Wnioskowanie statystyczne

2016/2017
Wnioskowanie statystyczne
Lista 7
1. W wylosowanych 9 punktach sprzedaż w pewnym mieście w określonym dniu zbadano
cenę produktu A i otrzymano następujące wyniki:
Punkt sprzedaży
Cena w zł za 1 szt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1.15 1.18 1.16 1.20 1.12 1.19 1.17 1.15 1.14
Korzystając z estymacji punktowej oszacować:
a) przeciętną cenę produktu A za 1 szt.,
b) odchylenie standardowe ceny produktu A.
2. W pewnym przedsiębiorstwie w sposób losowy wybrano 15 rozmów telefonicznych i zbadano długość ich trwania oraz ustalono, czy są to rozmowy lokalne, czy też zamiejscowe.
Zebrane informacje podane są w tabeli.
Kolejny numer czas trwania Rodzaj rozmowy
rozmowy
(w min.)
telefonicznej
1
2
miejscowa
2
12
zamiejscowa
3
10
miejscowa
4
3
miejscowa
5
5
zamiejscowa
6
6
miejscowa
7
3
miejscowa
8
5
miejscowa
9
8
miejscowa
10
4
miejscowa
11
5
miejscowa
12
4
miejscowa
13
5
miejscowa
14
4
miejscowa
15
9
zamiejscowa
a) Oszacować przeciętny czas trwania rozmów telefonicznych.
b) Oszacować odchylenie standardowe czasu trwania rozmów telefonicznych.
c) Oszacować odsetek (procent) rozmów zamiejscowych wśród ogółu rozmów telefonicznych.
d) Wyznaczyć błąd standardowy odsetka rozmów zamiejscowych wśród ogółu rozmów
telefonicznych.
3. Próba losowa prosta X1 . . . , Xn pochodzi z populacji generalnej o średniej m i wariancji
σ 2 . Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję statystyki X̄. Na podstawie obliczeń podać
własności statystyki (estymatora) X̄ parametru m.
4. Niech X1 , X2 , X3 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z
nieznaną wartością oczekiwaną m i skończoną wariancją σ 2 . Uzasadnić, że poniższe trzy
statystyki
1
1
2
1
2
2
1
1
1
T1 = X1 + X2 + X3 , T2 = X1 + X2 + X3 , T3 = X1 + X2 + X3
6
6
3
5
5
5
3
3
3
są nieobciążonymi estymatorami parametru m. Który z nich jest najlepszy?
5. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p, gdzie
X
n ∈ N, 0 < p < 1 oraz p jest nieznane. Sprawdzić, czy statystyka
jest estymatorem
n
nieobciążonym parametru p.
6. Poniższe dane pochodzą z rozkładu normalnego N(0.35, 2.1),
−1.09, −1.44, 1.46, −0.48, 3.03, 1.71, −1.23, −0.28, −4.96, 0.44,
3.68, −0.92, −2.23, −2.23, 1.98, 1.23, 0.61, 1.79, −1.96, −1.73.
Obliczyć x̄ oraz oszacować parametr σ 2 korzystając z estymatorów:
a) S 2 ,
b) Ŝ 2 ,
c) W 2 =
n−1
∑
1
(Xi+1 − Xi )2 .
2(n − 1) i=1
Porównać oszacowania z prawdziwymi wartościami m i σ 2 .
Helena Jasiulewicz