Algebry półgrupowe i pokr. konstr.

Algebry półgrupowe
pokrewne konstrukcje
Opracowane na podstawie notatek z wykładu
w semetrze letnim roku 2008r.
(niekompletne - brak ostatnich dwóch wykładów)
08.05.2008r.
Definicja 1 (Półgrupa, monoid) Półgrupą nazywamy zbiór z działaniem łącznym. Jeśli istnieje element jednostkowy, to nazywamy ją monoidem.
Przykład 1 (Jedynki macierzowe) Określmy zbiór En = ˜eij S i, j = 1, 2, . . . , n ⊂
Mn (Q). Dodajmy do niego sztuczne zero: θ. Określamy mnożenie:
¢̈
¨
¨
¨eil , dla j = k,
eij ë ekl = ¦
¨
¨θ,
¨
dla j x k.
¤̈
Taka struktura jest półgrupą jedynek macierzowych z zerem.
Definicja 2 (Dołączanie zera lub jedynki) Niech S – półgrupa. Możemy sztucznie dodać jedynkę lub zero w następujący sposób:
S 1 = S 8 1, ∀s>S 1s = s1 = s,
S 0 = S 8 0, ∀s>S 0s = s0 = 0,
Definicja 3 (Algebra półgrupowa) Niech K – ciało, S – półgrupa. Wówczas
K[S] = œQ γi si , γi > K, si > S¡ .
sk.
W tym zbiorze wprowadzamy naturalne dodawanie i mnożenie będące K - rozszerzeniem mnożenia z podgrupy.
Definicja 4 (Ściągnięta algebra półgrupowa) Załóżmy, że mamy półgrupę S z zerem θ. Wówczas zbiór ˜γ ë θ, γ > K stanowi ideał obustronny w K[S].
Struktura ilorazowa K0 [S] K[S]~(θ) nazywana jest ściągniętą algebrą półgru-
pową. W ściągniętej algebrze półgrupowej utożsamione zostaje zero półgrupy i
zero ciała.
Przykład 2 Q0 [En ] Mn (Q).
Definicja 5 (Ideał półgrupy) Właściwy i nietrywialny podzbiór S nazywamy
ideałem lewostronnym, jeżeli IS b I, analogicznie prawostronnym i obustronnym.
Definicja 6 (Iloraz Reesa) Niech I – ideał w S. Wówczas przez S~I określamy zbiór (S I) 8 ˜θ z działaniem:
¢̈
¨
¨
¨ab,
aëb=¦
¨
¨
¨θ,
¤̈
dla ab >~ I,
dla ab > I.
1
Definicja 7 (Kongruencja) S – półgrupa. Wówczas relacja równoważności
ρ > S S jest kongruencją, jeżeli dla każdego s > S mamy:
(a, b) > ρ (ac, bc) > ρ, (ca, cb) > ρ.
Twierdzenie 1 Jeżeli ρ – kongruencja na S, wówczas możemy skonstruować
półgrupę ilorazową S~ρ klas abstrakcji z naturalnym składaniem. Mamy naturalny homomorfizm φ S
S~ρ. Jądro dowolnego homomorfizmu półgrup jest
kongruencją na dziedzinie, zachodzi też twierdzenie o izomorfizmie.
Twierdzenie 2 Ideał podgrupy wyznacza kongruecję na S:
˜(a, b) S a, b > I 8 ˜(a, a) S a > S I b S S.
Twierdzenie 3 Niech I – ideał półgrupy S. Jeżeli K[I] ma jedynkę, wtedy
K[S] K[I] ` K[S~I]. W ogólnym przypadku K[S] K[I] ` K0 [S~M ].
Twierdzenie 4 S – półgrupa z zerem θ. Wówczas K[S] K ` K0 [S~(θ)].
Twierdzenie 5 (Odpowiednik Cayleya) Niech X – zbiór niepusty oraz TX =
˜f X
X z działaniem składania. Wówczas jeżeli dla pewnej podgrupy S,
X = S 1 , wówczas S wkłada się w TX .
Twierdzenie 6 G – grupa. Wówczas istnieje bijekcja między kongruencjami
na G a podgrupami normalnymi G.
Twierdzenie 7 Niech ρ – kongruencja na półgrupie S. Definiujemy następujący zbiór: I(ρ) = linK ˜s − t, (s, t) > ρ. Wówczas:
• I(ρ) R K[S] oraz K[S]~I(ρ) K[S~ρ],
• Jeśli J R K[S] to ρJ = ˜(s, t) > S S s − t > J jest kongruencją na S
oraz S~ρJ 0 K[S]~J,
• Jeśli ρ – kongruencja na S, to ρ = ˜(s, t) > S S s − t > J(ρ).
Innymi słowy dostajemy przekształcenie τ
I(τ ) będące włożeniem kraty kon-
gruencji na S w kratę ideałów na K[S].
Przykład 3 Przykłady algebr półgrupowych i ich uogólnień:
2
• R = K` x1 , x2 , . . . , xn e – algebra wolna rangi n, I = ˜w−u, w, u > `x1 , x2 , . . . , xn e.
Wtedy R~I K[S], gdzie
S=` x1 ,x2 ,...,xn e
~w=u .
• K =` x1 ,x2 e ~x1 x2 =x2 x1 – algebra wielomianów dwóch zmiennych, izomorficzna z K[S], gdzie S – monoid izomorficzny z N N.
•
K` x1 ,x2 ,...,xn e
~xi xi+1 xi = xi+1 xi xi+1 , i=1,2,...,n – monoid warkoczy.
xi xj =xj xi ,
Si−jSA1
Przykład 4 (Algebra incydencji) Mamy zbiór X częściowo uporządkowany
przez relację ′ B′ . Niech:
I(X) = ˜f X X
K f (x, y) = 0 dla x à y.
Na zbiorze tym wprowadzamy dodawanie po wartościach, mnożenie:
(f ë g)(x, y) = Q f (x, z) ë g(z, y),
xhzhy
oraz mnożenie przez skalar:
(γ ë f )(x, y) = γf (x, y).
W ten sposób dostajemy algebrę łączą zwaną algebrą incydencji.
Definicja 8 (Produkt skrzyżowany) Niech G - grupa, A - algebra z 1. Wówczas określamy A ‡ G jako wolny lewostronny A - moduł o bazie ˜eg , g > G z
naturalnym dodawaniem, oraz mnożeniem zdefiniowanym jako:
reg ë seh = rσg (s)f (g, h)eg eh , gdzie,
• f GG
U (A) jest pewnym przekształceniem (niekoniecznie homomor-
fizmem),
• σG
Aut(A) – działanie G na A.
Dostajemy w ten sposób algebrę. Jeżeli f (g, h) = 1, g, h > G, wówczas nazywamy
to ’skośnym pierścieniem grupowym’. Jeśli σg = IdA , g > G, wówczas jest to
’skrzyżowany pierścień grupowy’.
Twierdzenie 8 A‡G ma element jednostkowy. Jest on postaci uëe1 dla pewnego
u > U (A). Dokonując diagonalnej zamiany baz, postaci:
˜eg , g > G ˜ug eg , g > G.
3
Można wtedy zakładać, że jedynką całego A ‡ G jest element 1 ë e1 . Wtedy A
wkłada się w A ‡ G.
Definicja 9 (Pierścień z gradacją) Niech S - półgrupa, R - pierścień (algebra) taki, że istnieją Rs b R, s > S, będące podgrupami grupy (R, +) takie, że
R+ = > Rg oraz Rs Rt b Rst . Wówczas R nazywamy pierścieniem z S - gradas>S
cją. Jeśli Rs Rt = Rst , to mówimy, że gradacja jest silna.
Przykład 5 Przykłady pierścieni z gradacją:
• A[x] ma N – gradację. Istotnie:
A[x] = A ` Ax ` Ax2 ` . . .
Łatwo też stwierdzić, że Axk Axl = Axk+l .
• Iloczyny skrzyżowane są modułami wolnymi, a więc ich grupa addytywna
to A ‡ G+ = > A ë es . Łatwo widzieć, że Aek Ael ⊂ Aekl , co daje nam S s>S
gradację na A ‡ G.
• Weźmy macierze M3 (K) = R. Rozważmy podzbiory:
’0
–
R1 = –
–0
–
”‡
0“
—
‡ 0—
—,
—
0 ‡•
’‡
–
R0 = –
–‡
–
”0
‡
0
0
‡
‡“
—
‡—
—.
—
0•
R+ = R0 ` R1 , co więcej R02 = R0 , R12 b R0 , R1 R0 b R1 , R0 R1 b R1 . Mamy więc Z2 – gradację na M3 (K). Zauważmy, że pierścień ten nie jest
iloczynem skrzyżowanym, ponieważ w przeciwieństwie do niego, składowe
rozbicia mają różne wymiary.
Analogiczne na Mn (K) można wprowadzić Zn – gradację poprzez rozbicie na
macierze (przykład na n = 5):
’‡ 0
–
–0 ‡
–
–
–
–0 0
–
–
–0 0
–
–
”0 0
0
0
0
0
‡
0
0
‡
0
0
0“ ’0 ‡
— –
–
0—
— –0 0
— –
— –
,–
0—
— –0 0
— –
–
0—
— –0 0
— –
‡• ”‡ 0
0
0
‡
0
0
‡
0
0
0
0
0“ ’0 0
— –
–
0—
— –0 0
— –
— –
,–
0—
— –0 0
— –
–
‡—
— –‡ 0
— –
0• ”0 ‡
4
‡
0
0
‡
0
0
0
0
0
0
0“ ’0 0
— –
–
0—
— –0 0
— –
— –
,–
‡—
— –‡ 0
— –
–
0—
— –0 ‡
— –
0• ”0 0
0
‡
0
0
0
0
0
0
‡
0
0“ ’0 0
— –
–
‡—
— –‡ 0
— –
— –
,–
0—
— –0 ‡
— –
–
0—
— –0 0
— –
0• ”0 0
0
0
0
0
0
0
‡
0
0
‡
‡“
—
0—
—
—
—
.
0—
—
—
0—
—
—
0•
Twierdzenie 9 R - algebra z 1 i G - gradacją, że ∀g Rg 9 U (R) x g. Wtedy
R R1 ‡ G dla pewnych f, σ.
Struktura półgrup skończonych
Definicja 10 (Alternatywa relacji) Niech ρ, σ - relacje równoważności na S.
Przez ρ - σ rozumiemy najmniejszą relację równoważności zawierającą obydwa
składniki. W istocie:
(a, b) > ρ - σ §˜x1 ,x2 ,...,xn >S (a, x1 ) > ρ, (x1 , x2 ) > σ, . . . , (xn , b) > . . .
Jeśli ρ, σ – kongruencje na S, wówczas ρ - σ też jest kongruencją.
Definicja 11 (Złożenie kongruencji) ρ X σ = ˜(a, b) > SS §c>S (a, c) > ρ, (c, b) > σ.
Twierdzenie 10 Jeżeli relacje są przemienne: σ X ρ = ρ X σ, to σ X ρ = σ - ρ.
Definicja 12 (Ideały główne półgrupy) Niech S – półgrupa. Wówczas przez
aS 1 rozumiemy prawostronny ideał główny generowany przez a, składający się z
elementów postaci: a(S 8 ˜1). Przez S 1 aS 1 rozumiemy ideał główny dwustron-
ny, postaci ˜a 8 Sa 8 aS 8 SaS.
Definicja 13 (Klasy Greena) W każdej półgrupie S można wyróżnić następujące klasy:
• a, b > R aS 1 = bS 1 right ,
• a, b > L S 1 a = S 1 b left ,
• a, b > J S 1 aS 1 = S 1 bS 1 ,
• a, b > H aRb, aLb, H = R 9 L,
• a, b > D, D = R - L.
Twierdzenie 11 D = R X L, ponieważ R, L są przemienne.
Twierdzenie 12 Jeżeli algebra A z jedynka zawiera elementy f, g, że f g =
1, gf x 1, to jest ona nieskończenie wymiarowa. Co więcej, zawiera ona wówczas nieskończony, przeliczalny podzbiór jedynek macierzowych oraz podalgebrę
izomorficzną z Mª (K)
5
Twierdzenie 13 R, L są odpowiednio lewostronną i prawostronną kongruencją
na S.
Twierdzenie 14 S - skończona półgrupa. Wtedy D = J .
Definicja 14 (Klasy relacji Greena) Niech S – półgrupa, a > S. Wówczas
klasy relacji R, L, . . . nazywamy odpowiednio: Ra , La , . . ..
Definicja 15 S nazywamy półgrupą prostą wtedy i tylko wtedy, gdy S jest jedynym ideałem w S. S nazywamy półgrupą 0 - prostą wtedy i tylko wtedy, gdy
każdy ideał w S to S lub (θ) oraz S 2 x 0.
Definicja 16 Niech G – grupa, X, Y - niepuste zbiory, P – macierz Y X o
miejscach z G (niekoniecznie skończona). Rozważamy zbiór G X Y z mnożeniem:
(g, x, y) ë (g ′ , x′ , y ′ ) = (gpyx′ g ′ , x, y ′ ).
Jest to półgrupa typu macierzowego o macierzy kanapkowej P. Oznaczamy ją
jako M (G, X, Y, P ). Jeżeli do G dołączyć zero, to można rozważać analogiczną
strukturę przy założeniu utożsamienia wszystkich trójek (0, x, y), M 0 (G0 , X, Y, P ).
Przykład 6 Półgrupa jedynek macierzowych En jest izomorficzna z półgrupą
typu macierzowego postaci: M 0 (˜10 , ˜1, 2, . . . , n, ˜1, 2, . . . , n, Id).
Twierdzenie 15 Załóżmy, że macierz kanapkowa P nie ma zerowych wierszy
ani kolumn. Wówczas:
• M 0 (G0 , X, Y, P ) jest 0 - prosta,
• M (G, X, Y, P ) jest prosta.
Twierdzenie 16 Jeżeli macierz kanapkowa ma zerowy wiersz lub kolumnę,
wówczas zbiór I = ˜(g, x, y) x > X, , g > G jest prawostronnym ideałem w
półgrupie typu macierzowego.
Definicja 17 (Egg - box pattern) Podgrupę typu macierzowego można przedstawić jako rodzinę rozłacznych zbiorów:
6
Do każdego boxu wrzucamy elementy postaci (g, x, y), g > G. A więc liczba
kolumn równa jest mocy zbioru Y, zaś liczba wierszy – mocy zbioru X. Element
zerowy ustawiamy w osobnej kategorii. Jeżeli rozważę dowolny idempotent półgrupy S, to U (eSe) tworzy podgrupę maksymalna S, zawierającą element e. Co
więcej, różne boxy mają różne idempotenty, można stąd wywnioskować, że podgrupy maksymalne w półgrupach typu macierzowego to box, które są izomorficzne
z G oraz box zera.
Twierdzenie 17 Nietrywialna półgrupa S jest 0 - prosta wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego niezerowego a > S mamy SaS = S.
Definicja 18 Niech I będzie ideałem półgrupy S. Mówimy, że I jest 0 - minimalnym ideałem S, jeśli jest minimalny w zbiorze niezerowych ideałów S.
Twierdzenie 18 Jeśli ideał I jest 0 - minimalny w S, to M jest półgrupą 0
- prostą lub M 2 = 0. Wynika stąd, że jeśli S ma ideał minimalny, to jest on
jedyny. Nazywamy go jądrem półgrupy.
Twierdzenie 19 Niech I, J będą ideałami S. Załóżmy, że I b L b J dla pewnego
ideału L w S, to L = I lub L = J. Wtedy J~I jest 0 - prosta lub ma zerowe
mnożenie.
Twierdzenie 20 Niech a > S. Wówczas mamy dwie możliwości (albo - albo):
• Ja jest jądrem podgrupy S,
7
• I(a) = ˜b > S S 1 bS 1 ø S 1 aS 1  x 0 jest ideałem w S, zaś S 1 aS 1 ~I(a) jest 0
- prosta lub ma zerowe mnożenie (iloraz taki nazywamy faktorem głównym
S wyznaczonym przez a).
Definicja 19 (Idempotent prymitywny) W zbiorze wszystkich idempotentów podgrupy S można wprowadzić relację częściowego porządku: e B f f e =
e, ef = e. Idempotent x nazywamy prymitywnym, jeśli nie istnieje w S idempotent y taki, że y B x.
Definicja 20 S nazywa się całkowicie 0 - prosta, jeśli:
• S jest 0 - prosta,
• S ma prymitywny idempotent
Twierdzenie 21 Jeśli S jest skończona oraz 0 - prosta, to jest całkowicie 0 prosta.
Twierdzenie 22 (Rees) Jeśli S jest półgrupą całkowicie 0 - prostą, to jest
ona izomorficzna z pewną półgrupą typu macierzowego (z zerami) nad pewną
grupą G oraz macierzą kanapkową P z niezerowymi wierszami i kolumnami
(przedstawienie to jest jednoznaczne). Potrzebne fakty:
• Niech S - skończona i 0 - prosta. Niech aRb, tzn. istnieją s, t > S, że as =
b, bt = a. Wówczas przekształcenia fs La
Lb , gt Lb
La polegające
na domnażaniu przez s, t z prawej strony to wzajemnie odwrotne bijekcje
zachowujące R - klasy.
• Jeśli mamy H - klasę X w S, to albo X 2 9 X = g, albo H 2 = H i H jest
grupą.
• Dla każdych niezerowych a, b > S mamy SHa S = SHb S.
• Niech e = e2 będzie prymitywnym idempotentem. Nil półgrupa skończona
jest nilpotentna, a więc nie może być 0 - prosta o ile nie jest trywialna.
Wtedy Re = eS ˜0.
• Jeśli a x 0, a > S, to Ra = aS ˜0.
• Jeśli a, b > S ˜0 to Ra 9 Rb x g oraz ab = 0 - ab > Ra 9 Rb .
8
Twierdzenie 23 (Hunn, Ponizovski) Niech S będzie półgrupą skończoną. Wówczas następujące warunki są równoważne:
• K[S] jest półprosta,
• S ma łańcuch ideałów S1 ⊂ S2 ⊂ . . . ⊂ Sn = S, że S1 oraz każdy z ilorazów Si ~Si−1 jest półgrupą całkowicie 0 - prostą lub prostą – izomorficzną
z M (H, n, k; P ), gdzie n = k oraz K[H] jest półprosta. Macierz P jest
odwracalna.
Definicja 21 (Algebra Munna) Określamy tak algebrę typu macierzowego postaci: M (K[G], n, k; P ).
Definicja 22 (Półgrupa regularna w sensie von - Neumanna) W S mamy regularność jeżeli ∀s>S §t>S sts = s.
Twierdzenie 24 Jeżeli mamy pierścień z 1 i dla każdego elementu a tego pierścienia istnieje idempotent e, że aR1 = eR R1 a = Re, to jest to równoważne
regularności.
Twierdzenie 25 Półgrupy typu macierzowego (z zerami) takie, że P nie ma
zerowych wierszy ani kolumn są regularne.
Twierdzenie 26 Niech S będzie 0 - prosta, skończona. Wtedy J(K[S]) = 0 J(K[G]) = 0, n = k, P > Gl(K[G]).
Struktura i reprezentacje algebr skończenie wymiarowych –
niekoniecznie półprostych
Definicja 23 (Moduł nierozkładalny) Niech M - niezerowy moduł lewostronny nad A. Wówczas M jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy mamy implikację:
M = M1 ` M2 M1 = 0 - M2 = 0.
Definicja 24 (Radykał Jacobsona) Niech A - skończenie wymiarowa algebra z 1 nad K. Wówczas następujące warunki definiują ten sam ideał dwustronny
A, zwany radykałem Jacobsona:
9
• Przecięcie wszystkich prawostronnych ideałów maksymalnych w A,
• Przecięcie wszystkich dwustronnych ideałów maksymalnych w A,
• Największy ideał nilpotentny,
• Dla każdego a > A mamy: a > J(A) 1 + ax > U (A), ∀x>A .
Twierdzenie 27 (Lemat Schura) Niech M - moduł prosty nad A. Wówczas
EndA (M ) - algebra z dzieleniem.
Definicja 25 (Algebra lokalna) Algebra A jest lokalna, jeżeli A~J(A) jest z
dzieleniem.
Twierdzenie 28 Równoważne są warunki:
• A jest lokalna,
• A U (A) = J(A),
• A U (A) – zamknięty względem dodawania.
Przykład 7 Algebry lokalne to choćby:
• A = K[[x]]. Można pokazać, że J(K[[x]]) = x ë K[[x]]. Iloraz jest zatem
izomorficzny z K.
• Twierdzenie Burnside’a. Niech K - ciało charakterystyki p, G – skończona
p grupa. Wówczas J(K[G]) = ω(K[G]). Iloraz jest lokalny.
Twierdzenie 29 Niech M - A moduł (prawostronny) taki, że EndA (M ) jest
lokalna. Wówczas M jest modułem nierozkładalnym.
Twierdzenie 30 (Lemat Fittinga) Niech M - A moduł, skończenie generowany (A - sk. wymiarowa z 1). Niech φ > EndA (M ). Wtedy M = P ` Q dla
pewnych podmodułów P, Q modułu M takich, że:
• Moduły te są niezmiennicze na φ, tzn. φ(Q) b Q, φ(P ) b P ,
• φSP – automorfizm P, φSQ – nilpotentny endomorfizm Q.
Pozostaje to prawdą na modułów jednocześnie artinowskich i noetherowskich nad
dowolną algebrą A.
10
Twierdzenie 31 (Krull - Schmidt) Niech A - algebra skończenie wymiarom
wa z 1. Niech M - skończenie generowany moduł na A. Wtedy M = > Mi , dla
i=1
pewnych nierozkładalnych podmodułów Mi modułu M. Rozkład ten jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników i izomorfizmu.
Twierdzenie 32 Załóżmy, że mamy ciąg dokładny modułów:
0
N
φ
M
ψ
P
0.
Równoważne są warunki:
• Istnieje χ P
M taki, że ψχ = IdP ,
• Istnieje θ M
N taki, że θφ = IdN .
Wówczas M = Im(φ) ` ker(ψ) = Im(φ) ` ker(θ) = N ` P.
Twierdzenie 33 (Lemat Nakayamy) Niech M - skończenie generowany prawostronny A - moduł. Niech I - ideał w A zawarty w radykale. Jeśli MI = M,
to M = 0.
Definicja 26 (Radykał modułu) Radykał rad(M) A - modułu M to przecięcie wszystkich maksymalnych podmodułów M.
Twierdzenie 34 Radykał modułów posiada następujące własności:
• m > rad(M ) f (m) = 0 dla każdego f - homomorfizmu w moduł prosty
S,
• rad(M ` N ) = rad(M ) ` rad(N ),
• f M
N - homomorfizm A - modułów. Wtedy f (rad(M )) b rad(N ),
• rad(M ) = M ë J(A).
Twierdzenie 35 M - moduł półprosty rad(M) = 0.
Definicja 27 (Moduł projektywny) Rozważamy A - moduł M. M jest projektywny jeśli jest składnikiem prostym modułu wolnego.
Twierdzenie 36 P jest projektywny wtedy i tylko wtedy jeśli dla dowolnych
modułów N, M, homomorfizmu φ P
θP
M oraz epimorfizmu ψ N
N czyniące poniższy diagram przemiennym:
11
M istnieje
P
N
ψ
Ð
M
Ð
0
Twierdzenie 37 A - algebra skończenie wymiarowa. Równoważne są warunki:
• A jest półprosta,
• kazdy A - moduł skończenie wymiarowy jest projektywny.
Twierdzenie 38 Zauważmy, że jeżeli A jest algebrą, zaś e - idempotentem w
A, wówczas eA jest modułem projektywnym. W takiej sytuacji jeśli
eA = Q1 ` Q2 ` . . . ` Qm ,
dla pewnych prawostronnych A - modułów Qi , to istnieją idempotenty e1 , e2 , . . . , em
w A takie, że:
• e1 + e2 + . . . + em = e,
• ei ej = δi,j ë ei ,
• eei = ei e = ei ,
• Qi = ei A
Twierdzenie 39 Jeżeli P jest prawostronnym A - modułem i składnikiem prostym A - modułu A (prawostr.), to P = eA dla pewnego idempotenta e.
Twierdzenie 40 Jeżeli A - półprosta, to dla idempotentów e, f mamy równoważność:
eA f A e, f – prymitywne idempotentny w A, ten sam blok prosty.
Twierdzenie 41 Niech P - składnik prosty A - modułu A. Niech M - dowolny
A - moduł prawostronny. Wtedy:
homA (P, M ) = ˜γx Sp x > M ,
gdzie γx AA
M jest dana wzorem: γx (a) = xa.
12
Twierdzenie 42 Niech e, f – idempotenty algebry A. Wtedy homA (eA, f A) f Ae - i jest to izomorfizm przestrzeni liniowych nad K. Jeśli e = f wówczas
mamy izomorfizm algebr homA (eA, eA) eAe.
Twierdzenie 43 Niech e – idempotent w A. Niech M - moduł prawostronny
nad A. Wówczas równoważne sa warunki:
• homA (eA, M ) = 0,
• HeA x 0,
• He x 0.
Twierdzenie 44 Załóżmy, że e, f są prymitywnymi idempotentami w A takimi,
że eA ~ f A jako A - moduły. Wtedy równoważne są warunki:
• hom(eA, f A) x 0,
• f A ë J(A) ë eA x 0,
• f J(A)e x 0.
Twierdzenie 45 Jeśli e jest idempotentem prymitywnym w A, to (e) = e +
J(A) > A~J(A) = (A) jest idempotentem w (A).
Twierdzenie 46 Jeśli e, f – idempotenty prymitywne w A, to eA f A e(A) f A jako A - moduły.
Definicja 28 (Kołczan algebry A) Określamy graf Γ(A) = (V, E), V = ˜1, 2, . . . , n,
gdzie e1 A, e2 A, . . . , en A – wszystkie parami nieizomorficzne moduły postaci eA,
e – prymitywny idempotent w A. E = ˜(i, j) > V 2 ei J(A)ej x 0.
Twierdzenie 47 Konstrukcja kołczanu nie zależy od wyboru układu idempotentów. Jeśli A B, to Γ(A) Γ(B).
Twierdzenie 48 (Morita) Niech A, B – algebry z 1. Wówczas izomorfizm
kategorii A − mod, B − mod jest równoważny z istnieniem takiego n i takiego
idempotenta e w Mn (A), że Mn (A)eMn (A) = Mn (A) oraz eMn (A)e B.
13
Definicja 29 (Algebra bazowa) Niech A będzie algebrą skończenie wymiarową nad ciałem K, posiadającą 1. Załóżmy, że AA można rozłożyć na sumę prostą
modułów nierozkładalnych, a więc AA = P1 ` P2 ` . . . Pn . Niech ˜i1 , i2 , . . . , ir 
będzie takim podzbiorem ˜1, 2, . . . , n, że moduły Pi1 , Pi2 , . . . , Pin są wszystkimi
parami nieizomorficznymi modułami tego rozkładu. Wówczas Pij = eij A, gdzie
r
eij to idempotent. Algebrę bazową określamy jako eAe, gdzie e = P eij . Zauważj=1
my, że algebra bazowa podzielona przez swój radykał daje r kopii ciała K.
Twierdzenie 49 AA ma składnik prosty P taki, że:
• AP = A,
• B = EndA (P ) jest algebrą bazową.
Przykład 8 Przykłady kołczanów:
• A - algebra półprosta. Wówczas: SV S - liczba bloków prostych w A. E = g
(algebra półprosta ma zerowy radykał).
• Γ(A) = (V, E), V = ˜e. Algebra prymarna, czyli A~J(A) Mn (K).
• A - przemienna algebra. Wówczas wszystkie strzałki są pętlami. Istotnie
ei J(A)ej = ei ej J(A). Gdy i x j to nie jest prawda. A więc strzałka nie
może opuścić wierzchołka.
Twierdzenie 50 Zachodzą następujące dwie własności:
• A = B ` C Γ(A) = Γ(B) < Γ(C), B, C R A.
• Γ(A) = Γ1 < Γ2 dla pewnych podgrafów w Γ, to A = B ` C dla ideałów B, C
w A takich, że Γ(B) = Γ1 , Γ(C) = Γ2 .
Twierdzenie 51 Niech B - algebra bazowa algebry A. Wtedy:
• Γ(B) = Γ(A),
• Istnieje izomorfizm τ I(A)
I(B) krat ideałów dwustronnych algebr A,
B taki, że τ (J(A)) = J(B), τ (I1 I2 ) = τ (I1 )τ (I2 ).
Definicja 30 (Współczynniki strukturalne) Niech R - algebra skończenie
wymiarowa. Ustalam bazę R nad ciałem K: ˜r1 , r2 , . . . , rn . Wtedy:
n
(k)
ri rj = Q Λij rk .
k=1
14
n
(k)
(l)
Definicja 31 (Macierz strukturalna) Niech γij = P Λij Λlk . Wtedy L =
(γij ) > Mn (K) nazywamy macierzą strukturalną.
k,l=1
Twierdzenie 52 Załóżmy, że mamy n - elementową półgrupę, oraz ciało K o
n
charakterystyce zerowej lub większej od n. Wówczas niech a = P αi ë ri , αi > K.
i=1
Wtedy a > J(K[S]) L ë a = 0. Stąd algebra grupowa jest półprosta wtedy i
tylko wtedy, gdy L jest odwracalna.
Definicja 32 (Algebra skończonego typu reprezentacyjnego) Jest to taka algebra, że istnieje jedynie skończenie wiele modułów nierozkładalnych, skończenie wymiarowych, parami nieizomorficznych (prawostronnych lub równoważnie lewostronnych).
Twierdzenie 53 (Bautista, Reuter, Gabriel, Salmeron) A - algebra skończonego typu reprezentacyjnego. Wtedy istnieje półgrupa z zerem zawarta w A‡ ,
że A K0 [S].
Twierdzenie 54 Jeżeli A jest przemienna i ma skończony typ reprezentacyjny,
to
A K[x]~(xi1 ) ` K[x]~(xi2 ) ` . . . ` K[x]~(xin ).
Definicja 33 (Krata modularna) Krata jest modularna jeżeli mając elementy N b Q mamy:
N + (P 9 Q) = (N + P ) 9 Q.
Twierdzenie 55 Krata S(MA ) podmodułów danego A - modułu M jest modularna.
Twierdzenie 56 Następujące warunki są równoważne dla kraty S(M ):
• N 9 (P + Q) = (N 9 P ) + (N 9 Q),
• N + (P 9 Q) = (N + P ) 9 (N + Q),
• (N 9 P ) + (P 9 Q) + (Q 9 N ) = (N + P ) 9 (N + Q) 9 (P + Q).
Twierdzenie 57 Twierdzenia dotyczące krat podmodułów danej algebry można stosować do kraty ideałów tej algebry. Wystarczy zauwazyć, że S(AAaAo ) =
I(A).
15
Twierdzenie 58 Jeśli A jest algebrą skończonego typu reprezentacyjnego, to
krata I(A) jest kratą rozdzielczą.
Twierdzenie 59 Jeśli A jest skończonego typu reprezentacyjnego, to krata I(A)
jest skończona.
Definicja 34 (Bimoduł) Niech M - prawostronny i lewostronny moduł nad
A oraz (bm)a = b(ma) dla każdych a, b > A, m > M . Wtedy M nazywamy A bimodułem.
Twierdzenie 60 Istnieją homomorfizmy krat:
ρ I(A)
I(A~J(A)),
σ I(A)
S(A J(A)A ),
które są „na” oraz jeśli σ(I) = σ(J), ρ(I) = ρ(J), to I = J.
Twierdzenie 61 Jeśli I(A) jest rozdzielcza, to S(A J(A)A ) też jest rozdzielcza.
Definicja 35 (Algebra grafu) Niech K = K. Bierzemy przemienną algebrę
n
n
półprostą A nad K. Wówczas A = > Ak > ek A, gdzie Ak K. Niech Γ =
(V, E) pewien ustalony graf, przy czym V = ˜e1 , e2 , . . . , en . Niech N będzie K
k=1
k=1
- przestrzenią o bazie wij (i, j) > E. Robię z niej algebrę przez mnożenie:
wij ë wlk = 0. Buduję algebrę B = A ` B jako K - przestrzeń. Definiuję mnożenie
jako:
¢̈
¨
kxi
¨
¨0,
ek wij = ¦
,
¨
¨
¨wij , k = i
¤̈
¢̈
¨
kxi
¨
¨0,
wij ek = ¦
¨
¨
¨wij , k = i
¤̈
To daje algebrę łączną.
Twierdzenie 62 BΓ jest algebrą łączną z 1. Jej radykał to N, B~J(B) A.
Niech Pi będą wszystkimi nierozkładalnymi modułami nad B postaci eB. Wyrażają się one jako Pi = ei K + > wij K. Ponadto Γ = Γ(B). Krata I(B) jest
j
rozdzielcza. Algebrą bazową dla B jest B.
16
Twierdzenie 63 Jeśli M = > Nj , gdzie Nj są modułami prostymi nad R, to
j>J
krata S(M) jest rozdzielcza wtedy i tylko wtedy, gdy Nj są parami różne.
Twierdzenie 64 Niech A - przemienna K - algebra skończenie wymiarowa.
Wtedy równoważne są warunki:
• A jest skończonego typu reprezentacyjnego,
• A = A1 `A2 `. . .`An takich, że Ai ~J(Ai ) Ki - ciało, dimKi J(Ai )~J(Ai )2 B 1,
• A K1 [x]~(xk1 ) ` K2 [x]~(xk2 ) ` . . . ` Kn [x]~(xkn ), gdzie Ki - ciała.
Twierdzenie 65 (Higman) Niech K - ciało, G - grupa skończona. Wówczas
K[G] jest skończonego typu reprezentacyjnego wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka ciała wynosi 0 lub (jeżeli wynosi p) G - cykliczna p - grupa.
17