Lista wykładów dedykowanych dla doktorantów Studiów

Lista wykładów dedykowanych dla doktorantów Studiów doktoranckich z matematyki
na rok akademicki 2013/2014
Koordynator
Tytuł
Prof. dr hab. Grzegorz Lewicki
Dr hab. Anna Pajor, prof. UEK
Dr hab. Andrzej Sitarz
Dr hab. Marek Kosiek
Prof. dr hab. Zbigniew Błocki
Prof. dr hab. Jan Stochel
Prof. dr hab. Wiesław Pleśniak
Dr hab. Mirosław Baran, prof. UJ
Dr Leokadia Białas-Cież
Dr hab. Antoni Leon Dawidowicz, prof. UJ
Projekcje minimalne w przestrzeniach Banacha
Wnioskowanie bayesowskie w ekonomii i finansach
Geometria niekomutatywna: metody i zastosowania
Algebry funkcyjne
Oszacowanie Hörmandera dla operatora \bar\partial i zastosowania
Algebry Banacha
Udany mariaż geometrii subanalitycznej z teorią aproksymacji
Elementy ekstremalne zbiorów wypukłych i ich zastosowania w teorii aproksymacji
Interpolacja wielomianowa i jej zastosowania
Zastosowanie algebr splotowych
Uwaga: Na kolejnych dziesięciu stronach tego pliku znajdują się szczegółowe opisy powyższych wykładów.
Tytuł (po polsku): Projekcje minimalne w przestrzeniach Banacha
Tytuł (po angielsku): Minimal Projections in Banach Spaces
Koordynator: Prof. dr hab. Grzegorz Lewicki
Język: polski, w razie potrzeby angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr zimowy, środa po 15:00, godziny do uzgodnienia
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne: Podstawowe wiadomości z analizy funkcjonalnej w przestrzeniach Banacha,
analizy matematycznej i topologii.
Tematyka kursu: Niech H będzie przestrzenią Hilberta, a V jej domknięta podprzestrzenią liniową.
Znane twierdzenie mówi, że jeżeli P_V: H → V jest rzutem ortogonalnym na V, to |P_V|=|Id - P_V| =1.
Rzut ortogonalny jest szczególnym przypadkiem projekcji. Mówimy, że operator liniowy i ciągły
z przestrzeni Banacha X na jej podprzestrzeń V jest projekcją, jeżeli P|_V = id_V . Zbiór wszystkich
projekcji z X na V będziemy oznaczać symbolem P(X,V). Projekcję P_o nazywamy minimalna jeżeli
|P_o| = \inf {|P| : P \in P(X,V)}.
Jest oczywistym, że w przypadku przestrzeni Hilberta rzutem minimalnym na V jest P_V. W przypadku
przestrzeni Banacha problem efektywnego wyznaczenia projekcji minimalnych zwykle jest dużo
bardziej skomplikowany. Efektywne wyznaczanie projekcji minimalnych jest ważne miedzy innymi ze
względu na następująca nierówność: |x-Px| \leq (1+|P|) dist(x,V), która jest prawdziwa dla dowolnego
P ze zbioru P(X,V) oraz x z X. Wynika z niej, że element Px „dobrze” zastępuje element x
w podprzestrzeni V jeżeli |P| jest „mała”.
Głównym celem wykładu jest podanie metod pozwalających wyznaczać projekcje minimalne
efektywnie. Omówione zostaną również inne aspekty teorii projekcji minimalnych jak ich istnienie,
jedyność oraz zastosowania w teorii aproksymacji i innych działach matematyki.
Let H be a Hilbert space and let V be its closed linear subspace. A well-known theorem says that if
P_V: H → V is the orthogonal projection onto V then |P_V|=|Id - P_V|=1. The orthogonal projection is a
particular example of projection. It is said that a linear, continuous operator P from a Banach space X
onto its subspace V is a projection if P|_V = id_V. The set of all projections from X onto V will be
denoted by P(X,V). A projection P_o \in P(X,V) is called minimal if |P_o| = \inf {|P| : P \in P(X,V)}.
It is obvious that, in the case of Hilbert spaces P_V is a minimal projection onto V. In the case of
Banach spaces the problem of finding minimal projections effectively is much more complicated and,
among all, it is important because of the following inequality: |x-Px|\leq (1+|P|) dist(x,V),which is valid
for any P \in P(X,V) and x \in X. As a consequence we get that the element Px replaces „in a proper
way” x \in X in V provided |P| is „small”.
The main goal of this lecture is to present some methods which permit to determine minimal
projections effectively. Also other aspects concerning theory of minimal projections like existence,
uniqueness and applications of minimal projections in approximation theory and other branches of
mathematics will be discussed.
Literatura: W. Odyniec, G. Lewicki, Minimal Projections in Banach Spaces, Lecture Notes in Math.
t. 1449, Springer-Verlag, 1991.
Uwagi: Kurs ten jest także dedykowany dla studentów sekcji teoretycznej, ogólnej i stosowanej.
Tytuł (po polsku): Wnioskowanie bayesowskie w ekonomii i finansach
Tytuł (po angielsku): Bayesian inference in economics and finance
Koordynator: Dr hab. Anna Pajor, prof. UEK
Język: polski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr zimowy 2013/14
Warunki zaliczenia kursu: egzamin pisemny
Wymagania wstępne: statystyka matematyczna, ekonometria II, ekonometria dynamiczna
i finansowa
Tematyka kursu: Celem wykładu jest przedstawienie podstawowych zasad wnioskowania
bayesowskiego. Wykład zawiera następujące tematy:
1.
2.
3.
4.
5.
Idea wnioskowania bayesowskiego, prawdopodobieństwo subiektywne.
Bayesowski model statystyczny.
Sprzężone rodziny rozkładów, nieinformacyjne rozkłady a priori, reguła Jeffreysa.
Bayesowska estymacja, predykcja, testowanie hipotez, porównywanie modeli, łączenie wiedzy.
Metody Monte Carlo: losowanie z funkcją ważności, próbnik Gibbsa, algorytm Metropolisa
i Hastingsa.
Obszary zastosowań wnioskowania bayesowskiego, np. modele zmienności, stochastyczne graniczne
funkcje produkcji.
The aim of the lecture is to explore the basic principles of Bayesian inference. The lecture includes the
following topics:
1.
2.
3.
4.
The basic idea of the Bayesian inference. Subjective probability.
Bayesian statistical model.
Conjugate families of distributions, non-informative priors, Jeffrey’s rule.
Bayesian estimation, prediction, hypothesis testing, model comparison, model averaging (pooling
approach).
5. Monte Carlo methods: Importance sampling, the Gibbs sampler, the Metropolis-Hastings algorithm
Application areas of Bayesian inference, e.g.: volatility models, stochastic frontier production function
models.
Literatura:
1. Box G.E.P., Tiao G.C., [1973], Bayesian Inference in Statistical Analysis, Addison-Weseley
Publishing Company, London.
2. DeGroot M.H., [1970], Optimal statistical decisions, McGraw-Hill Book Company, London.
3. O’Hagan A., [1994], Bayesian Inference, Halsted Press, New York.
4. Osiewalski J., [1991], Bayesowska estymacja i predykcja dla jednorównaniowych modeli
ekonometrycznych, Seria: Monografie, Nr 100, Akademia Ekonomiczna, Kraków.
5. Osiewalski J., [2001], Ekonometria bayesowska w zastosowaniach, Wydawnictwo Akademii
Ekonomicznej w Krakowie, Kraków.
6. Pipień M., [2006], Wnioskowanie bayesowskie w ekonometrii finansowej, Wydawnictwo
Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków.
7. Zellner A., [1971], An Introduction to Bayesian Inference in Econometrics, J. Wiley, New York.
Uwagi: Poza doktorantami wykład ten jest dedykowany dla studentów specjalności Matematyka
finansowa i Matematyka stosowana.
Tytuł (po polsku): Geometria niekomutatywna: metody i zastosowania.
Tytuł (po angielsku): Methods and applications of noncommutative geometry.
Koordynator: Dr hab. Andrzej Sitarz
Język: angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr zimowy (środa, czwartek - po 11, piątek), sem. letni też możliwy
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne: wstęp do algebry, analiza funkcjonalna, analiza na rozmaitościach;
(przydatne: teoria homologii i kohomologii)
Tematyka kursu: Geometria niekomutatywna zajmuje się badaniem algebr (i związanych z nimi
obiektów) metodami geometrycznymi. Program kursu obejmuje 15 wykładów (2 x 45 minut):
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Algebry Banacha, algebry C*, algebry von Neumanna (2 wykłady).
Operatory nieograniczone, operatory Fredholma, indeks operatora Fredholma.
K-homologia algebr C*, K-teoria, elementy KK-teorii (2 wykłady).
Związki z twierdzeniem o indeksie Atiyah-Singer, przykłady zastosowań (Rieman-Roch).
(Ko)homologie Hochschilda i cykliczne algebr. Charakter Cherna-Connesa. (2 wykłady)
Algebra operatorów pseudoróżniczkowych. Residuum Wodzickiego.
Ślady na ideałach w algebrze operatorów, ślad Dixmiera, uogólnienie residuum Wodzickiego.
Lokalne twierdzenie o indeksie (Connes-Moscovici).
Symetrie w geometrii nieprzemiennej: grupy, algebry Hopfa, grupy kwantowe.
Zastosowania geometrii nieprzemienne do opisu foliacji (przykład: foliacja Kroneckera).
Hipoteza Bauma-Connesa (i jej następstwa).
Przykłady geometrii nieprzemiennych i ich zastosowania.
The aim of the lecture is to present an area of research known as noncommutative geometry, devoted
to studies of algebras with geometric tools. The scope contains elements of C*-algebra theory,
operator algebras, K-theory and K-homology, KK-theory, Hochschild and cyclic (co)homology, the link
to the Index Theorem of Atiayh-Singer as well as its applications. An overview of the algebra of
pseudodifferential operators, Wodzicki residue and exotic traces would lead to a generalized calculus
of pseudodifferentials and local index formula of Connes-Moscovici. Further we shall present the new
concept of symmetries in the algebraic language: Hopf algebras and (C*-algebraic) quantum groups.
Some of the most important applications and problems of NCG shall be sketched: the use of NCG to
describe foliations (and related index problems) and the Baum-Connes conjecture. Finally we'll
present some examples of NC geometries and their applications.
Literatura:
1. Alain Connes, Noncommutative geometry, Academic press, 1995.
2. Jose M. Gracia-Bondia, Hector Figueroa, Joseph C. Varilly, Elements of Noncommutative
Geometry, Birkhäuser Advanced Texts, 2000.
3. Alain Connes, Matilde Marcolli: Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives.
American Mathematical Society, 2008.
Uwagi: Poza doktorantami wykład jest dedykowany dla studentów specjalności teoretycznej, ogólnej
oraz stosowanej.
Tytuł (po polsku): Algebry funkcyjne
Tytuł (po angielsku): Function algebras
Koordynator: Dr hab. Marek Kosiek
Język wykładowy: polski, angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr letni 2013/2014 (w razie potrzeby – zimowy)
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne: podstawy analizy matematycznej, algebry liniowej, topologii, analizy
funkcjonalnej i teorii funkcji zespolonych
Tematyka kursu:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Algebry Banacha, algebry funkcyjne i ich realizacje.
Funkcjonały liniowo-multyplikatywne i ideały maksymalne.
Brzeg Szyłowa i Choqueta.
Miary reprezentujące.
Części Gleasona.
Rozkład miar ortogonalnych.
Algebry Dirichleta i logmodularne.
Algebry wielomianów, funkcji wymiernych i holomorficznych.
∞
Algebra L .
Transformata Cauchy'ego. Tw. Margeylana.
Punkty i zbiory szczytowe.
Algebry lokalne i antysymetryczne.
Algebry dualne.
Iloczyny tensorowe algebr funkcyjnych.
Zastosowania w teorii operatorów.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Banach algebras, function algebras and their realizations.
Complex homomorphisms and maximal ideals.
Shilov and Choquet boundary.
Representing measures.
Gleason parts.
Decomposition of orthogonal measures.
Dirichlet algebras and logmodular algebras.
Algebras of polynomials, rational and holomorphic functions.
∞
The algebra L .
Cauchy transform. Margeylan theorem.
Peak points and peak sets.
Local and antisimetric algebras.
Dual algebras.
Tensor products of function algebras.
Applications in operator theory.
Literatura:
1. T. W. Gamelin, Uniform Algebras, AMS Chelsea Publishing, American Mathematical Society –
Providence, Rhode Island, 1984.
2. I. Suciu, Function Algebras, Editura Academiei Republicii Socialiste Romania, Bucuresti 1973.
3. W. Żelazko, Algebry Banacha, PWN, Warszawa 1968.
Uwagi: Poza doktorantami wykład mogą wybierać studenci II stopnia specjalności teoretycznej
i stosowanej.
Tytuł (po polsku): Oszacowanie Hörmandera dla operatora \bar\partial i zastosowania
Tytuł (po angielsku): Hörmander's estimate for the \bar\partial-operator and applications
Koordynator: Prof. dr hab. Zbigniew Błocki
Język: angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr letni 2013/14
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne: analiza, analiza funkcjonalna, teoria miary, funkcje analityczne
Tematyka kursu: Operator \bar\partial jest podstawowym narzędziem w teorii funkcji wielu zmiennych
zespolonych. W 1965 r. Lars Hörmander opublikował przełomową pracę dotyczącą tego zagadnienia.
Przy pomocy teorii gęsto określonych operatorów przestrzeni Hilberta udowodnił istnienie rozwiązań
równania \bar\partial spełniających oszacowania w normie L^2 z dowolnymi wagami
plurisubharmonicznymi. Oszacowanie to było nowe i okazało się bardzo przydatne także w przypadku
funkcji jednej zmiennej zespolonej (choć większość tych zastosowań jest odkrywana dopiero ostatnio).
W pierwszej części kursu przedstawimy dowód oszacowania Hörmandera korzystając głównie z jego
klasycznej książki "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables". Następnie
przedstawimy wiele rezultatów, które można udowodnić korzystając bezpośrednio z tego
oszacowania, m.in. twierdzenie Siciaka-Zaharyuty, twierdzenie Ohsawy-Takegoshiego, aproksymacja
Demailly'ego, twierdzenie Siu o analityczności zbiorów poziomicowych dla liczb Lelonga, dowód
hipotezy Suity, twierdzenie Bourgaina-Milmana z analizy wypukłej.
The \bar\partial-operator is a basic tool in the theory of functions of several complex variables. In 1965
Lars Hörmander published a breakthrough article in this area. Using the theory of densely defined
operators of Hilbert spaces he proved existence of solutions to the \bar\partial-equation with estimates
depending on the weighted L^2-norms. It was new and turned out to be very useful also in dimension
one (although most of these particular applications are very recent).
In the first part of the course we will present the proof of the Hörmander estimate mostly following his
classical book "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables". After that we will show
many applications proving results that can be proved using this estimate directly, in particular the
Siciak-Zaharyuta theorem, Ohsawa-Takegoshi theorem, Demailly's approximation, Siu's theorem on
analyticity of sublevel sets for Lelong numbers, Suita conjecture, Bourgain-Milman theorem from
convex analysis.
Literatura: L. Hörmander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, 3rd ed., NorthHolland, Amsterdam, 1991.
Uwagi: Poza doktorantami wykład jest dedykowany dla studentów specjalności teoretycznej.
Tytuł (po polsku): Algebry Banacha
Tytuł (po angielsku): Banach Algebras
Koordynator: Prof. dr hab. Jan Stochel
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr letni 2013/14
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne: analiza funkcjonalna, podstawy teorii funkcji zespolonych jednej zmiennej
Tematyka kursu: Algebra Banacha z jedynką jest izometrycznie izomorficzna z domkniętą
podalgebrą algebry operatorów B(X). Grupa G(A) elementów odwracalnych algebry Banacha A z
jedynką jest otwarta w A i jest grupą topologiczną w której operacja odwracania jest funkcją
analityczną. Składowa spójna G0(A) jedynki w G(A) jest otwarto-domkniętą podgrupą normalną grupy
G(A), a zbiór warstw G0(A) w G(A) pokrywa się ze zbiorem składowych spójnych G(A). Grupa
ilorazowa G(A)/G0(A), zwana abstrakcyjną grupą indeksów algebry A, jest grupą dyskretną.
Twierdzenie o logarytmie. Gdy A jest przemienna, to składowa spójna G0(A) jedynki w G(A) jest
identyczna z półgrupą multiplikatywną generowaną przez Exp(A). Pierwsza grupa kohomotopii zwartej
przestrzeni Hausdorffa X jest izomorficzna z abstrakcyjną grupą indeksów algebry C(X). Widmo
elementu algebry Banacha jest niepustym zwartym podzbiorem płaszczyzny zespolonej. Twierdzenie
Gelfanda-Mazura. Wzór Gelfanda na promień spektralny. Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość
pomiędzy ideałami maksymalnymi a charakterami przemiennej algebry Banach z jedynką; topologia
Gelfanda na przestrzeni ideałów maksymalnch. Twierdzenie o transformacie Gelfanda. Każdy punkt
brzegu zbioru elementów singularnych algebry Banacha jest dwustronnym topologicznym dzielnikiem
zera. Twierdzenie o zapełnianiu dziur w widmie (względem podalgebry). Twierdzenie o odwzorowaniu
widm. Twierdzenie o półciągłości widma w algebrze Banacha. Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki.
Rachunek funkcyjny (i jego jednoznaczność) dla elementów normalnych C*-algebry z jedynką.
Twierdzenie o odwzorowaniu widm dla takiego rachunku. Twierdzenie Bochnera-Raikowa dla stanów
przemiennej jedynkowej C*-algebry. Twierdzenie spektralne dla ograniczonego operatora normalnego.
Twierdzenie o niepustości zbioru unormowanych stanów C*-algebry. Konstrukcja GNS (GelfandNaimark-Segal). Twierdzenie Gelfanda-Naimarka. Niepustość, zwartość i wypukłość obrazu
numerycznego elementu C*-algebry. Rachunek funkcyjny Dunforda-Riesza.
The group G(A) of invertible elements of a Banach algebra A; its connected component G0(A)
containing the unit; the abstract index group G(A)/G0(A) of A; the exponent Exp(A) of A and its
connection with G0(A) in the abelian case. The Gelfand-Mazur theorem. The Gelfand transform. The
properties of the spectrum of an element of A with respect to subalgebras of A. Spectral mapping
theorem. The Gleason-Kahane-Żelazko theorem. The functional calculus for normal elements of C*algebras. The spectral theorem for bounded normal operators. The Gelfand-Naimark-Segal
construction. The Gelfand-Naimark theorem. The Dunford-Riesz functional calculus for elements of a
Banach algebra.
Literatura:
1. W. Rudin, Functional Analysis, McGraw–Hill Series in Higher Math., McGraw–Hill Book Co., New
York, 1973.
2. F. F. Bonsall and J. Duncan, Complete Normed Algebras, Springer, Berlin 1973.
Uwagi: Kurs adresowany również dla studentów sekcji teoretycznej II stopnia.
Tytuł (po polsku): Udany mariaż geometrii subanalitycznej z teorią aproksymacji
Tytuł (po angielsku): A successful merger of subanalytic geometry with approximation theory
Koordynator: Prof. dr hab. Wiesław Pleśniak
Język: polski/angielski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr letni 2013/2014, wtorek, godz. 12-14
Warunki zaliczenia kursu: egzamin pisemny
Wymagania wstępne: rachunek różniczkowy i całkowy dla wielu zmiennych, teoria funkcji
analitycznych, analiza funkcjonalna
Tematyka kursu: Statystyczny student matematyki poznaje na wykładach twierdzenie aproksymacyjne Weierstrassa, czasem twierdzenie Rungego, rzadziej twierdzenie Bernsteina-Walsha. Ich
wielowymiarowe odpowiedniki wymagają z oczywistych powodów zastosowania znacznie silniejszych
metod, niż te, które wystarczają w przypadku jednowymiarowym, szczególnie gdy mamy do czynienia
ze zbiorami z ostrzami. Okazuje się, że niezwykle skutecznych narzędzi dostarcza tutaj połączenie
metod wypracowanych w Krakowie przez dwie wybitne szkoły: opartej na współczesnej teorii
pluripotencjału konstruktywnej teorii funkcji oraz geometrii subanalitycznej. Celem proponowanego
wykładu będzie prezentacja tych metod na przykładzie twierdzeń (typu Bernsteina-Walsha-Siciaka)
o aproksymacji wielomianowej fukcji holomorficznych oraz o aproksymacji i przedłu-żaniu funkcji
nieskończenie różniczkowalnych (twierdzenia typu Jacksona-Bernsteina). Metody te posłużą również
do konstrukcji dopuszczalnych sieci wielomianowych na zbiorach zwartych (tzw. norming subsets),
co ma również aspekt numeryczny.
Multivariate polynomial approximation requires application of essentially stronger methods than those
known in the classical one-dimensional setting. It has appeared that very effective tools can here be
provided by combining methods developed by two outstanding Cracow schools, the one of
constructive theory of functions based on modern pluripotential theory, and the latter of subanalytic
geometry. The goal of the proposed lecture is to present such methods with placing emphasis on
polynomial approximation of holomorphic functions (Bernstein-Walsh-Siciak type theorems)
and Jackson-Bernstein type approximation and extension of infinitely differentiable functions.
Applications to constructions of admissible polynomial meshes on compact sets (so called norming
subsets) will be discussed as well.
Literatura:
1. E. Bierstone and P.D. Milman, Semianalytic and subanalytic sets, Publ. math. Inst. Hautes
Etudes Sci. 67 (1988), 5-42
2. M. Klimek, Pluripotential Theory, Oxford Univ. Press, London 1991
∞
3. W. Pawłucki and W. Pleśniak, Markov's inequality and C functions on sets with polynomial
cusps, Math. Ann. 275 (1986), 467-480
4. W. Pawłucki and W. Pleśniak, Extension of C^\infty functions from sets with polynomial cusps,
Studia Math. 88 (1988), 279-287
5. W. Pleśniak, L-regularity of Subanalytic Sets, Bull. Acad. Polon. Sci. S\'er. Sci. Math. 32 (1984),
647-651
6. W. Pleśniak, Markov's inequality and the existence of an extension operator for C^\infty functions,
J.Approx.Theory 61 (1990), 106-117
7. T. Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University Press 1995
Uwagi: Poza doktorantami przedmiot dedykowany dla specjalności studiów II stopnia: teoretycznej,
stosowanej, ogólnej.
Tytuł (po polsku): Elementy ekstremalne zbiorów wypukłych i ich zastosowania w teorii aproksymacji
Tytuł (po angielsku): Extremal elements of convex sets and their applications in approximation theory
Koordynator: Dr hab. Mirosław Baran, prof. UJ
Język: polski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr letni, czwartek 14-16
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne: kurs algebry liniowej, analizy matematycznej, podstawy analizy funkcjonalnej,
podstawy analizy zespolonej
Tematyka kursu: 1. Zbiory wypukłe i ich własności. Przykłady. 2. Punkty i łuki ekstremalne zbiorów
wypukłych. Punkty ścisłej wypukłości. 3. Twierdzenia Kreina-Milmana i Straszewicza. 4. Twierdzenie
Szmuliana o punktach ścisłej wypukłości kuli sprzężonej. Zależności między gładkością (ścisłą
wypukłością) przestrzeni Banacha a śćisłą wypukłością (gładkością) przestrzeni sprzężonej. 5.
Przykłady zastosowań twierdzenia Szmuliana; opis punktów ekstremalnych kul w wybranych
przestrzeniach unormowanych. 6. Norma sprzężona i funkcja sprzężona w sensie Younga, przykłady
obliczeń. 7. Nierówności wielomianowe w normie jednostajnej. 8. Tożsamości Milówki I Ozorki,
twierdzenia Ozorki o punktach ekstremalnych. 9. Nierówności Markowa w różnych normach. 10.
Funkcja Greena zbioru zwartego i jej modyfikacje. Własności i przykłady. 11. Ortogonalność w
przestrzeniach Banacha i jej zastosowania w teorii aproksymacji. 12. Wielomiany Czebyszewa przy
różnych normach. 13. Pojemność i średnica pozaskończona zbiorów zwartych. 14. Aproksymacja
funkcji wielomianami o współczynnikach całkowitych.
Convex sets and their properties. Extremal points and extremal arc of convex sets, exposed points.
Basic theorems on extremal points and points of strict convecity. Smoothness and and strict convexity
in Banach spaces. Conjugate norms and conjugate functions in the sense of Young. Polynomial
inequalities in uniform norm. Milówka and Ozorka identities for k-th derivatives. Markov type
inequalities. Green functions and their modifications. Orthogonality in Banach spaces and their
applications in approximation theory. Chebyshev polynomials in different norms. Capacity and
transfinite diameter of compact sets. Approximations of functions by polynomials with integer
coefficients.
Literatura:









E. W. Cheney, Introduction to approximation theory,
Cioranescu I., Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems,
K. Leichtweis, Konvexe Mengen (jest tłumaczenie rosyjskie),
M. Moszyńska, Geometria zbiorów wypukłych,
W. Pleśniak, Wykłady z teorii aproksymacji,
W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona,
W. Rudin, Analiza funkcjonalna,
G. Szeg”o, Orthogonal polynomials,
P. Wojtaszczyk, Banach spacer for analysts.
Uwagi: Poza doktorantami wykład dedykowany dla specjalności studiów II stopnia, teoretycznej oraz
stosowanej.
Tytuł (po polsku): Interpolacja wielomianowa i jej zastosowania
Tytuł (po angielsku): Polynomial Interpolation and its Applications
Koordynator: Dr Leokadia Białas-Cież
Język: polski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: semestr letni, proponowany termin: środy 14-16
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny, do egzaminu obowiązują zagadnienia podstawowe
dotyczące około 10 pierwszych wykładów oraz dowolnie wybrana jedna z pięciu grup zastosowań
Wymagania wstępne: Funkcje analityczne, Analiza matematyczna 1, 2 i 3.
Tematyka kursu:
 Podstawowe wzory interpolacyjne: Lagrange’a, Newtona, Hermite’a;
 Szacowanie błędu przybliżenia funkcji wielomianem interpolacyjnym;
 Funkcja i stała Lebesgue’a i ich znaczenie w interpolacji;
 Podstawowe węzły interpolacyjne: punkty Czebyszewa, Fejera, Feketego, Leji;
 Związki interpolacji z teorią potencjału;
 Kryteria optymalności węzłów interpolacji: Twierdzenia Bernsteina-Walsha,
 Twierdzenie Blooma-Bosa-Christensena-Levenberga;
 Interpolacja wielowymiarowa;
 Interpolacja Hermite’a, czyli z zadaniem wartości pochodnych;
 Zastosowania interpolacji:
w numerycznym rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych,
w konstruktywnej teorii funkcji,
w teorii potencjału,
w teorii aproksymacji i nierównościach wielomianowych.
Interpolation formulas, Lebesgue’s functions and constants, classical knots of interpolation, BernsteinWalsh theorem, Bloom-Bos-Christensen-Levenberg theorem, Harmite’s interpolation, multidimensional
interpolation, selected applications of interpolation.
Literatura:
 T. Bloom, L. Bos, C. Christensen and N. Levenberg, Polynomial Interpretation of Holomorphic
N
Functions in C and C , Rocky Mountain J. Math. Volume 22, Number 2 (1992), 441-470.
 R. A. DeVore and G. G. Lorentz, “Constructive Approximation,” Grundlehren, Vol. 303, SpringerVerlag, Berlin/New York, 1993.
 D. Gaier, Lectures on Complex Approximation, Birkhauser, Boston, 1987.
Uwagi: Kurs jest adresowany do doktorantów oraz studentów studiów II stopnia specjalności
teoretycznej, stosowanej i nauczycielskiej.
Tytuł (po polsku): Zastosowanie algebr splotowych
Tytuł (po angielsku): Appplications of convolution algebras
Koordynator: Dr hab. Antoni Leon Dawidowicz, prof. UJ
Język: polski
Liczba godzin i forma zajęć: wykład, 30 godzin (2 ECTS)
Planowany termin zajęć: do ustalenia (preferowany semestr letni)
Warunki zaliczenia kursu: egzamin ustny
Wymagania wstępne: Tematyka kursu:
Transformacja Laplace’a i jej uogólnienia. Rachunek operatorów Mikusińskiego, Sploty Urbanika.
Laplace transform, Mikusiński operational calculus, Generalized convolutions.