Zbiór. Działania na zbiorac

Uczeń:
 zna takie pojęcia, jak: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiór zbioru;
 zna symbolikę matematyczną dotyczącą zbiorów (, , , , -,  , );
 potrafi podać przykłady zbiorów (w tym przykłady zbiorów skończonych
oraz nieskończonych);
 potrafi określić relację pomiędzy elementem i zbiorem;
 potrafi określać relacje pomiędzy zbiorami (równość zbiorów, zawieranie
się zbiorów, rozłączność zbiorów);
 zna definicję sumy, iloczynu, różnicy zbiorów;
 potrafi wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę zbiorów skończonych;
W matematyce termin „zbiór" należy do tak zwanych pojęć
pierwotnych, czyli takich, których się nie definiuje.
Zbiory oznaczać będziemy dużymi literami: A, B, C, D..., natomiast
elementy zbiorów - małymi literami: a, b, c, d...
My zajmować się będziemy zbiorami liczbowymi, to znaczy takimi,
których elementami są liczby. Omówimy sposoby opisywania zbiorów.
Sposoby opisywania zbiorów:
1. Podanie warunku, który spełniają jego elementy np.
A - zbiór ocen, które uczeń liceum może otrzymać z matematyki
2. Wypisanie wszystkich jego elementów.
Elementy wypisujemy między nawiasami klamrowymi { }, oddzielając je przecinkami np.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {1, 2, 3, ...33, 34}
3.
Kolejnym sposobem opisania zbioru jest zastosowanie zapisu:
A = {x: x jest oceną, którą uczeń liceum może otrzymać z matematyki}.
Zapis ten czytamy: „zbiór - jest zbiorem takich elementów x, że x jest oceną, którą uczeń
liceum może otrzymać z matematyki".
Przykład 1
Mamy dany zbiór 𝐴 = 1,2,3,4,5,6
- jeśli chcemy zaznaczyć, że liczby 1 i 2 są elementami zbioru A (liczby 1 i 2 należą do
zbioru A), to stosujemy zapis:
1 ∈ 𝐴, 2 ∈ 𝐴
∈ - należy
Jeśli natomiast chcemy zaznaczyć, że liczba 7 nie jest elementem zbioru A (liczba 7 nie należy do
zbioru A), to zapisujemy to tak:
7∉𝐴
∉ - nie należy
Zbiór, którego liczbę elementów można ustalić, nazywamy zbiorem
skończonym; w przeciwnym wypadku o zbiorze powiemy, że jest zbiorem
nieskończonym.
Szczególnym przypadkiem zbioru skończonego jest zbiór pusty, czyli taki, do
którego nie należy żaden element. Zbiór pusty oznaczamy symbolem ∅.
Definicja 1.
Zbiory A i B są równe (co oznaczamy 𝑨 = 𝑩) wtedy, gdy każdy element należący do zbioru A
należy do zbioru B i każdy element należący do zbioru B należy do zbioru A.
Definicja 2.
Zbiór A jest podzbiorem zbioru B (co oznaczamy𝐴 ⊂ 𝐵) wtedy, gdy każdy element zbioru A jest
elementem zbioru B.
⊂ - zwiera się
Zadanie 1.21
Zapisz symbolicznie zbiory opisane w następujący sposób:
a) A - zbiór liczb naturalnych parzystych.
b) B- zbiór liczb naturalnych nieparzystych mniejszych od 100.
c) C- zbiór naturalnych wielokrotności liczby 3.
d) D-zbiór liczb, których kwadrat wynosi 16.
e) E- zbiór odwrotności naturalnych wielokrotności liczby 5.
f) F- zbiór liczb, których trzecia potęga zmniejszona o 5 jest większa od 22.
g) G - zbiór potęg liczby 7 o wykładniku naturalnym.
h) H- zabiór liczb, których odwrotność jest nie mniejsza niż 2
i) I- zbiór liczb spełniających następujący warunek: suma każdej liczby i jej kwadratu jest
nie większa od 4.
Definicja 3.
Sumą zbiorów A oraz B (oznaczenie 𝐴 ∪ 𝐵) nazywamy zbiór tych elementów, które
należą do zbioru A lub do zbioru B.
Definicja 4.
Różnicą zbiorów A oraz B (oznaczenie 𝑨 − 𝑩 albo 𝑨 \ 𝑩) nazywamy zbiór tych elementów,
które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.
Definicja 5.
Częścią wspólną (iloczynem) zbiorów A oraz B (oznaczenie 𝑨 ∩ 𝑩) nazywamy zbiór tych
elementów, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B.
Definicja 6.
Niech A będzie dowolnym zbiorem w przestrzeni U, 𝐴 ⊂ 𝑈.
Dopełnieniem zbioru A w przestrzeni U (oznaczenie 𝑨′, czytaj: „A prim") nazywamy zbiór
tych elementów przestrzeni U, które nie należą do zbioru A.
Zadanie 1.24
Wyznacz zbiory 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐴 jeśli:
b)
A = {1, 2, 3,4, 5},
B = {5,4, 3, 2, 1}
Zadanie 1.24
Wyznacz zbiory 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐴 jeśli:
d)
A = {3, 4, 5},
B = {3, 4, 5, 6,7}
Zadanie 1.24
Wyznacz zbiory 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐴 jeśli:
f)
A= {-5, -3, -1, 1, 3-, 5},
B = {1, 2, 3, 4, 5}