Def. 1. Zbiór Z ⊂ R

***
Elementy teorii produkcji
***
I. Przestrzenie produkcyjne i funkcje produkcji
I.1. Przestrzenie produkcyjne i przeksztaªcenia
technologiczne.
Zaªo»enie: w gospodarce wyst¦puje n ró»nych
towarów ( w zale»no±ci od przeznaczenia s¡ to
nakªady lub wyniki w ró»nych procesach produkcji.
Proces produkcji opisujemy za pomoc¡ nieujemnego wektora z = (x, y), zªo»onego z nwymiarowego wektora nakªadów x = (x1, . . . , xn)
i n-wymiarowego wektora wyników y =
(y1, . . . , yn)
Zbiór Z ⊂ R2n
+ wszystkich technologicznie dopuszczalnych procesów produkcji z
norm¡ k x k= max{x1, . . . , xn, y1, . . . , yn} nazywamy przestrzeni¡ p-produkcyjn¡.
Def. 1.
Je±li z = (x, y) ∈ Z oznacza technologicznie dopuszczalny proces produkcji, to wektor q = y − x
nazywamy wektorem produkcji czystej w procesie produkcji z
Przestrzeni¡ c-produkcyjn¡ nazywamy
zbiór wszystkich wektorów produkcji czystej C =
{q : q = y − x, (x, y) ∈ Z} z norm¡ k q k.
Def. 2.
Przeksztaªceniem technologicznym
nazywamy odwzorowanie, które ka»demu wektorowi nakªadów x przyporz¡dkowuje zbiór
α(x) = {y : (x, y) ∈ Z}, czyli wszystkie wektory wyników, jakie mo»na otrzyma¢ z wektora
x.
Def.
3.
Dopuszczalny proces produkcji
z = (x, y) nazywamy technologicznie efektywnym, je±li nie istnieje inny technologicznie dopuszczalny proces produkcji (x, y0) ∈ Z taki, »e
y0 > y i y0 6= y.
Def.
4.
Przeksztaªceniem technologicznie
efektywnym nazywamy odwzorowanie, które
ka»demu wektorowi nakªadów x > 0 przyporz¡dkowuje zbiór αE (x) = {y : (x, y) ∈ Z}, wszystkich wektorów y, tworz¡cych z wektorem x procesy technologicznie efektywne.
Def.
5.
I.2. Funkcja produkcji.
Wektorow¡ funkcj¡ produkcji nazywamy funkcj¦ f : Rn+ → Rn+, która ka»demu
wektorowi nakªadów przyporz¡dkowuje dokªadnie jeden taki wektor wyników y = f (x), »e para
(x, y) tworzy proces technologicznie efektywny.
Def. 6.
Skalarn¡ funkcj¡ produkcji nazywamy
funkcj¦ f : Rn+ → R+, która ka»demu wektorowi nakªadów przyporz¡dkowuje maksymaln¡
wielko±¢ produkcji danego produktu y = f (x)
mo»liw¡ do uzyskania z wektora x.
Def. 7.
Standardowe zaªo»enia o skalarnej funkcji
produkcji
1. Funkcja f : Rn+ → R+ jest ci¡gªa i dwukrotnie
ró»niczkowalna na Rn+.
2. Zerowym nakªadom odpowiada zerowy wynik
produkcji: f (0, . . . , 0) = 0.
3. Funkcja f jest rosn¡ca na intRn+.
4. Funkcja f jest wkl¦sªa na intRn+.
5. Funkcja f jest dodatnio jednorodna stopnia
θ > 0.
Je»eli funkcja produkcji f : Rk+ → R+
speªnia warunki (1-4) i jest dodatnio jednorodna
stopnia 1, to speªnia warunek póªaddytywno±ci,
tzn:
Tw. 1.
∀x1, x2 ∈ Rk+ f (x1 + x2) > f (x1) + f (x2).
Podstawowe charakterystyki skalarnej funkcji
produkcji
Kra«cow¡ efektywno±ci¡ i-tego czynnika nazywamy pochodn¡ cz¡stkow¡ ∂f∂x(xi ) .
Def. 8.
Elastyczno±ci¡ produkcji wzgl¦dem itego czynnika nazywamy wyra»enie
Def. 9.
xi
∂f (x)
f
.
·
εi (x) =
∂xi
f (x)
Elastyczno±ci¡ produkcji wzgl¦dem
skali nakªadów nazywamy wyra»enie
Def. 10.
∂f (x)
λ
f
ελ(x) = lim
·
.
λ→1 ∂λ
f (λx)
Je»eli funkcja produkcji f : Rk+ → R+
jest dodatnio jednorodna stopnia θ > 0, to
elastyczno±¢ produkcji wzgl¦dem skali nakªadów
jest równa stopniowi jednorodno±ci tej funkcji
produkcji.
Tw. 2.
Izokwant¡ produkcji na poziomie
y0 > 0 nazywamy zbiór G wszystkich wektorów
nakªadów x, którym odpowiada ten sam poziom
produkcji y0:
Def.
11.
G = {x ∈ Rk+ : f (x) = y}.
Kra«cow¡ stop¡ substytucji itego czynnika produkcji przez j -ty w wektorze
nakªadów x nazywamy wyra»enie
Def.
12.
∂f (x) ∂f (x)
f
σij (x) =
:
.
∂xi
∂xj
Elastyczno±ci¡ substytucji i-tego czynnika produkcji przez j -ty w wektorze nakªadów
x nazywamy wyra»enie
Def. 13.
x
f
f
ij (x) = σij (x) · i .
xj
Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy wyra»enie: u = kz , gdzie k oznacza
nakªady kapitaªu, a z nakªady pracy.
Def. 14.
Elastyczno±ci¡ kra«cowej stpy substytucji (pracy przez kapitaª) wzgl¦dem technicznego uzbrojenia pracy nazywamy wyra»enie:
Def. 15.
f
dσzk (u)
u
σ
· f
.
εu =
du
σ (u)
zk