszym ciągu większy od jedności. Ma to szczególnie zastosowanie, gdy występują
ograniczenia budżetowe. Wtedy zasada brzmi: inwestować w projekty o największym ilorazie
zyski/koszty, aż do momentu osiągnięcia ograniczeń budżetowych. Ta ostatnia metoda
została zastosowana na przykład przez Bureau Central pour les Equipments d'Outre Mer
(Ville, 1969).
Jest oczywiste, że takie samo niebezpieczeństwo związane jest ze stosowaniem tej
metody, jak i metody ciągłego dopasowywania optymalnego. Dlatego też między innymi
Pearman (1971) ostrzega przed stosowaniem takich metod, jak ta. Pokażemy na przykładzie
podobnym do tego, który dał Pearman, jak złe wyniki można otrzymać stosując tę metodę.
Użyjemy sieć, taką jak na rys. 4.4.2 oraz macierz podróży składającą się z dwóch relacji: l 3 i
l 4. Zakładamy, że x13 = 500 i x 14 = 2000 , na koszty ponoszone przez podróżnych składają
1
się koszty czasu podróżowania ( o wartości czasu podróży równej
) oraz że wyznaczanie
3,5
ruchu odbywa się według reguły najkrótszej drogi. Tablica 4.4.1 przedstawia koszty
Ost4-71
ponoszone przez podróżnych dla połączeń przed i po dokonaniu inwestycji, koszty
inwestycji, wielkości xij(1) oraz iloraz zysk/koszty dla każdego połączenia.
1
2
3
4
Rys. 4.4.2. Sieć do przykładu metody wyboru najbardziej obiecujących projektów
Łatwo jest stwierdzić, że inwestować należy oczywiście w połączenia 1 2 i 2 4.
Obliczymy wartość funkcji celu przed i po dokonaniu inwestycji
F
F
90 500
3,5
(inwestycje w 1 2 i 2 4) = 80 500
3,5
(bez inwestycji)
=
Tablica 4.4.1 Przykład metody wyboru najbardziej obiecujących projektów
Połączenie
12
24
13
34
tprzed
20/3,5
20/3,5
21/3,5
20/3,5
tpo
15/3,5
18/3,5
15/3,5
17/3,5
i
1,000
1,000
1,000
1,000
x1
2,000
2,000
500
0
wsp. zysk/koszt
10/3,5=2,857
4/3,5=1,143
3/3,5=0,857
0/3,5=0
Tak więc rzeczywiście ulepszyliśmy system. Gdy dokonamy wyznaczenia ruchu dla sieci
ulepszonej, otrzymujemy taką samą dystrybucję potoków ruchu i nie można dokonać
dalszych ulepszeń. Natomiast gdy dokonamy inwestycji w projekty, dla których wartość
współczynnika zysk/koszt jest mniejsza od jedności, a dokładnie w połączenia l 3 i 3 4, to
wtedy otrzymamy niższą wartość funkcji celu
F
(inwestycje w 1 3 i 3 4)
=
78 500
3,5
Ta niższa wartość funkcji celu wynika ze zmian w rozdysponowaniu ruchu, związanych ze
zmianami w kosztach ponoszonych przez podróżnych.
Z przykładów jakie podaliśmy w p. 4.4.2.1 i 4.4.2.2 można wyciągnąć wniosek, że
może być bardzo niebezpieczne stosowanie prostych i pozornie słusznych metod
heurystycznych do wyboru najlepszych wariantów inwestycyjnych. Mimo że każdy etap
obliczeń przynosi polepszenie rozwiązania, optimum osiągane jest tylko wyjątkowo, a równie
prawdopodobne jest podążanie w zupełnie złym kierunku. Stąd takie metody jak tutaj opisana
są właściwie bezużyteczne, z wyjątkiem dokonywania adiustacji w sieciach prawie
optymalnych.
Ost4-72
4.4.3. Metoda Barbiera
4.4.3.1. Oryginalna metoda Barbiera
W 1966 r. została przedstawiona przez Barbiera metoda heurystyczna rozwiązania
zadania minimalizacji kosztów w opisowym wyznaczaniu ruchu zgodnie z zasadą najkrótszej
drogi. Za pomocą tej metody otrzymuje się stosunkowo dobre rozwiązanie zadania
praktycznego w możliwym do przyjęcia czasie obliczeń. Barbier zastosował swoją metodę do
zbadania możliwości rozszerzenia sieci metra paryskiego, analizując sieć o 36 punktach
nadania i odbioru, około 60 węzłach i około 280 połączeniach. Haubrich (1972) zastosował
rozszerzoną wersję metody Barbiera do optymalizacji sieci kolejowej w ramach SZTH. Sieć
ta składała się z około 1250 węzłów, około 8000 połączeń i uwzględniała 450 punktów
nadania i odbioru. Rozwiązanie znaleziono po 450 minutach obliczeń na komputerze IBM
360/65.
Metoda Barbiera jest techniką podobną do metody ciągłego dopasowania optymalnego.
W pierwszym etapie dokonuje się opisowego wyznaczenia ruchu dla sieci, na którą składają
się wszystkie możliwe połączenia. Następnie bada się każde połączenie ij pod kątem
możliwości przerzucenia volumenu ruchu na inne połączenie, tak aby otrzymać niższą
wartość funkcji celu. Jeśli można to osiągnąć, to połączenie eliminowane jest z sieci. W
rezultacie takiej analizy wszystkich połączeń otrzymuje się nową sieć. Dla sieci tej dokonuje
się wyznaczenia ruchu i proces opisany wyżej powtarza się. Bardziej szczegółowy opis
metody Barbiera zamieszczamy poniżej.
Zadanie można zapisać następująco
min ∑ {y ij iij + xij t ij ( y ij )}
yij
(4.4.14)
ij∈L
przy warunkach
AX. = 0, X ≥ 0 (ograniczenia sieci i dana macierz podróży),
G (X, Y) = 0 (model wyboru drogi, gdzie xij = 0 jeśli t ij = ∞ ),
y ij = 0 dla ij ∈ L I oraz 0 lub l dla ij ∈ LI (jeżeli trzeba rozważać więcej poziomów
inwestycji dla połączenia ij, to należy utworzyć jedno „połączenie” pomiędzy i oraz j dla
każdego poziomu inwestycji)
iij = 0 dla ij ∈ L I
t ij (1) ≤ t ij (0 ) dla wszystkich ij ∈ L I
Metoda rozwiązania jest procesem iteracyjnym; poszczególne iteracje procesu omawiamy
poniżej.
Krok 1. Przydziel macierz podróży możliwie maksymalnej sieci, tj. takiej, w której
y ij = 1 dla wszystkich ij ∈ LI , zgodnie z opisową zasadą wyboru drogi. Wynikiem tego
przydzielenia są potoki ruchu xij(1) przez każde połączenie, takie że wszystkie warunki
ograniczające są spełnione.
Krok 2. W kroku drugim staramy się zminimalizować funkcję celu przez
przeszeregowanie potoków ruchu początkowo przydzielonych poszczególnym połączeniom.
Możemy powiedzieć, że rozważamy nową macierz podróży x ij = xij(1) , oraz że przydzielamy
tę macierz sieci według drogi, dla której wartość funkcji celu jest najniższa. Otrzymujemy
wtedy drugi wektor potoków ruchu X(2) oraz wektor Y(2) tak, że y ij(2 ) = 0 jeśli xij( 2 ) = 0 lub
y ij( 2 ) = 1 jeśli xij( 2 ) > 0 .
Wyznaczanie ruchu dokonujemy w następujący sposób:
Ost4-73
a) przyjmujemy xij( 2 ) = 0 oraz y ij(2 ) = 0 dla wszystkich ij ∈ L ; oraz t ij = t ij(1) dla wszystkich
ij ∈ LI
b) następnie, dla wszystkich ij ∈ L ; znajdujemy ścieżkę z i do j taką, że
∑ {i (1 − y ( ) ) + t
2
kl
kl
kl
xij(1)
}
(4.4.15)
kl∈ p
p tworzy ścieżkę
z i do j
jest minimalizowane oraz dla wszystkich połączeń kl ścieżki minimalnej z i do j jest
x kl(2 ) : = x kl(2 ) + xij(1)
(4.4.16)
y kl(2 ) : = 1
W momencie dokonania w poprzednim kroku wyznaczenia ruchu zgodnie z zasadą
wyboru drogi o najniższych kosztach podróżowania, możemy uprościć proces ponownego
przydzielania ruchu połączeniom, ponieważ wiemy, że iij = 0 dla ij ∈ L I . Czyli połączenie ij
będzie ścieżką z i do j o najmniejszej wartości funkcji celu, na którą składają się koszty
inwestycji i podróżowania.
Wyznaczanie ruchu będzie wtedy odbywało się następująco
a) przyjmujemy
xij( 2 ) = xij(1) dla wszystkich ij ∈ L I
xij( 2 ) = 0 dla wszystkich ij ∈ LI
y ij(2 ) = 0 dla wszystkich ij ∈ LI
t ij = t ij (1) dla wszystkich ij ∈ LI
b) następnie dla wszystkich ij ∈ LI postępujemy tak samo, jak przy szukaniu ścieżki i
przydzielaniu ruchu opisanych wzorami (4.4.15) i (4.4.16). W momencie zakończenia
procesu przegrupowywania ruchu mamy nową sieć opisaną przez wektor Y(2).
Krok 3. Przydzielamy teraz macierz podróży sieci opisanej przez Y(2) zgodnie z
modelem wyboru drogi, w wyniku czego otrzymujemy nowe potoki ruchu X(3). Następnie
powracamy do kroku 2 i kontynuujemy proces iteracyjny opisany krokami 2 i 3, aż do
momentu, gdy obserwowane zmiany nie będą usprawiedliwiały jego dalszej kontynuacji.
Barbier i Haubrich utrzymują, że proces jest bardzo szybko zbieżny (po dwóch lub trzech
iteracjach).Oczywiste jest, że bardzo ważną rolę odgrywa porządek przegrupowywania xij
(potoków ruchu) w kroku 2. Również widać, że faworyzowane pod względem inwestycyjnym
są połączenia o dużym natężeniu ruchu. Natomiast po dokonaniu inwestycji mamy do
czynienia z sytuacją taką, że małe potoki ruchu będą korzystały z połączeń, w które
zainwestowano; natomiast gdyby takiej inwestycji nie dokonano, połączenie to byłoby
wykorzystywane nie tylko przez mały potok ruchu pojazdów.
Z tego powodu Barbier proponuje analizę potoku ruchu xij według jego malejącego
natężenia (zmniejszających się wielkości).
Zasadę działania metody Barbiera i jej niektóre słabe strony zilustrujemy na małym
przykładzie (rys. 4.4.3).
4
5
6
1
2
3
Rys. 4.4.3. Sieć dla przykładu metody Barbiera
Ost4-74
Weźmy sieć z rys. 4.4.3. Przypuśćmy, że droga l 2 3jest drogą nową (l 2, 2 l, 2 3 i 3 2
∈ LI ), a drogi pozostałe są to drogi stare nie potrzebujące inwestycji. Załóżmy, że macierz
podróży składa się z jednej relacji x (13) . W pierwszym kroku procesu macierz podróży
przyporządkowujemy drodze 1 2 3 (najmniejsze koszty podróżowania). W drugim kroku
(1)
. Przyjmijmy, że koszty inwestycji w drogi l 2 i 2
staramy się przeszeregować potoki x12(1) x 23
3 nie przeważają nad zyskami wynikającymi z podróżowania nową drogą. Rezultat jest taki,
(1)
że w drugim kroku x12(1) korzysta z drogi l 4 5 2, a x 23
z drogi 2 5 6 3. Wtedy odrzucamy
(2 )
połączenia l 2 oraz 2 3 y12(2 ) = 0 i y 23
= 0 . W kroku trzecim macierz podróży x13
przydzielamy nowej sieci. Drogą teraz używaną będzie droga 1 4 5 6 3. Widzimy, że pętla 5 2
(3 ) ( 3 )
(3 )
5 wprowadzona w kroku drugim teraz znika. Dla potoków x14(3) , x 45
nie istnieje
, x56 oraz x63
lepsza droga i proces badań jest przerywany.
Jeden ze słabych punktów metody Barbiera można zilustrować również za pomocą tego
przykładu. Możliwe jest oczywiście, że korzystanie z drogi l 2 jest lepsze niż z drogi l 4 5 2, a
z drogi 2 3 lepsze niż z drogi 2 5 6 3, ale natomiast korzystanie z drogi 1 4 5 6 3 (bez pętli 5 2
5) jest lepsze niż korzystanie z nowej drogi l 2 3. W takim i podobnych przypadkach, za
pomocą metody Barbiera nie otrzyma się rozwiązania optymalnego.
Barbier utrzymuje, że w przypadkach, gdy nie zostało znalezione rozwiązanie
optymalne, koszty inwestycyjne są za wysokie a koszty ponoszone przez podróżnych są za
niskie, czyli sytuacja przemawia na korzyść podróżnego. Chociaż występuje tendencja do
„większego” minimalizowania kosztów ponoszonych przez podróżnych niż kosztów
inwestycji, jednak nie powinno tak być w każdym przypadku. Spójrzmy przykładowo na sieć
z rys. 4.4.4., dla której zakładamy, że l 2 3 oraz
4
1
5
6
2
3
8
7
Rys. 4.4.4. Sieć dla drugiego przykładu metody Barbiera
l 7 8 3 są to drogi nowe, a l 4 5 6 3 i 5 2 są to drogi stare (rys. 4:4.4). W kroku pierwszym
korzysta się z drogi l 2 3, w kroku drugim z drogi 1 4 5 2 5 6 3, a w kroku trzecim i zarazem
ostatnim z drogi 1 4 5 6 3, podczas gdy 1 7 8 3 może być drogą optymalną. Gdy mamy dwie
równoległe drogi nowe, możemy otrzymać takie rozwiązanie, według którego żadna z tych
dróg nie będzie użyta, a rozwiązaniem optymalnym może być jedna z dróg nowych.
4.4.3.2. Rozszerzenie metody Barbiera przez Haubricha
W swojej pracy na temat sieci kolejowej Holandii Haubrich (1972) dokonał pewnego
rozszerzenia metody opracowanej przez Barbiera. Pierwsze ulepszenie, zasugerowane
wcześniej przez Barbiera, zmierza do zmniejszenia ujemnej strony metody, o której
wspomnieliśmy w poprzednim punkcie. Chodzi tu o to, że cały wariant może być lepszy,
choć jego poszczególne elementy nie są. W przykładzie zilustrowanym na rys. 4.4.3 polega to
(1)
na tym, że w drugim kroku nie staramy się przeszeregować potoków x12(1) i x 23
oddzielnie,
(1)
tylko analizujemy możliwość przeszeregowania potoku x123
, co pozwoli na wyeliminowanie
ujemnego wpływu jaki daje pętla 5 2 5. Haubrich osiąga to badając xij(1) i x (jk1) oraz jeśli
Ost4-75
xij(1) = x (jk1) stara się znaleźć nową drogę dla potoku xij(1) , a nie dla xij(1) i x (jk1) oddzielnie.
Oczywiście należy zbadać xlj(1) oraz x (jm1) dla l ≠ i oraz m ≠ k i zwrócić szczególną uwagę na
to, aby potoki te nie stanowiły jakiejś przeszkody.
Drugie rozszerzenie zaproponowane przez Haubricha dotyczy kryterium wyboru drogi
w kroku drugim. Barbier liczy koszty inwestycyjne, gdy połączenie nie jest wykorzystywane
przez inny potok ruchu, natomiast nie liczy ich, gdy jest ono już przez taki potok
wykorzystywane. Haubrich liczy koszty inwestycyjne globalnie, jeśli dane połączenie nie jest
wykorzystywane do ruchu, oraz proporcjonalnie do wielkości potoków, jeśli połączenie jest
do ruchu wykorzystywane. Czyli zamiast (4.4.15) mamy
znaleźć ścieżkę
od i do j taką, że


xij(1)
(1) 
i
 kl (1)
∑
(2 ) + t kl xij 
 xij + xkl

kl∈ p
p tworzy ścieżkę
(4.4.18)
z i do j
jest minimalizowane.
Efekt takiego rozszerzenia w porównaniu z metodą Barbiera jest dwojaki. Z jednej
strony system jest mniej zależny od kolejności zmieniania wielkości xij(1) . Możemy określić to
jako zaletę. Z drugiej zaś strony trudniejsze staje się zmienianie tras potoków ruchu,
ponieważ koniecznością jest spłacenie części kosztów inwestycyjnych innych dróg. Czyli w
systemie zmierza się raczej do zachowania połączeń bezpośrednich, a tym samym zyski
wynikające z łączenia potoków są mniejsze. Możemy to nazwać wadą metody. Trudno jest
powiedzieć czy takie rozszerzenie metody jest jej ulepszeniem, czy nie jest; zależy to od
szeregu czynników, takich jak: postać sieci, macierz przepływów czy cel badania.
Trzecie rozszerzenie dokonane przez Haubricha oparte jest na poglądzie, że w procesie
zmiany tras potoków (z kroku drugiego algorytmu) wiadome jest, iż szereg z nich korzystać
będzie z jakiegoś nowego połączenia, ale znajomość tego faktu jest na samym początku
ignorowana. Czyli potoki, które mają być skierowane na inne trasy muszą „płacić” wszystkie
koszty inwestycyjne, mimo iż wiadome nam jest, że koszty te rozkładać się będą na inne
potoki ruchu. Aby sytuację tę zmienić, Haubrich proponuje uwzględnienie w trakcie procesu
zmieniania tras potoków innych możliwych użytkowników, o których informacje otrzymano
w kroku poprzednim algorytmu. Zależność więc wyrażona wzorem (4.4.15) przyjmuje teraz
postać:
znaleźć ścieżkę z i do j taką,


xij(1)
(1) 
+
t
x
dla kl ≠ ij
ikl (1)
∑
kl ij 
(2 )
(1)
 xij + x kl + αx kl

kl∈ p
p tworzy ścieżkę
z i do j
lub


xij(1)
(1) 
i
 ij (1)
(2 ) + t ij x ij 
 xij + xij

(4.4.19)
jest minimalizowane.
W metodzie tej należy określić z góry α, przy czym zasadniczo 0 ≤ α ≤ 1 . Znowu
trudno jest powiedzieć jakie ulepszenie daje ta zmiana. Trudno również określić wartość α a
priori. Wszystko to także zależy od postaci sieci oraz macierzy podróży. Haubrich (1972)
Ost4-76
pisze, że otrzymywał bardzo dobre wyniki, gdy α = 0,25, oraz że znajdywał zawsze dla
szeregu testowych przykładów rozwiązanie optymalne przy tej właśnie wartości α, podczas
gdy dla tych samych przykładów a innych wartości α (łącznie α = 0 , tak jak w metodzie
Barbiera) rozwiązanie optymalne nie zostało znalezione. Haubrich proponuje jeszcze szereg
innych rozszerzeń metody Barbiera, jednakże nie będziemy się tutaj nimi zajmować.
4.4.4. Programowanie współdziałające
Aż do chwili obecnej uważaliśmy, że proces heurystyczny jest całkowicie realizowany
przez komputer. Pewne charakterystyki realizowanego przez człowieka sposobu
rozwiązywania problemów włączone są do programu, który jest następnie realizowany przez
komputer. Niektóre z charakterystyk, o których wspomnieliśmy w p. 4.4.1 są bardzo podatne
na wykorzystanie w programach EMC, inne natomiast są znacznie lepiej realizowane przez
umysł ludzki. Z tych ostatnich wymieńmy takie jak:
- dzielenie złożonego problemu głównego na prostsze podproblemy;
- decydowanie o kończeniu lub kontynuacji procesu poszukiwań;
- natychmiastowe odrzucenie rozwiązań lub zbiorów rozwiązań nie rokujących nadziei na
przyszłość.
Z drugiej strony, maszyna cyfrowa znacznie lepiej nadaje się do liczenia funkcji celu
lub dolnych czy górnych ograniczeń dla niej, dla danego rozwiązania lub zbioru rozwiązań.
W świetle tego mogłoby być bardzo owocne stałe współdziałanie umysłu ludzkiego i
maszyny cyfrowej przy rozwiązywaniu zagadnienia. Zaproponowali to na przykład Stairs
(1967) i Loubal (1967). Proces ten omówił w teoretycznym opracowaniu Koike (1970).
Według niego połączenia drogowe mogą być włączane do sieci bądź z niej eliminowane
zarówno przez komputer, jak i przez człowieka, podczas gdy komputer buduje nową sieć oraz
proponuje jej ulepszenie według określonych reguł postępowania. Badania z tego zakresu
prowadzone były również na Politechnice w Delft (Jansen i Bovy, 1971).
W celu zilustrowania zalet systemu wzajemnie powiązanego zacytujemy Stairsa (1967,
s. 226): „Użytkownik (systemu wzajemnie powiązanego) nie jest jedynie tanim, nieliniowym,
mieszano - całkoliczbowym elementem optymalizowanym. Zna on słabości modelu oraz
może w trakcie obliczeń model ten zmieniać. tak, aby do rozważań włączyć nowe
rozwiązania, a stare wyeliminować. Podczas korzystania z systemu może on, przy wyborze
sieci transportowej, pewne projekty odrzucić, z chwilą gdy ich bezwartościowość jest
oczywista, oraz może być stymulowany do wymyślania nowych projektów rozwiązań,
początkowo niedostrzegalnych. Heurystyczna zasada poszukiwań oraz projektant aktywnie
uczestniczący w tym procesie nie są stronami konkurencyjnymi. Badania oparte na
współpracy komputera i człowieka mogą być najprostszą drogą do rozwoju efektywnych
metod badawczych; z drugiej strony zasady heurystyczne mogą rządzić badaniami na
niższym poziomie, podczas gdy projektant „walczy” ze strategią poziomu wyższego”.
Aby powstał dobrze pracujący system wzajemnego powiązania między komputerem i
człowiekiem, należy traktować maszynę cyfrową jako pełnoprawnego partnera. Oznacza to,
że musi być bardzo łatwe czytanie danych wejściowych, zmienianie programu (jeśli to
możliwe) oraz że wyniki obliczeń muszą być dostępne bardzo szybko. Wszystkie komputery
trzeciej generacji w zasadzie stwarzają te możliwości.
4.5. Struktura hierarchiczna, agregacja i dekompozycja
Zobaczyliśmy, że rozmiary zadania stanowią zasadniczą trudność przy optymalizacji
rzeczywistych sieci transportowych. Wykorzystując strukturę hierarchiczną zadania
optymalizacji sieci transportowej można zredukować jego rozmiary dokonując agregacji i/lub
dekompozycji. Agregacja i dekompozycja (lub podział) są dwiema ogólnymi technikami
postępowania w przypadku analizy zadań o dużych rozmiarach.
Ost4-77
4.5.1. Struktura hierarchiczna
Jak już mogliśmy stwierdzić, w sieci transportowej wszystko zależy od wszystkiego,
czyli trzeba rozważać równocześnie wszystkie jej elementy. Jednakże bliższa analiza
wykazuje, że niektóre zmienne lub zbiory zmiennych są ze sobą mocniej powiązane niż
pozostałe. Ponadto widzimy, że są zmienne, których wartości mają wpływ na szereg innych
zmiennych, podczas gdy inne zmienne wpływają tylko na mniejsze podzbiory zmiennych, a
jeszcze inne nie maja prawie żadnego wpływu, tylko - wręcz odwrotnie - same znajdują się
pod wpływem innych zmiennych.
Stąd możemy wyciągnąć wniosek, że w sieci transportowej istnieje pewna hierarchia.
Niektóre połączenia i węzły znajdują się na „pierwszym poziomie”, wpływają one na szereg
innych połączeń i węzłów; następna grupa połączeń i węzłów z „drugiego poziomu” zależy
od grupy pierwszej, ale również sama wpływa - chociaż w mniejszym stopniu - na inne
połączenia i węzły. Mogą istnieć połączenia i węzły z trzeciego, czwartego itd. poziomu,
których wpływ na inne połączenia i węzły jest coraz mniejszy.
W sieci drogowej najważniejsze autostrady możemy traktować jako należące do
pierwszego poziomu sieci, pozostałe autostrady jako tworzące drugi poziom, drogi
drugorzędne jako tworzące trzeci poziom itd.
Dla sieci transportu publicznego można dokonać analogicznego rozgraniczenia.
Ponadto możemy traktować lokalizację przystanków i rozkład jazdy jako należące do
poziomu niższego niż struktura i rozmiary sieci transportu publicznego.
Dodatkowo, oprócz rozróżniania różnych poziomów w sieci transportowej, samo
zadanie optymalizacyjne może być traktowane jako pewna struktura hierarchiczna (zob. na
przykład Manheim, 1966). Na poziomie najwyższym zajmujemy się tylko głównymi
zarysami zadania, a celem jest określenie zakresu zainteresowań. Na poziomie pierwszym nie
jest określonych szereg rzeczy. Na poziomie drugim traktujemy zagadnienie dogłębniej;
rozważamy więcej szczegółów, aczkolwiek nie bardzo dokładnie i w dalszym ciągu wiele
rzeczy jest nieokreślonych. Poziom następny dotyczy zagadnień jeszcze bardziej
szczegółowych i lepiej określonych. Pracując według takiego schematu, najpierw
przeprowadzamy bardzo ogólne badanie, aby dowiedzieć się, gdzie i czego poszukiwać;
następnie dokonujemy ogólnych oszacowań możliwych sieci i po przejściu przez cały szereg
poziomów otrzymujemy bardzo szczegółowe sieci, dla których wykonujemy obliczenia
zagwarantowane algorytmem.
4.5.2. Agregacja
Agregacja stanowi wykorzystanie struktury hierarchicznej sieci transportowej. Przy
agregacji niektóre zmienne łączymy razem w jedną nową zmienną, w celu zredukowania
rozmiarów zadania; opuszczenie zmiennych mniej istotnych można również nazwać
agregacją. Agregacje przeprowadza z reguły człowiek rozwiązujący zadanie na etapie
formułowania problemu, przy czym może być ona również przeprowadzona przez maszynę
cyfrową, przy użyciu któregoś z algorytmów agregacyjnych. Dla sieci transportowej istnieją
dwa ważne typy agregacji:
a) agregacja ze względu na strefy (przestrzenna);
b) agregacja ze względu na połączenia.
Przy agregacji przestrzennej zakładamy, że podróżny może podróżować tylko z oraz do
ośrodków ciążenia stref transportowych. Tak postępuje się zawsze w przypadku badań
transportowych (zob. na przykład Overgaard, 1966, Wohl i Martin, 1969 lub Hamerslag,
1972). W węższym sensie, agregacja przestrzenna oznacza agregację pewnych stref
transportowych w jedną makrostrefę o nowym ośrodku ciążenia.
Ost4-78
Agregacja ze względu na połączenia oznacza, że do sieci nie włączamy wszystkich
możliwych lub istniejących połączeń, tylko ich mniejszą liczbę. Istnieją dwie zasadnicze
zasady tej agregacji (Chan i in., 1968):
a) wyłączanie połączeń:
b) ignorowanie połączeń.
Wyłączanie połączeń oznacza, że po prostu pomija się nieistotne połączenia. Jest to
najpopularniejsza postać agregacji ze względu na połączenia. Postępując tak musimy również
pominąć podróże, o których zakładamy, że są związane z tymi połączeniami. Dokonuje się
tego pomijając na przykład podróże na krótkie dystanse lub te, które są reprezentowane przez
przekątną macierzy podróży, przyjmując założenie, że do ich realizacji zostaną wykorzystane
połączenia o drugorzędnym znaczeniu. Ignorowanie połączeń również oznacza analizę
mniejszej liczby połączeń (mniejszej niż liczba rzeczywiście występujących), ale nie poprzez
zwyczajne pominięcia niektórych. Zamiast tego niektóre własności zbioru połączeń
przyporządkowujemy jednemu połączeniu zagregowanemu. Na przykład, trzy dwupasmowe
drogi zastępujemy jednym połączeniem o przepustowości trzech dróg dwupasmowych i
zależnościach między szybkością ruchu a potokiem właściwym dla drogi dwupasmowej.
Chan (1969) stosuje algorytm agregacyjny, w którym agregacja przestrzenna i
ignorowanie połączeń odbywają się według pewnego kryterium. Następnie używa on z reguły
sieci zagregowanej do obliczenia ograniczeń dolnych i górnych w algorytmie podziału i
ograniczeń (zob. p. 4.3.4). Jednakże czasami przy obliczaniu mocniejszych ograniczeń
powraca on do sieci wyjściowej i wtedy również otrzymuje nowe wartości zmiennych dla
sieci zagregowanej.
4.5.3. Dekompozycja lub podział
Dekompozycję lub podział stosuje się do rozłożenia jednego bardzo dużego problemu
na szereg mniejszych o możliwych do przyjęcia rozmiarach. Problem można podzielić na
szereg problemów równoważnych lub na problemy główne i szereg podproblemów
(podzadań). Ten ostatni rodzaj dekompozycji jest klasycznym przykładem wykorzystania
struktury hierarchicznej problemu. Dzielenie dużego problemu na szereg mniejszych i
skupienie na nich uwagi jest postępowaniem stosowanym z reguły w analizie (wszystkich
problemów wszechświata nie bada się nigdy naraz), dlatego też omówimy je tutaj.
Dekompozycję najłatwiej jest przeprowadzić, gdy można dokonać podziału funkcji celu
oraz gdy możliwe jest podzielenie warunków ograniczających na zbiory zawierające tylko te
zmienne, które odpowiadają odpowiednim elementom funkcji celu, oraz na zbiór warunków
wspólnych
n
min F (X1 , X 2 ,..., X n ) = ∑ Fi (X i )
X1 , X 2 ,...X n
(4.5.1)
i =1
przy warunkach
Gi (Xi) >, =, < 0 gdzie i = l, ..., n
H (X1, X2, ...,Xn) >, =, < 0
Przy dekompozycji rozwiązujemy niezależnie n zadań przy odpowiadających im
zbiorach warunków ograniczających. Natomiast ogólną politykę działania reprezentuje zbiór
ograniczeń wspólnych dla całego problemu
min F ' (X i ) przy warunkach:
Xi
G i (X i ) > , = , < 0 
 i = 1,..., n
H i (X i ) >, =, < 0
+ ogólna polityka
Ost4-79
Dekompozycji dokonuje człowiek rozwiązujący zadanie. W przypadku optymalizacji
sieci mamy dwa istotne sposoby dekompozycji:
a) podział geograficzny;
b) podział czysto hierarchiczny.
W przypadku podziału geograficznego cały obszar badania dzielimy na szereg
jednostek przestrzennych, w ramach których optymalizujemy sieć, podczas gdy w planie
głównym bierzemy pod uwagę optymalizację całej sieci. W przypadku podziału czysto
hierarchicznego sieć transportową dzielimy na drogi o pierwszorzędnym znaczeniu dla ruchu,
znaczeniu drugorzędnym itd. Następnie te poszczególne systemy optymalizujemy, a w planie
głównym zajmujemy się optymalizacją całości. Oczywiście łączenie podziału geograficznego
z czysto hierarchicznym może być bardzo owocne.
Zadania liniowe mają zawsze postać (4.5.1), czyli zawsze mogą być dekomponowane,
szczególnie gdy zbiór ograniczeń Gi jest znacznie większy od zbioru H. Stąd wynika, że
istnieją standardowe zasady dekompozycji zadań programowania liniowego (Dantzig i Wolfe,
1960). Ideą zasady dekompozycji Dantziga-Wolfa jest poszukiwanie rozwiązań optymalnych
dla podproblemów i, przy warunkach Gi. Funkcję celu Fi zmienia się na Fi’, biorąc pod uwagę
ograniczenia H. W problemie głównym łączy się dopuszczalne rozwiązania cząstkowe w
jedno ogólne rozwiązanie tak, że wyjściowa funkcja celu jest minimalizowana i ograniczenia
H są spełnione.
Metody takie jak wyznaczanie iteracyjne według najmniejszej wartości marginalnej
funkcji celu oraz programowanie dynamiczne są również przykładami zastosowania
dekompozycji. Oczywiście kombinacja szeregu rodzajów dekompozycji (powiedzmy,
programowania dynamicznego z podziałem geograficznym i czysto hierarchicznym) jest
również możliwa, a co więcej najprawdopodobniej bardzo owocna.
BIBLIOGRAFIA
Barbier, M. (1966) Le future réseau de Iransports en Région de Paris Cahiers de l’Institut
d’Amenagement et d’Urbanisme de la Région Parisienne, 4-5, No. 4.
Bergendahl, G. (1969). Models for Investments in a Road Network. Bonniers,
Stockholm, 1969.
Bergendahl, G. (1971). Principles of Heuristic Programming. Research Report 62,
Department of Business Administration, Stockholm University, Stockholm.
Bhatt. K.U. (1968). Search in Transportation Planning: A Critical Bibliography, Research
Report R68-46, M.I.T. Department of Civil Engineering, Cambridge. Mass.
Boyce, D.E., and Farhi, A. (1972). Réseaux de Transport Optimaux. Paper presented at ihe
First Congress of the Regional Sciences Association of North-Western Europe,
Rotterdam.
Bruynooghe, M. (1972). An optimal method of choice of investments in a transport network.
Paper presented at the Planning & Transport Research & Computation Seminars on
Urban Traffic Model Research, London (8-12) May.
Bureau Central d’Etudes pour les Equipements d’Outre-Mer (1967). Etude Methodologique
pour la Recherche d’une Sequence Optimale d'Investissements, Paris.
Carter, E.C., and Stowers, J.R. (1963). Model for Funds Allocation for Urban Highway
Systems Capacity Improvements. Highway Research Board Record, No. 20.
Chan, Y-P., Follansbee, K.G., Manheim. M.L., and Mumford, J. (1968). Aggregation in
Transport Networks: An Application of Hierarchical Structure. Research Report R6847, M.I.T., Department of Civil Engineering, Cambridge, Mass.
Chan, Y-P. (1969). Optimal Travel Time Reduction in a Transport Network: An Application
of Network Aggregation and Branch and Bound Techniques. Research Report R-69-39,
M.I.T., Department of Civil Engineering, Cambridge, Mass.
Ost4-80
Dantzig, G.B., and Wolfe, Ph. (1960). Decomposition principle for linear programs.
Operations Research, 8. No 1.
Gilmore, P.C. (1962). Optimal and suboptimal algorithms for the quadratic assignment
problem. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, 10, 305.
Goldman. A.J. and Nemhauser, G.L. (1967). A transport improvement problem transformable
to a best-path problem. Transportation Science, l, 295-307.
Golomb, S.W., and Baumert, L.D. (1965). Backtrack programming. Journal of the
Association of Computing Machinery, 12, 516.
Gomory, R.E., and Hu, T.C. (1964). Synthesis of a communication network. Journal of the
Society for Industrial and Applied Mathematics, 12, No. 2 (June).
Hadley, G. (1962). Linear Programming, Addison-Wesley, Reading, Mass.
Hadley, G. (1964). Nonlinear and Dynamic Programming, Addison-Wesley, Reading, Mass.
Hamerslag, R. (1972). Prognosemodel voor het Personenvervoer in Nederland. Koninklijke
Nederlandse Toeristenbond A.N.W.B., 's-Gravenhage.
Haubrich G.Th.M. (1972). De optimalisering van het spoorwegnet in Nederland ten behoeve
van het personenvervoer, Tijdschrift voor Vervoerswetenschap (extra number).
Hershdorfer, A.M. (1965). Optimal Utilisation and Synthesis of Road Networks, M.I.T.,
Department of Civil Engineering, Cambridge, Mass.
Hu, T.C. (1969). Integer Programming and Network Flows, Addison-Wesley, Reading, Mass.
Jansen, G.R.M. (1971). Transport Network Optimization: A Preliminary Bibliography, 2nd
edition. Working Paper No. OTN/3/71.4, Transportation Research Laboratory, Delft
University of Technology, Delft.
Jansen, G.R.M., and Bovy, P.H.L. (1971). Verkeers- en vervoersresearch aan de TH Delft
1970, Verkeerstechniek, 22, No. 3 (March).
Koike. H. (1970). Planning Urban Transportation Systems: A Model for Generating Socially
Desirable Transportation Network Configurations. Urban Transportation Program
Research Report 2, Department of Urban Planning and Civil Engineering, University of
Washington, Seattle.
Land, A.H., and Doig, A. (1960). An automatic method for solving discrete programming
problems. Econometrica, 28, 497.
Lawler, E.L., and Wood, D.E. (1966). Branch-and-bound methods: a survey. Operations
Research, 14, 699.
Loubal, P.S. (1967). A Network Evaluation Procedure, Highway Research Record 205.
Manheim, M.L. (1966). Hierarchical Structure: A Model of Design and Planning Processes,
M.I.T. Press, Cambridge, Mass.
Manheim, M.L., with Ruiter, E.R., and Bhatt, K.U. (1968). Search and Choice in Transport
Systems Planning: Summary Report, Research Report R68-40; M.I.T., Department of
Civil Engineering, Cambridge, Mass.
Mitten, L.G. (1970). Branch-and-bound Methods: General Formulation and Properties,
Operations Research, 21, No. l (January/February).
Nederlands Economisch Instituut (1972). Integrale Verkeers-en Vervoerstudie (annex VI),
Staatsuitgeverij, s'Gravenhage.
Ochoa-Rosso, F. (1968). Applications of Discrete Optimization Techniques to Capital
Investment and Network Synthesis Problems. Research Report R-68-42, M.I.T.,
Ochoa-Rosso, F., and Silva, A. (1968). Optimum Project Addition in Urban Transportation
Networks via Descriptive Traffic Assignment Models, Research Report R68-44, M.I.T.,
Overgaard, K.R. (1966). Traffic Estimation in Urban Transportation Planning, Acta
Polytechnica Scandinavia.
Pearman, A. (1971). The choice of projects from among a set of proposed improvements to a
network. Paper presented at the Planning & Transport Research & Computation
Ost4-81
Symposium on Cost Models and Optimisation in Road Location, Design and
Construction, London (June).
Perret, F. (1967). Strategies de Réalisation d’un Ensemble d’Operation. Minstre de
l’Equipement et du Logement Service des Affaires Economiques et Internationales,
Paris.
Pothorst, R. (1971). Een Wegnnetkonstruktie Probleem. Mathematisch Centrum, Universiteit
van Amsterdam, Amsterdam.
Ridley, T.M. (1965). An Investment Policy to Reduce Travel Time in a Transportation
Network. Operation Research Centre Report ORC 65-34, University of California,
Berkeley, Cal.
Ridley, T.M. (1968). An investment policy to reduce the travel time in a transportation
network. Transportation Research, 2, No. 4 (December).
Roberts, P.O., and Funk, M.L. (1964). Toward Optimum Methods of Link Addition in
Transportation Networks, M.I.T., Department of Civil Engineering, Cambridge, Mass.
Scott, A.J. (1967). A programming model of an integrated transportation network, The
Regional Science Association Papers, 19.
Scott, A.J. (1969a). The optimal network problem: some computational procedures,
Transportation Research, 3, No. 2 (July).
Scott, A J. (1969b). Combinatorial programming and the planning of urban and regional
systems. Environment and Planning, l, 125.
Scott, A. J. (1971). Combinatorial Programming, Spatial Analysis and Planning, Methuen,
London.
Stairs, S. (1968). Selecting an optimal traffic network. Journal of Transport Economics and
Policy, 2, 218.
Steenbrink, P.A. (1970). Optimalisering van de infrastuktuur: Notitie 1. Eerste resultaten van
de Toespassing van de Gradiëntmethoden, Internal note of the Nederlandse
Spoorwegen, OP2/239/41(160), Utrecht.
Steenbrink, P.A. (1971). Optimalisering van de infrastruktuur, Verkeerstechniek,22, No. 7
(July).
Steenbrink, P.A. (1978) Optymalizacja sieci transportowych. WKŁ, Warszawa.
Tomlin, J.A. (1966). Minimum-cost multicommodity network flows, Operations Research,
14. No. l (January, February).
Ventker, R. (1970). Die Ökonomischen Grundlagen der Verkehrsnetzplanung,
Verkehrswissenschaftliche Studien 11. Aus dem Institut fur Verkehrswissenschaft der
Universität Hamburg. Herausgegeben von H. Jürgensen und H. Diederich.
Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen.
Ville, J.A. (1969). Model of investment optimization on an urban transportation network
(O.P. T.R.A.). Proceedings of the Planning & Transport Research & Computation
Symposium on Cost Models and Optimisation in Road Location, Design and
Construction, London (June).
Wohl, M., and Martin, B.Y. (1969). Traffic Systems Analysis for Engineers and Planners,
Mc-Graw-Hill, New York.
Ost4-82

AMENAGEUR van

Transkrypt

Podobne dokumenty

Literatura 1 Metoda podziału i ograniczeń

x SS x n x x SS n n

północ transportowa

Bombowa Ucieczka

Zagadnienia egzaminacyjne sp_II_st IG

JEDNORÓWNANIOWY LINIOWY MODEL EKONOMETRYCZNY

Badania operacyjne

Optymalizacja podatkowa najnowsze zmiany 01.04.2016 r.

Elementy modelowania matematycznego

j Strona miarą