Procesy stochastyczne 2. Martyngały — zadania do samodzielnego

Procesy stochastyczne
2. Martyngały — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 2.1 Wykaż, że
√
1. jeżeli ciąg {(Xn , Fn )}n∈N jest nieujemnym martyngałem, to ciąg {( Xn , Fn )}n∈N jest
nadmartyngałem,
2. jeżeli ciąg {(Xn , Fn )}n∈N jest martyngałem całkowalnym w p-tej potędze, to ciąg
{(|Xn |p , Fn )}n∈N , gdzie p ­ 1, jest podmartyngałem,
3. jeżeli ciąg {(Xn , Fn )}n∈N jest martyngałem, to ciąg {(Xn ∨ a, Fn )}n∈N , gdzie a ∈ R,
jest podmartyngałem.
Zad. 2.2 (J. S., Zad. 1 str. 235) Niech Z0 , Z1 , Z2 , . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie i zerowej średniej. Niech Fn = σ(Z0 , Z1 , . . . , Zn ), X0 = Z0
P
i Xn = nk=1 Zk−1 Zk . Udowodnij, że ciąg {(Xn , Fn )}n∈N∪{0} jest martyngałem.
Zad. 2.3 (K., Ex. 50.1 p. 255) Niech X1 , X2 , . . . będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jedP
nakowym rozkładzie N (0, 1), Sn = ni=1 Xi , a Fn = σ(X1 , . . . , Xn ). Wykaż, że Sn , Sn2 − n,
Sn3 − 3nSn są martyngałami względem filtracji {Fn }n∈N .
Zad. 2.4 (B. M. P., Ex. 3.1 p. 34) Niech {(Xn , Fn )}n∈N będzie nadmartyngałem, dla którego
EXn = c (c ∈ R) dla każdego n ∈ N. Udowodnij, że {(Xn , Fn )}n∈N jest martyngałem.
Zad. 2.5 (S., Ex.5.22(6) p. 221) Niech X1 , X2 , . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z funkcją tworzącą momenty M (t) = EetX1 < ∞. Niech
P
Sn = nk=1 Xk . Wykaż, że ciąg Mn = etSn (M (t))−n jest martyngałem względem filtracji
Fn = σ(S1 , . . . , Sn ).
Zad. 2.6 (S. Ex. 5.26 p. 224) Trzej gracze, posiadający odpowiednio a, b i c żetonów, grają
w następującą grę. W każdej partii gry losuje się dwóch graczy, a następnie jeden z nich,
wybrany znów losowo, daje drugiemu 1 żeton. Gra jest kontynuowana do momentu, gdy
jednemu z graczy zabraknie żetonów. Niech Xn , Yn , Zn oznaczają liczby żetonów będące
w posiadaniu każdego z graczy po n-tej partii. Pokaż, że ciąg
1
Mn = Xn Yn Zn + n(a + b + c)
3
jest martyngałem względem filtracji {Fn }n∈N , gdzie Fn = σ({X1 , Y1 , Z1 , . . . , Xn , Yn , Zn }).
Zad. 2.7 (S. Ex. 5.26(3) p. 224) Trzej gracze, posiadający odpowiednio a, b i c żetonów, grają
w następującą grę. W każdej partii gry jeden z nich, wybrany losowo, otrzymuje od graczy
będących jeszcze w grze po jednym żetonie. Niech Xn , Yn , Zn oznaczają liczby żetonów
będące w posiadaniu każdego z graczy po n-tej partii, Fn = σ({X1 , Y1 , Z1 , . . . , Xn , Yn , Zn }).
Pokaż, że ciągi
Mn = Xn Yn Zn + n(a + b + c − 2),
Vn = Xn Yn + Yn Zn + Zn Xn + 3n
są martyngałami, przy założeniu, że gra jest kontynuowana do momentu, gdy jednemu z graczy zabraknie żetonów. Pokaż, że w przypadku, gdy gra jest kontynuowana do momentu,
gdy jeden graczy zdobędzie wszystkie żetony, ciąg
2Mn
Un = Vn −
a+b+c−2
jest martyngałem.
Zad. 2.8 Niech X1 ma rozkład jednostajny na [0, 1]. Definiujemy ciąg {Xn }n∈N następująco: jeśli
X1 = x1 , . . . , Xn−1 = xn−1 , to Xn jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na [0, xn−1 ].
Wykaż, że ciąg {Xn }n∈N jest nadmartyngałem i oblicz limn→∞ EXn .