Zbiory i odwzorowania
Transkrypt
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Suma A ∪ B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B: (x ∈ A ∪ B) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B). Część wspólna (przekrój) A ∩ B składa się z wszystkich elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B: (x ∈ A ∩ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B). Różnica A \ B składa się z wszystkich elementów, które należą do zbioru A, ale nie należą do zbioru B: (x ∈ A \ B) ⇔ (x ∈ A ∧ x6∈B). 2 Przykład zastosowania diagramów Venne’a. Zadanie. Załóżmy, że prawdziwe są następujące stwierdzenia: (1) wśród ludzi posiadających telewizory są tacy, którzy nie są malarzami, (2) ludzie, którzy codziennie pływają w basenie, a nie są malarzami, nie mają telewizorów. Czy wynika stąd, że prawdziwe jest następujące stwierdzenie: (3) nie wszyscy posiadacze telewizorów pływają codziennie w basenie? 3 Inkluzja zbiorów Mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, co zapisujemy A ⊂ B, jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B, czyli dla dowolnego elementu x prawdziwe jest zdanie (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B). Przykłady: {0} ⊂ [0, 1) ⊂ (−1, 1) ⊂ [−1, 1] ⊂ (−∞, 1], N1 ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. 4 Własności: 1) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ A, to A = B. 2) Jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C. 3) Jeżeli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪ B ⊂ C. 4) Jeżeli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C. Zadanie. Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzą następujące równoważności: A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B. 5 Zbiór pusty to zbiór posiadający 0 elementów, oznaczamy go symbolem ∅. Zbiór pusty jest zawarty w każdym zbiorze: ∅ ⊂ A. Jest tylko jeden zbiór pusty: (∅1 ⊂ ∅2) ∧ (∅2 ⊂ ∅1) ⇒ (∅1 = ∅2). 6 Algebra podzbiorów danego zbioru Przez X oznaczmy dowolny zbiór. Zbiór podzbiorów zbioru X oznaczamy symbolem 2X , na przykład: jeśli X = {a, b}, to 2X = {∅, {a}, {b}, {a, b}}, jeśli X = {1, 2, 3}, to 2X = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}. Twierdzenie. Jeśli zbiór X ma n elementów, to zbiór 2X ma 2n elementów. Jeśli mamy ustalony zbiór X i rozważamy tylko jego podzbiory, to zbiór X nazywamy przestrzenią lub uniwersum. 7 Dopełnieniem zbioru A (w przestrzeni X) nazywamy zbiór A0 = X \ A. Dla każdego elementu x ∈ X prawdziwe jest zdanie x ∈ A0 ⇔∼ (x ∈ A). Zachodzą następujące zależności: A ∩ A0 = ∅, A ∪ A0 = X, (A0)0 = A, ∅0 = X, X 0 = ∅. 8 Odnotujmy prawa de Morgana dla zbiorów: (A ∪ B)0 = A0 ∩ B 0, (A ∩ B)0 = A0 ∪ B 0. Podobne zależności zachodzą dla większej liczby zbiorów, na przykład: (A ∪ B ∪ C)0 = A0 ∩ B 0 ∩ C 0, (A ∩ B ∩ C ∩ D)0 = A0 ∪ B 0 ∪ C 0 ∪ D0. 9 Iloczyn kartezjański zbiorów Rozważmy dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a ∈ A i b ∈ B możemy utworzyć parę (a, b). Zbiór wszystkich takich par oznaczamy symbolem A×B i nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B: A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}, przy czym (a, b) = (a0, b0) ⇔ (a = a0) ∧ (b = b0). Uwaga. Jeśli zbiory A i B są skończone i zbiór A ma m elementów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A × B ma m · n elementów. 10 Kwadratem kartezjańskim zbioru A nazywamy zbiór A2 = A × A. Przykład. R2 = R×R – płaszczyzna (z układem współrzędnych), [0, 3) × (1, 2] ⊂ R2, [0, 3) × (1, 2] = {(x, y); x ∈ [0, 3), y ∈ (1, 2]}. 11 Analogicznie określamy iloczyn kartezjański większej liczby zbiorów, na przykład A × B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C}, przy czym (a, b, c) = (a0, b0, c0) ⇔ (a = a0) ∧ (b = b0) ∧ (c = c0). Zbiór An = |A × A × {z . . . × A} = n = {(a1, a2, . . . , an); a1, a2, . . . , an ∈ A} nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A, na przykład R3 to przestrzeń trójwymiarowa (z układem współrzędnych) i ogólnie Rn to przestrzeń n-wymiarowa. 12 Funkcje „Jeżeli mamy dwa zbiory X i Y , i każdemu elementowi zbioru X przyporządkujemy jeden i tylko jeden element zbioru Y , to takie przyporządkowanie nazywamy funkcją.” f : X → Y , X – dziedzina funkcji f , Y – przeciwdziedzina funkcji f . 13 Przykłady: • f : Z → Z, f (n) = n + 1, • gi : R → R, g1(x) = ax + b, g2(x) = sin x, g3(x) = 2x, g4(x) = anxn + . . . + a1x + a0, • E(x) = [x], np. E : R → R lub E : R → Z, • f : N1 × N1 → N1, f (m, n) = NWD(m, n), 14 • g : R3 → R, g(x, y, z) = xy + yz + zx, • h : R → R2, h(t) = (cos t, sin t), • X – zbiór, IdX : X → X, IdX (x) = x, • T – zbiór trójkątów, P : T → R, P (ABC) – pole trójkąta ABC, • ciąg a1, a2, a3, . . . elementów zbioru A to funkcja a : N1 → A, a(n) = an. 15 Zbiorem wartości funkcji f : X → Y nazywamy zbiór f (X) = {f (x); x ∈ X} = {y ∈ Y : ∃x∈X y = f (x)}. Przykłady: • f : R → R, f (x) = xn, gdzie n ∈ N1, ( f (R) = [0, +∞), jeśli n jest parzyste, R, jeśli n jest nieparzyste. • g : R → R, g(x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R, ( g(R) = R, jeśli a 6= 0, {b}, jeśli a = 0. 16 • E : R → R, f (x) = [x], E(R) = Z • h : R → R2, h(t) = (cos t, sin t), h(R) =? Uwaga. Zbiór wartości jest podzbiorem przeciwdziedziny: f (X) ⊂ Y, nie musi być równy całej przeciwdziedzinie! 17 Definicja. Funkcję f : X → Y nazywamy różnowartościową lub injekcją, jeśli różnym elementom zbioru X przyporządkowuje różne elementy zbioru Y : ∀x1,x2∈X x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2). Warunek równoważny: ∀x1,x2∈X f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2. 18 Przykłady injekcji: • f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0, • g : [− π2 , π2 ] → R, g(x) = sin x, • dowolna funkcja rosnąca f : R → R. Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R → R, f (x) = xn jest injekcją? 19 Definicja. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją „na” lub surjekcją, jeśli każdy element zbioru Y jest przyporządkowany jakiemuś elementowi zbioru X, czyli ∀y∈Y ∃x∈X f (x) = y. Funkcja jest „na”, gdy jej przeciwdziedzina jest zbiorem wartości: f (X) = Y . 20 Przykłady surjekcji: • f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0, • f : R → [−1, 1], f (x) = sin x, • f : R → Z, f (x) = [x]. Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R → R, f (x) = xn jest surjekcją? 21 Definicja. Funkcję f : X → Y nazywamy wzajemnie jednoznaczną lub bijekcją, jeśli jest różnowartościowa i „na” (czyli jest injekcją i surjekcją). Przykłady bijekcji: • f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0, • f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) = 1 x, • f : [− π2 , π2 ] → [−1, 1], f (x) = sin x, • f : R → R+, f (x) = ax, gdzie a > 0 i a 6= 1. 22 Rozważmy funkcje f : X → Y i g : Y → Z. Dla x ∈ X mamy y = f (x) ∈ Y , więc mamy również g(y) = g(f (x)) ∈ Z. W ten sposób określamy złożenie funkcji f i g: g ◦ f : X → Z, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ X. Przykład: f, g : R → R, f (x) = x + 1, g(x) = x2, f (g(x)) = x2 + 1, g(f (x)) = (x + 1)2. 23 Funkcja f : X → Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element y ∈ Y jest przyporządkowany dokładnie jednemu elementowi x ∈ X. Wówczas istnieje funkcja g : Y → X taka, że g(y) = x ⇔ y = f (x) dla x ∈ X, y ∈ Y. Funkcja g spełnia warunki: ∀x∈X g(f (x)) = x i ∀y∈Y f (g(y)) = y, czyli g ◦ f = IdX i f ◦ g = IdY . Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy symbolem f −1. 24 Przykłady funkcji odwrotnych: • f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0, f −1 : R → R, f −1(x) = x−b a , • g : [0, +∞) → [0, +∞), g(x) = xn, gdzie n ∈ N, n > 2 √ g −1 : [0, +∞) → [0, +∞), g −1(x) = n x, • h : R → (0, +∞), h(x) = ax, gdzie a > 0, a 6= 1, h−1 : (0, +∞) → R, h(x) = loga(x). 25 Rozważmy funkcję f : X → Y . Dla dowolnego zbioru A ⊂ X określamy jego obraz: f (A) = {f (x); x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x∈A f (x) = y}. Dla dowolnego zbioru B ⊂ Y określamy jego przeciwobraz: f −1(B) = {x ∈ X; f (x) ∈ B}. 26 Przykłady: • f : R → R, f (x) = x2 + x + 1, −1 (( 3 , 1)) = (−1, − 1 ) ∪ (− 1 , 0) f ([−1, 2]) = [ 3 , 7], f 4 4 2 2 • g : R → R, g(x) = sin 3x, g((0, π3 )) = (0, 1], g −1([−1, 0)) = 4π ) ∪ . . . = ) ∪ (π, = . . . ∪ (− π3 , 0) ∪ ( π3 , 2π 3 3 S (2k−1)π 2kπ ( , 3 ) k∈Z 3 • E : R → R, E(x) = [x], √ √ √ √ −1 E((− 2, 2)) = {−2, −1, 0, 1}, E ((− 2, 2)) = [−1, 2). 27 Zadanie. Rozważmy funkcję f : Z × Z → Z, f (x, y) = xy. Znajdź obraz zbioru {1, 10, 100, 1000} × {1, 10, 100, 1000} oraz przeciwobraz zbioru {1, 2, 3}. 28