konspekt logarytmy cz. i

Logarytmy
Logarytm wygląda następująco:
liczba logarytmowana
log ௔ podstawa logarytmu
Definicja logarytmu
Logarytmem liczby przy podstawie nazywamy taką liczbę , że podniesione do potęgi
daje nam liczbę .
Zatem jeżeli: log ௔ to ௖ .
Jak zapisujemy
log ௔ Jak czytamy
Jak rozumiemy
Logarytm liczby b przy
Do jakiej potęgi podnieść liczbę
podstawie a
a żeby otrzymać liczbę b
Logarytm istnieje tylko wówczas gdy spełnione są trzy warunki, które często nazywamy
założeniami lub dziedziną logarytmu:
podstawa logarytmu musi być zawsze liczbą dodatnią, czyli: 0,
podstawa jest różna od 1, zatem: 1
liczba logarytmowana musi być dodatnia, czyli: 0.
Jak liczymy logarytmy?
Przypuśćmy, że musimy obliczyć log ௔ . Wynikiem będzie jakaś liczba, którą oznaczmy
sobie przez . Możemy zatem zapisać, że:
log ௔ Z definicji logarytmu powyższe równanie jest równe następującemu:
௫ Wynika to z tego, że napis log ௔ czytamy:
„Jeżeli liczbę podniesiemy do potęgi to dostaniemy liczbę ”.
Zobaczmy jak to działa na prostych przykładach:
Przykłady
1) Oblicz log ଶ 4.
Rozwiązanie:
Szukamy takiej liczby , że
Oczywiście2ଶ 4, więc 2.
2௫ 4
Zatem log ଶ 4 = 2.
2) Oblicz log ଶ 8.
Rozwiązanie:
Szukamy takiej liczby , że
2௫ 8
Rozwiązaniem powyższego równania jest 3.
Czyli:
log ଶ 8 3
Równoważnie mogliśmy szukać liczby log ଶ 8 rozwiązując równanie:
log ଶ 8 Oczywiście jest ono równoważne równaniu:
2௫ 8
A dla tego już odgadliśmy, że rozwiązaniem jest 3.
Jak łatwo zapamiętać równoważność tych równań?
metoda kółka
log ଶ 8 2௫ 8
Zaczynamy od dolnej dwójki, następnie idziemy do , a na koniec do dużej 8.
Otrzymujemy w ten sposób ciąg liczb: 2, , 8, które następnie zapisujemy w
postaci potęgi:
2௫ 8
3) Oblicz log భ 9.
య
Rozwiązanie:
Szukamy takiej liczby , że
log ଵ 9 ଷ
czyli, że:
1 ௫
9
3
Rozwiązaniem powyższego równania jest 2, bo:
1 ିଶ
3ଶ 9
3
Czyli:
log ଵ 9 2
ଷ
4) Oblicz logଵ଺ 2.
Rozwiązanie:
Szukamy takiej liczby , że
logଵ଺ 2 czyli, że:
16௫ 2
Rozwiązaniem powyższego równania jest ସ, bo:
ଵ
ଵ
16ସ √16 2
ర
Czyli:
logଵ଺ 2 1
4