1.7. Działania na zbiorach.

1.7. DZIAŁANIA NA ZBIORACH
Zbiory oznaczamy duŜymi literami: A, B, C,...
a ∈ A - czytamy a naleŜy do zbioru A ( a jest elementem zbioru A )
a ∉ A - czytamy a nie naleŜy do zbioru A ( a nie jest elementem zbioru A )
zbiór skończony – ma skończoną liczbę elementów
zbiór nieskończony – ma nie skończoną liczbę elementów
zbiór pusty ∅ - zbiór , do którego nie naleŜy Ŝaden element
moc zbioru A - liczba elementów zbioru A
Przykład 1.7.1. Wypisz elementy zbioru:
a) A = {x ∈ C : −2 < x ≤ 5} .
Rozwiązanie
A = {x ∈ C : −2 < x ≤ 5} = {− 1,0,1,2,3,4,5}
Komentarz
Do zbioru A naleŜą wszystkie liczby całkowite
większe od –2 i nie większe od 5.
b) B = {x ∈ N : x jest wielokrotnością 3}
Rozwiązanie
B = {x ∈ N : x jest wielokrotnością 3}
= {3,6,9,12,15,...}
Komentarz
Do zbioru B naleŜą wszystkie liczby naturalne,
które są wielokrotnościami liczby 3 .
Zbiór B jest zbiorem nieskończonym , nie
moŜemy wypisać wszystkich elementów tego
zbioru.
Zbiór B nie ma elementu największego.
c) D = {x ∈ C − : x > 5}
Rozwiązanie
D = {x ∈ C − : x > 5} = ∅
Komentarz
śadna liczba całkowite ujemna nie jest
większa od 5. Zbiór D jest zbiorem pustym.
Działania na zbiorach
Działanie
Ilustracja graficzna
Zapis symboliczny
Niektóre
własności
A∪∅ = A
Suma
zbiorów
A∪ B
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}
A∩∅ = ∅
Iloczyn
zbiorów
A∩ B
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}
RóŜnica
zbiorów
A\ B
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∉ B}
∅\A=∅
A\∅ = A
Przykład 1.7.2. Wykonaj działania A ∪ B; A ∩ B; A / B; B / A dla zbiorów:
A = {1,2,4,5} B = {− 6,−3,−2,0,1}
Rozwiązanie
A ∪ B = {− 6,−3,−2,0,1,2,4,5}
A ∩ B = {1}
A \ B = {2,4,5}
B \ A = {− 6,−3,−2,0}
Komentarz
Do sumy A ∪ B naleŜą wszystkie elementy
zbiorów A,B.
Iloczynem
A,B.
A ∩ B jest część wspólna zbiorów
RóŜnicą A \ B są elementy, które naleŜą do
zbioru A i nie naleŜą do zbioru B.
RóŜnicą B \ A są elementy, które naleŜą do
zbioru B i nie naleŜą do zbioru A.
Przykład 1.7.3. Dane są zbiory
{
}
A = x ∈ R : x 2 − 81 = 0
B = {x ∈ C : x > 2}
D = {x ∈ N : x ≤ 9}
Wyznacz zbiór (D ∩ B ) / A
Rozwiązanie
{
Komentarz
}
A = x ∈ R : x 2 − 81 = 0 = {− 9,9}
Wypisujemy elementy zbioru A.
B = {x ∈ C : x > 2} = {3,4,5,6,...}
D = {x ∈ N : x ≤ 9} = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Wypisujemy elementy zbioru B.
Zbiór B jest nieskończony.
Wypisujemy elementy zbioru D.
Wykonując działania złoŜone pamiętamy o
kolejności wykonywania działań.
D ∩ B = {3,4,5,6,7,8,9}
Wykonujemy działanie w nawiasie.
(D ∩ B ) / A = {3,4,5,6,7,8}
Wykonujemy działanie
(D ∩ B ) / A = {3,4,5,6,7,8,9} \ {− 9,9}.
Relacje między zbiorami
Relacja
Definicja
Zawieranie się Zbiór A zawiera się w zbiorze B ⇔ kaŜdy
zbiorów
element zbioru A jest elementem zbioru B
A⊂ B
( Zbiór A jest podzbiorem zbioru
B jest nadzbiorem zbioru A )
Ilustracja graficzna
A⊂ B⇔
B
B , a zbiór
dla kaŜdego x
A
(x ∈ A ⇒ x ∈ B )
A ⊄ B - A nie zawiera się w B
Równość
zbiorów
A= B
Zbiory
rozłączne
Zbiory A i
elementy
B są równe ⇔ mają te same
Zbiory A i B są rozłączne ⇔ iloczyn tych
zbiorów jest zbiorem pustym
A= B⇔
A=B
A
Zapis symboliczny
dla kaŜdego x
(x ∈ A ⇔ x ∈ B )
B
A∩ B = ∅
Przykład 1.7.4. Za pomocą diagramów przedstaw związki między zbiorami C , W − , N .
Rozwiązanie
Komentarz
KaŜde koło przedstawia odpowiedni zbiór
C – zbiór liczb całkowitych
W− – zbiór liczb wymiernych ujemnych
N– zbiór liczb naturalnych
W−
N
C
Przykład 1.7.5. Dane są zbiory
A = {x ∈ N : x ≤ 6}; B = {x ∈ C : −4 < x < 4}; D = {x ∈ N : 4 ≤ x < 7}.
Wypisz elementy zbiorów A, B, C , a następnie wśród poniŜszych zdań wskaŜ
prawdziwe:
a) D ⊂ A
b) D ⊂ B
c) (B ∩ D ) ⊂ A
d) zbiory B i D są rozłączne.
Rozwiązanie
A = {x ∈ N : x ≤ 6} = {0,1,2,3,4,5,6}
Komentarz
Wypisujemy elementy zbioru A.
B = {x ∈ C : −4 < x < 4} = {− 3,−2,−1,0,1,2,3}
D = {x ∈ N : 3 ≤ x < 7} = {3,4,5,6}
a) D ⊂ A - zdania prawdziwe
b) D ⊂ B - zdanie nie jest prawdziwe
c) (B ∩ D ) = {3}
(B ∩ D ) ⊂ A - zdania prawdziwe
d) zbiory B i D są rozłączne - zdanie nie jest
prawdziwe
{
} {
Wypisujemy elementy zbioru B.
Wypisujemy elementy zbioru D.
KaŜdy element zbioru D jest teŜ elementem
zbioru A
Do zbioru B nie naleŜą 4, 5, 6 .
3 jest teŜ elementem zbioru A
Zbiór (B ∩ D ) = {3} nie jest zbiorem pustym.
}
Przykład 1.7.6. Czy zbiory A = x ∈ N : x 2 = 9 ; B = x ∈ R : x 3 = 8 są równe?
Rozwiązanie
{
}
B = {x ∈ R : x 3 = 8}= {3}
A = x ∈ N : x = 9 = {3}
2
A= B
Komentarz
Wypisujemy elementy zbioru A.
Wypisujemy elementy zbioru B.
Zbiory A i B mają te same elementy.
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 1.7.1. (1pkt.) Wypisz elementy zbioru: A = {x ∈ C + : 0 ≤ x < 5}
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Podanie odpowiedzi.
Liczba punktów
1
Ćwiczenie 1.7.2. (4pkt.) . Dane są zbiory
A = {x ∈ N : −1 ≤ x ≤ 2}
B = {x ∈ C : x > 1}
D = {x ∈ R : 2 x − 5 = 3x − 4}
Wyznacz zbiór ( A / B ) ∪ D
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Wypisanie elementów zbioru A
1
2
Wypisanie elementów zbioru B
1
3
Wypisanie elementów zbioru D
1
4
Podanie elementów zbioru
(A / B) ∪ D
1
Ćwiczenie 1.7.3. (1pkt.) Które ze zbiorów {0}, C + , W + są podzbiorami zbioru N .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Podanie odpowiedzi.
Liczba punktów
1
Ćwiczenie 1.7.4. (1pkt.) A jest zbiorem liczb podzielnych przez 2 . B jest zbiorem liczb
podzielnych przez 5. Czy zbiory A i B są rozłączne?
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Podanie odpowiedzi z uzasadnieniem.
Liczba punktów
1