wykład 11 - MB-druk

MECHANIKA BUDOWLI I
Prowadzący :
dr inż. Hanna Weber
pok. 227,
email: [email protected]
Literatura:
•
Dyląg Z., Mechanika Budowli,
PWN, Warszawa, 1989
•
Paluch M. , Mechanika Budowli: teoria i przykłady,
PWN, Warszawa 2013
•
Olszowski B., Radwańska M., Mechanika Budowli t. I,
wyd. Polit. Krakowskiej, 2003
•
Chudzikiewicz A., Statyka Budowli,
PWN, Warszawa, 1973
•
Cywiński Z., Mechanika Budowli w zadaniach,
PWN, Warszawa-Poznań, 1973
•
Witkowski M., Zbiór zadań z mechaniki budowli,
O.W.P.W., Warszawa, 2002
Materiały dodatkowe:
www.ktk.zut.edu.pl/dydaktyka.html
Zasady zaliczenia:
• Obecność
na wykładach obowiązkowa
•Aby przystąpić do egzaminu należy mieć zaliczenie:
- ćwiczeń audytoryjnych,
- ćwiczeń projektowych,
• Terminy egzaminów:
- dwa terminy podstawowe w sesji zimowej (jeden
z terminów do wyboru)
- I termin poprawkowy – w sesji zimowej
- II termin poprawkowy – w uzgodnionym terminie,
najpóźniej do końca sesji jesiennej następnego roku.
TEMATYKA ZAJĘĆ
• Zasada Prac Wirtualnych - liczenie przemieszczeń
w układach statycznie wyznaczalnych
• Metoda sił - wyznaczanie wykresów sił wewnętrznych
w ramach i belkach statycznie niewyznaczalnych pod
obciążeniem statycznym
• Metoda sił – obliczanie sił wewnętrznych w kratownicach
statycznie niewyznaczalnych
• Twierdzenie redukcyjne – obliczanie przemieszczeń w
układach statycznie niewyznaczalnych
Zasada Prac Wirtualnych
Zasada Prac Wirtualnych
pozwala wyznaczyć
przemieszczenia w układach
statycznie wyznaczalnych
Belka wolnopodparta
M
↓
f
T
↓
Φ
P=1
- Siła wirtualna
N
↓
e
Twierdzenie
Praca wirtualnych sił zewnętrznych
na rzeczywistych przemieszczeniach
jest równa pracy wirtualnych sił przekrojowych
na rzeczywistych odkształceniach
Lz = P ⋅ δ


Φ + N ε dl
Lw = ∫  Mϕ + T{
0

l 
M
ϕ=
EI
N
ε=
EA
↓
L z = Lw
↓
Lz = P ⋅ δ
Lw = ∫ (Mϕ + T Φ + N ε )dl
l
↓
 MM N N 
dl
1 ⋅ δ = ∫ 
+
EI
EA 
l 
Zadanie: Obliczyć ugięcie końca wspornika
z zasady prac wirtualnych
∑R
y
= V A − P = 0 → V A = P = 8kN
A MA=32kNm
HA=0
P=8kN
B
EJ
VA=8kN
4
32
M0
0 [kNm]
x
M = Px = 8 x
1
x
4
M
0 [m]
M = 1⋅x = x
A MA=32kNm
HA=0
P=8kN
B
EJ
VA=8kN
4
32
M = Px = 8 x
M0
0 [kNm]
x
1
x
4
M = 1⋅x = x
M
0 [m]
Brak wykresu sił normalnych stąd:
4
4
 MM N N 
8x ⋅ x
8x 2
8 1 3 
8 3 512
dl = ∫
δ = ∫ 
+
dx = ∫
dx =
x
=
4 =


EI
EA 
EI
EI
EI  3  0 3EI
3EI
l 
0
0
4
Całkowanie graficzne
wykresów
Całkując graficznie dwa wykresy
mnożymy pole pierwszego wykresu przez rzędną
z drugiego wykresu, na wysokości środka
ciężkości pierwszego
Całkowanie graficzne
wykresów
B
A
s
x
F
C = F ⋅η
Całkowanie graficzne
wykresów
Warunki:
- stała sztywność,
- wykres prostoliniowy zapisany jednym równaniem,
- całkując parabolę z wykresem prostoliniowym,
zawsze bierzemy pole paraboli,
- jeżeli wykresy są po tej samej stronie to wynik całkowania
jest dodatni, jeżeli po przeciwnych to ujemny
Całkowanie dwóch prostokątów:
Pprost. = a ⋅ L
Pprost. = a ⋅ L
Całkowanie:
C = a ⋅ L ⋅b
Całkowanie prostokąta z trójkątem:
Ptrójk.
Pprost. =
1
= a⋅L
2
1
a⋅L
2
Całkowanie:
1
C = ⋅ a ⋅ L ⋅b
2
Całkowanie dwóch trójkątów:
Ptrójk.
1
= a⋅L
2
Całkowanie:
1
2
C = ⋅a⋅L⋅ b
2
3
Całkowanie dwóch trójkątów:
Ptrójk.
1
= a⋅L
2
Całkowanie:
1
1
C = ⋅a⋅L⋅ b
2
3
Całkowanie prostokąta z trapezem:
Pprost. = a ⋅ L
Całkowanie:
1 
1
C = a ⋅ L ⋅ b + c
2 
2
Całkowanie trójkąta z trapezem:
Ptrójk.
1
= a⋅L
2
Całkowanie:
1
1 
2
C = ⋅ a ⋅ L ⋅ b + c
2
3 
3
Pole paraboli:
Pole paraboli:
Pole paraboli:
Przed całkowaniem
graficznym wykresy należy
rozbić na proste formy:
- prostokąty,
- trójkąty ,
- parabole
Przykłady rozbijania wykresów:
Przykłady rozbijania wykresów:
Przykłady rozbijania wykresów:
Przykłady rozbijania wykresów:
Zadanie 1. Wyznacz kąt obrotu końca wspornika
Wykres momentów od obciążenia zewnętrznego
Obciążenie wirtualne
Wartość kąta obrotu na końcu wspornika:
Zadanie 2. Wyznacz przemieszczenie pionowe końca wspornika
Obciążenie wirtualne
Wartość przemieszczenia pionowego na końcu wspornika:
Zadanie 3. Wyznacz przemieszczenie pionowe końca wspornika
Obciążenie wirtualne
Wartość przemieszczenia pionowego na końcu wspornika:
Zadanie 4. Wyznacz kąt obrotu na lewej podporze.
Obciążenie wirtualne
Wartość kąta obrotu na lewej podporze:
Zadanie 5. Wyznacz kąt obrotu na lewej podporze.
Obciążenie wirtualne
Wartość kąta obrotu na lewej podporze:
Zadanie 6. Wyznacz kąt obrotu po lewej stronie przegubu.
Wyznaczenie wykresów od obciążenia zewnętrznego
Wyznaczenie wykresów od obciążenia wirtualnego
Wyznaczenie kąta obrotu:
ϕ BL =
1 1
2

12
2
⋅
⋅
⋅
⋅ 0,5  +

2 EJ  2
3

1
2 EJ
1
1 
2
12
2
0
,
5
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅ 1

2
3 
3

−
2
1 1

12
2
⋅
⋅
⋅
⋅ 0,5 

EJ  2
3

−
1 1
2

 ⋅ 12 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 0,5 
EJ  2
3

1 2
1

16
4
⋅
⋅
⋅
⋅ 0,5 

EJ  3
2

14
=
3EJ
+