1 Elementy teorii martyngałów

1
1
ELEMENTY TEORII MARTYNGAŁÓW
Elementy teorii martyngałów
S
Ustalmy (Ω, F, P ). Niech {Fn : n ∈ N} będzie filtracją generującą F, czyli σ( n Fn ) = F i Fn−1 ⊆ Fn .
Niech dodatkowo (Xn )n będzie ciągiem zmiennych losowych na Ω.
Definicja 1.1
Jeżeli
(M1) Xn ∈ L1 (Ω, F, P )
(M2) Xn ∈ Fn
(M3) E[Xn+1 |Fn ] = Xn p. w.
To (Xn )n jest (Fn )n martyngałem.
Definicja 1.2
Funkcję τ : Ω → N ∪ {∞} taką, że dla każdego k ∈ N {τ = k} ∈ Fk nazywamy czasem zatrzymania.
Definicja 1.3
Ciąg (Hn )n taki, że Hn ∈ Fn−1 nazywamy ciągiem prognozowalnym.
Definicja 1.4
Dla ciągów (Xn )n i (Hn )n definiujemy ciąg (H ◦ X)n :
(H ◦ X)0 = 0
(H ◦ X)n =
n
X
Hj (Xj − Xj−1 )
j=1
Twierdzenie 1.5
Jeżeli ciąg (Xn )n jest martyngałem a ciąg (Hn )n jest prognozowalny to (H ◦ X)n jest martyngałem.
Definicja 1.6
Jeżeli
(N1) Xn ∈ L1 (Ω, F, P )
(N2) Xn ∈ Fn
(N3) E[Xn+1 |Fn ] ≤ Xn p. w.
To (Xn )n jest (Fn )n nadmartyngałem (supermartyngałem).
Definicja 1.7
Jeżeli
(P1) Xn ∈ L1 (Ω, F, P )
(P2) Xn ∈ Fn
(P3) E[Xn+1 |Fn ] ≥ Xn p. w.
To (Xn )n jest (Fn )n podmartyngałem (submartyngałem).
Fakt 1.8
Jeżeli ϕ : R → R jest wypukła, (Xn )n jest martyngałem i ϕ(Xn ) są całkowalne, to (ϕ(Xn ))n jest
submartyngałem.
1
1
ELEMENTY TEORII MARTYNGAŁÓW
Twierdzenie 1.9
Jeżeli (Xn )n jest submartyngałem a ciąg (Hn )n jest ograniczonym ciągiem prognozowalnym, to (H ◦
X)n jest submartyngałem.
Fakt 1.10
Jeżeli (Xn )n jest submartyngałem, to (Xτ ∧n )n jest submartyngałem.
Twierdzenie 1.11
Dla submartyngału (Xn )n takiego, że E[Xn+ ] < K < ∞ istnieje zmienna losowa X ∈ L1 (Ω, F, P ) taka,
że limn→∞ Xn = X p. w.
Wniosek 1.12
Mamy:
1. Każdy nadmartyngał Xn ≥ 0 jest zbieżny p. w.
2. Każdy martyngał Mn ≥ 0 jest zbieżny p. w.
Twierdzenie 1.13 (Rozkład Dooba)
Każdy submartyngał (Xn )n ma jednoznaczny rozkład
Xn = Mn + An
Gdzie Mn jest martyngałem, i A0 = 0, An ≤ An+1 i An−1 ∈ Fn
Uwaga 1.14
Ciągu An szukamy tak:
A0 = 0
An − An−1 = E[Xn |Fn−1 ] − Xn−1
Twierdzenie 1.15 (Nierówność Dooba)
Dla submartyngału (Xn )n i λ ≥ 0 mamy
λP max Xj ≥ λ ≤ E[Xn+ ]
1≤j≤n
2