Pasywne systemy lokacyjne

Politechnika Warszawska
Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych
Instytut Systemów Elektronicznych
Praca dyplomowa
inżynierska
Pasywny system akustycznej
lokalizacji obiektów.
wykonanie:
Maciej Smolarczyk
opiekun pracy:
dr inż. Krzysztof Kulpa
Warszawa
Luty 2000 r.
1
Dziękuję panu doktorowi Krzysztofowi Kulpie – za to, że
pomógł nadać mojej pracy ostateczny kształt i charakter.
Pracę dedykuję moim rodzicom.
2
SPIS TREŚCI:
1. WSTĘP. ....................................................................................................7
2. ZAŁOŻENIA REALIZACJI ORAZ WSTĘPNY OPIS UKŁADU. ..9
3. METODA AMPLITUDOWA. .............................................................11
3.1. OPIS METODY........................................................................................11
3.2. OGRANICZENIA STOSOWALNOŚCI METODY. ..........................................13
4. METODA OPÓŹNIEŃ CZASOWYCH. ............................................17
4.1. OPIS METODY........................................................................................17
4.2. ANALIZA MATEMATYCZNA. ..................................................................19
4.3. LOKALIZACJA PASMOWA. .....................................................................21
4.4. LOKALIZACJA HIPERBOLICZNA. ............................................................23
5. MODELE SYGNAŁÓW, PROBLEMY Z DETEKCJĄ, ECHO I
JEGO USUWANIE. ....................................................................................30
5.1. MODEL SYGNAŁU..................................................................................30
5.2. WIELODROGOWOŚĆ I ECHA...................................................................38
5.3. PROBLEMY LOKALIZACJI.......................................................................43
5.4. CZĘSTOTLIWOŚĆ PRÓBKOWANIA. .........................................................43
5.5. OBSZAR OBSERWACJI............................................................................45
5.6. ROZMYCIE PRĄŻKÓW KORELACYJNYCH................................................47
5.7. DETEKCJA WIELU OBIEKTÓW. ...............................................................48
6. OPIS DOŚWIADCZEŃ Z DWOMA MIKROFONAMI,
RZECZYWISTA REALIZACJA. .............................................................51
6.1. ZAŁOŻENIA POMIAROWE, SCHEMAT UKŁADU. ......................................51
6.2. WARUNKI POMIAROWE. ........................................................................52
6.3. POMIARY – REALIZACJA, PROBLEMY . ..................................................53
7. PODSUMOWANIE...............................................................................59
BIBLIOGRAFIA:........................................................................................60
3
SPIS RYSUNKÓW:
Rysunek 1:
Przykładowy system lokalizacyjny złożony z trzech stacji
bazowych. ..................................................................................
8
Rysunek 2:
Graficzna interpretacja MA z wykorzystaniem stycznej. .........
11
Rysunek 3:
Wykres błędów lokalizacji w zależności od próby dla losowo
wybranego położenia obiektu przy wykorzystaniu MA. .......... 13
Rysunek 4:
Wykres błędów lokalizacji w zależności od próby dla losowo
wybranego położenia obiektu przy wykorzystaniu MA z uwzględnieniem algorytmu Neskrema. ....................................... 13
Rysunek 5:
Charakterystyka mikrofonu wszechkierunkowego. ..................
Rysunek 6:
Korelacja wzajemna dla zerowej różnicy opóźnień (punkt
odniesienia). .............................................................................. 17
Rysunek 7:
Korelacja wzajemna dla różnica czasów dojścia do dwu stacji 17
bazowych. ..................................................................................
Rysunek 8:
Układ detekcji opóźnienia D korzystający z funkcji korelacji
wzajemnej. ................................................................................. 19
Rysunek poglądowy przedstawiający metodę pasmową. ......... 20
Rysunek 9:
Rysunek 10: Hiperbola wszystkich możliwych lokalizacji obiektu dla dwu
stacji bazowych. ........................................................................
14
23
Rysunek 11: Punkt położenia wyznaczony przez przecięcie się hiperbol
(trzy stacje bazowe). .................................................................. 23
Rysunek 12: Błędy estymacji położenia obiektu (MP). ................................. 27
Rysunek 13: Błędy estymacji położenia w zależności od odległości (MP). .. 28
Rysunek 14: Błędy estymacji położenia obiektu (MH). ................................ 28
Rysunek 15: Autokorelacja szumu białego. ................................................... 31
Rysunek 16: Autokorelacja szumu wąskopasmowego. .................................
32
Rysunek 17: Autokorelacja złożonego sygnału harmonicznego. .................. 32
Rysunek 18: Korelacja wzajemna sygnału harmonicznego. Różnica w
czasie dojścia do SB – 36 ms. ...................................................
34
Rysunek 19: Układ generacji szumu wąskopasmowego. ............................... 34
Rysunek 20: Szum wąskopasmowy – przebieg. ............................................ 36
Rysunek 21: Sygnał rzeczywisty – przebieg. ................................................. 36
4
Rysunek 22: Szum wąskopasmowy – autokorelacja. ..................................... 36
Rysunek 23: Sygnał rzeczywisty – autokorelacja. ......................................... 36
Rysunek 24: Szum wąskopasmowy – korelacja wzajemna . .........................
36
Rysunek 25: Sygnał rzeczywisty – korelacja wzajemna. ............................... 36
Rysunek 26: Cepstrum sygnału bez echa. ...................................................... 38
Rysunek 27: Cepstrum sygnału z echem. ....................................................... 38
Rysunek 28: Schemat układu usuwającego echo z sygnału przy użyciu
cepstrum i filtracji medianowej. ................................................ 40
Rysunek 29: Korelacja wzajemna sygnałów z echem przed filtracją
medianową. ...............................................................................
40
Rysunek 30: Filtracja medianowa fragmentu sygnału. .................................. 41
Rysunek 31: Filtracja medianowa całego sygnału. ........................................ 41
Rysunek 32: Widmo sygnału rzeczywistego. ................................................
43
Rysunek 33: Mechanizm kojarzenia prążków. ............................................... 48
Rysunek 34: Mechanizm wybierania n – grupy. ............................................ 49
Rysunek 35: Schemat układu pomiarowego. ................................................. 51
Rysunek 36: Funkcja korelacji wzajemnej z zawartością harmonicznych. ...
53
Rysunek 37: Widmo sygnału z harmonicznymi. ............................................ 53
Rysunek 38: Charakterystyka filtru usuwającego zakłócenia sieciowe. ........ 54
Rysunek 39: Sygnał rzeczywisty po filtracji. ................................................. 55
Rysunek 40: Funkcja korelacji wzajemnej po filtracji. .................................. 55
Rysunek 41: Wykres zmian kąta w funkcji czasu. ......................................... 57
Rysunek 42: Rozmycie prążków wynikające z ruchu pojazdu. ..................... 57
5
WYKAZ SKRÓTÓW I OZNACZEŃ:
-
DTF – dyskretna transformata Fouriera,
-
ODTF – odwrotna dyskretna transformata Fouriera,
-
LO – lokalizacja obiektów,
-
SB – stacja bazowa,
-
MA – metoda amplitudowa,
-
MOC – metoda opóźnień czasowych,
-
FST – filtr szumów tła,
-
ST – szumy tła,
-
MP – metoda pasmowa,
-
MH – metoda hiperboliczna,
-
K – przesunięcie o ilość próbek,
-
D – opóźnienie,
-
L – blok próbek,
-
N – liczba próbek,
-
Rsb – promień strefy bliskiej.
Wszystkie symulacje oraz wykresy wykonywane były w środowisku
MATLAB 5.3; do przeprowadzenia doświadczeń w rzeczywistych warunkach i
ich prezentacji użyto programów Cool ’95 oraz MATALAB 5.3.
6
1. Wstęp.
W dzisiejszych czasach istnieje ogromne zapotrzebowanie na układy
pozwalające określić położenie obiektów. Systemy takie znajdują się w kręgu
zainteresowań wojska, zakładów przemysłowych a także ratownictwa i osób
prywatnych. Na świecie istnieje już wiele systemów pozwalających na określenie
położenia obiektu (LORAN czy DECCA). Niesamowitą popularność zdobył w
ostatnich latach system GPS. Wszystkie te systemy pozwalają użytkownikowi
systemu na określenie swojej pozycji geograficznej. Co jednak zrobić jeśli to my
chcemy zlokalizować dany obiekt ?
Lokalizacji Obiektów (LO) można dokonać przy wykorzystaniu systemów
aktywnych bądź pasywnych. Systemy aktywne dają bardzo wiele możliwości jeśli
chodzi o detekcję obiektów, można swobodnie kształtować impulsy sondujące,
kierować je w żądanym kierunku, wybierać obszar przeszukiwania. Wadą systemu
aktywnego jest to, że namierzany może przy pomocy prostego urządzenia
stwierdzić fakt namierzania. W przypadku systemu pasywnego stwierdzenie tego
nie jest możliwe. Niestety, w takim układzie nie możemy formować wiązki
detekcyjnej, nie posiadamy żadnej wiedzy na temat sygnałów, które mogą dotrzeć
do detektora. Stawia to konstruktorów takich systemów w kłopotliwej sytuacji i
wymaga zaangażowania odpowiednich sił i środków (zarówno teoretycznych jak i
technicznych).
Pasywne systemy akustycznej lokalizacji mogą znaleźć wiele zastosowań tak
wojskowych jak i cywilnych. Jest kilka możliwych dróg rozwoju takich systemów.
W przypadku wojska są to zazwyczaj pasywne sonary do wykrywania okrętów
podwodnych lub systemy zabezpieczeń obiektów wojskowych (ogrodzenie
mogłoby być strzeżone przez taki system sprzężony z kamerami i karabinami).
Dla celów cywilnych mogą być wykorzystywane do monitorowania terenów
przemysłowych (np. składów materiałów) lub strzeżenia prywatnych posiadłości
(monitoring – kamery, kierowany strumień światła). W oparciu o rozmieszczone
szeroko stacje bazowe wzdłuż wybrzeża realizowany jest system określania stanu
7
morza. Korzysta on z różnic czasów dojścia szumu fal do poszczególnych
mikrofonów i na podstawie macierzy korelacji wzajemnej wyznacza zafalowanie
w poszczególnych sektorach. Daje to możliwość przewidywania zmian stanu
morza, zwiększenia efektywności akcji ratowniczych a
także poprawy
bezpieczeństwa ludzi pracujących na morzu (rybacy, żegluga pasażerska, straż
przybrzeżna).
Oddzielną grupą są systemy pasywne określające położenie obiektu na
podstawie sygnałów elektronicznych (telefon komórkowy, nadajnik radiowy,
satelitarny, jakiś dowolny inny sygnał radiowy). Wykorzystywane przez
prywatnych użytkowników mogą być stosowane np. w samochodach do
określania pozycji i współpracy z mapą elektroniczną. Policja może używać takich
systemów do lokalizacji np. skradzionych samochodów, zorganizowanych grup
przestępczych. W specjalistycznych zastosowaniach można przy wykorzystaniu
pasywnego systemu lokalizacji korygować wskazania GPS w celu zwiększenia
jego dokładności.
Celem tejże pracy jest pokazanie, że istnieje możliwość wykrywania i
określania pozycji obiektów na podstawie docierających do systemu dźwięków w
paśmie akustycznym, opracowanie metod detekcji oraz ocena ich skuteczności.
Praca składa się z dwóch części. W pierwszej przedstawione zostaną teoretyczne
rozważania na temat możliwości realizacji takich układów: algorytmy, metody –
ich wady i zalety. W drugiej efekt doświadczeń przeprowadzonych w
rzeczywistych warunkach na prostym układzie testowym pozwalających
praktycznie sprawdzić działanie takiego systemu detekcji.
8
2. Założenia realizacji oraz wstępny opis układu.
W przeciwieństwie do systemu aktywnego przypadku pasywnego systemu
lokalizacyjnego należy zastosować zupełnie nową koncepcję wykrywania. Nie
posiadając aktywnego narzędzia do przestrzennego przeszukiwania obszaru
obserwacji nie możemy stosować pojedynczej stacji lokalizacyjnej (jak np. w
radarach). Rozwiązaniem może być zastosowanie kilku Stacji Bazowych. O ich
rozmieszczeniu decydują zastosowanie i lokalizacja systemu. W mojej pracy
chciałbym przybliżyć możliwość realizacji systemu pasywnej, akustycznej
lokalizacji obiektów w takim właśnie systemie złożonym z kilku stacji bazowych.
Przykładowy system przedstawiony jest na rys. 1:
R1
S1
S2
R2
Obiekt
S3
R3
Rys. 1.Przykładowy system lokalizacyjny złożony
z trzech stacji bazowych, gdzie:
− S1–S3 – stacje bazowe,
− R1–R3 – odległość obiektu od poszczególnych stacji bazowych.
W przypadku takiego rozmieszczenia stacji bazowych dysponujemy już
dwoma parametrami:
9
− rozkładem amplitud sygnału w poszczególnych stacjach bazowych
− różnicą czasów dojścia sygnałów do poszczególnych stacjach bazowych.
Dodatkowym założeniem projektowym jest takie rozmieszczenie SB aby
obszar detekcji znajdował się w strefie bliskiej wyznaczonej przez rozmiar szyku
antenowego stworzonego przez SB (jako strefę bliską można przyjąć obszar o
promieniu Rsb = 10 * Omax ,gdzie Omax to maksymalna odległość między skrajnymi
mikrofonami). Jest to istotne ze względu na łatwość określania dokładnego
położenia obiektu. Detektorami w takim układzie mogą być odpowiednio dobrane
mikrofony wszechkierunkowe.
10
3. Metoda amplitudowa.
3.1. Opis metody
Metoda amplitudowa (MA) jest pierwszym, intuicyjnie narzucającym się
rozwiązaniem technicznym zagadnienia LO. Amplitudy odebranego sygnału
zależą od odległości od źródła (obiektu). Jak wiadomo amplituda maleje z
kwadratem odległości:
A≈
1
r2
W związku z tym jej wartości będą różne w poszczególnych mikrofonach
(SB).
Metoda
amplitudowa
opiera
się
na
wyznaczeniu
współczynnika
kierunkowego stycznej (de facto wartości pochodnej w punkcie) przy znajomości
wartości A(r) funkcji amplitudy (rys. 2.).
Wartość pochodnej można wyznaczyć ze wzoru:
f ' ( R1, 2 ) =
f ( R1 ) − f ( R2 )
,
∆R1, 2
R1 , R2 – odległości od poszczególnych SB.
∆R1, 2 – różnica odległości.
stąd już w prosty sposób określamy położenie obiektu:
f ' ( R1, 2 ) = (
A '
A
) = −2 3 ,
2
R1, 2
R1, 2
11
y=A/R^2
styczna – wyznacza f’(R)
Rys. 2. Graficzna interpretacja metody amplitudowej z
wykorzystaniem stycznej, gdzie:
A
- y=
– zależność wartości amplitudy od odległości,
R i2
- a = f ' (R i ) – współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie.
więc:
R1, 2 = 3
− 2A
,
f ' ( R1, 2 )
a ponieważ wartość ta jest niezależna od amplitudy początkowej, jedynie od
stosunku amplitud, można znając wartości kolejnych Ri , wyznaczyć poszczególne
odległości do obiektu i określić położenie. Ponieważ wykorzystywana jest w tej
metodzie różnica odległości to do określenia położenia punktu odniesienia
wybierany jest punkt będący środkowym odcinka łączącego miejsca położenia
poszczególnych stacji bazowych. Przyjmując
położenia
mikrofonów we
12
współrzędnych symetryczny względem początku układu współrzędnych możemy
określać poszczególne odległości względem niego.
3.2. Ograniczenia stosowalności metody.
Metoda ta (jak widać bardzo prosta) ma jednak wiele istotnych wad
dyskwalifikujących ją praktycznym zastosowaniu. Na jej niedoskonałość mają
wpływ:
1. Nierównomierności
i
nieidealność
charakterystyk
poszczególnych
mikrofonów.
2. Fluktuacje amplitudy wynikające z wielodrogowości przychodzącego
sygnału (sumowanie się lub odejmowanie amplitud).
3. Wyjątkowe trudności w obserwacji wielu obiektów.
4. Kierunkowość źródeł.
5. Mała odporność układu na szumy.
Ad.1. Jeśli chcemy korzystać z rozkładu amplitud w poszczególnych mikrofonach
musimy
wziąć
pod
uwagę
różnice
między
charakterystykami
poszczególnych mikrofonów. Stosując bardzo dobre mikrofony mamy
gwarancję stałości charakterystyki w interesującym nas paśmie1 (rys. 5).
Różnicę między poszczególnymi mikrofonami możemy korygować w torze
pomiarowym, aczkolwiek należy pamiętać, że dokładność pomiarów
akustycznych2 waha się między 0.5dB a 1.5dB. Na rysunku 3
przedstawiony został wykres błędów wyznaczenia odległości w funkcji
ilości przypadkowych położeń obiektu (strefa obserwacji 100m). Jak łatwo
zauważyć są to duże wartości (rzędu 1.5 ÷ 2.5m dla 1.5dB). Rozwiązaniem
tego problemu wydaje się zastosowanie algorytmu dającego możliwość
usuwania zakłóceń impulsowych (takim jest algorytm Nyströma):
1
2
Szczegółowy opis – katalogi mikrofonów firmy Bruel & Kjaer.
Patrz [4], [5].
13
Rys. 3. Wykres błędów lokalizacji w zależności od
próby dla losowo wybranego położenia obiektu
przy wykorzystaniu MA.
Rys. 4. Wykres błędów lokalizacji w zależności od
14
próby dla losowo wybranego położenia obiektu
przy wykorzystaniu MA z uwzględnieniem
algorytmu Nyströma.
Rys. 5. Przykładowa charakterystyka mikrofonu wszechkierunkowego
(w zastosowaniach specjalnych producent gwarantuje stałość charakterystyki
do 200 kHz – do zastosowań w tym układzie wystarcza mikrofon B&K 4135;
zapewnia stałość w amplitudzie do 5 kHz i różnice między poszczególnymi
egzemplarzami do 0.6 dB).
f ' ( x) =
f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x )
,
2 ∆x
który ogranicza wpływ na pochodną zakłóceń impulsowych. Należy więc
brać pod uwagę najbardziej różniące się amplitudy w celu maksymalizacji
∆x . Przy zastosowaniu algorytmu Nyströma błędy maleją około trzech
razy. Na rys. 4 widać ich wyraźne zmniejszenie w porównaniu z poprzednią
sytuacją, błędy oscylują na poziomie do 0.25m (dla nierównomierności ok.
1.5dB). Niestety może to nie wystarczyć do poprawnej lokalizacji w
przypadku słabych sygnałów.
15
Ad.2.
W
przypadku
sygnałów
akustycznych
musimy
się
liczyć
z
wielodrogowością (echa od przeszkód, innych obiektów) a co za tym idzie
z możliwością chwilowego sumowania bądź odejmowania się amplitud w
punkcie odbioru. Część błędów wynikających z wielodrogowości może
zostać wyeliminowana przy zastosowaniu algorytm Nyströma. Jednakże w
przypadku silnego echa możemy otrzymać fałszywy rozkład amplitud, w
konsekwencji błędną lokalizację.
Ad.3. Wykrycie kilku obiektów, przy zastosowaniu metody amplitudowej, jest
mało realne. Amplitudy sygnałów od poszczególnych obiektów sumują się
w każdej ze stacji bazowych. Nie ma możliwości ich wyselekcjonowania –
nie można więc określić ani ilości ani pozycji źródła sygnału.
Ad.4. Ogromnym problemem jest również kierunkowość źródeł. W sytuacji, gdy
dźwięk rozchodzi się w kierunku dalszego mikrofonu amplituda
odebranego sygnału będzie w nim większa niż w mikrofonie bliższym.
Otrzymamy błędny rozkład amplitud (nie zgodny z naszymi oczekiwaniami
– im bliżej źródła tym sygnał silniejszy). W efekcie błędnie określimy
położenie i odległość obiektu.
Ad.5. Szumy otoczenia mogą, w przypadku słabych sygnałów, fałszować rozkład
amplitud, wywoływać dodatkowe fluktuacje.
Ograniczoną stosowalność mieć będzie również MA dla strefy dalekiej.
Odległości między mikrofonami w porównaniu z odległością od źródła sygnału są
niewielkie, niewielkie są więc różnice w rozkładach amplitud. Biorąc pod uwagę
czynniki wymienione w punktach 1 ÷ 5 można się spodziewać dość dużych
błędów lokalizacji, problemów z poprawną detekcją. Należy jeszcze pamiętać, że
MA może okazać się nie przydatna przy obiektach emitujących sygnały
impulsowe.
16
4. Metoda opóźnień czasowych.
4.1. Opis metody.
Odmienną od Metody Amplitudowej jest Metoda Opóźnień Czasowych. W
zależności od położenia obiektu sygnał emitowany dotrze do rozmieszczonych SB
w różnym czasie. Na podstawie opóźnień sygnału (różnica w czasach dojścia
niesie w sobie informację na temat przebytej drogi) można wyznaczyć różnice
odległości między poszczególnymi SB:
Ri , j = υ a ⋅ ∆t i , j ,
dla dźwięku υ a =340m/s.
a co za tym idzie – położenie obiektu. W celu ich wyznaczenia można skorzystać z
funkcji korelacji wzajemnej, będącej splotem dwóch sygnałów z różnych SB:
K 1, 2 (t ) = x1 (t ) ∗ x 2 (t − τ )
Sposób
określania
przesunięcia
czasowego
na
podstawie
pików
korelacyjnych pokazany jest na rysunkach 6 i 7.
Estymator funkcji korelacji wyznacza się za pomocą DTF (dyskretnej
transformaty Fouriera) obliczając widmo realizacji a następnie liczy się ODTF
(odwrotną dyskretną transformatę Fouriera) kwadratu widma amplitudowego
| X (e jΘk ) |2 unormowanego względem N. Obciążenie estymatora i jego wariancja
zależą od N – próbek i można je zmniejszyć wydłużając ten ciąg. Ustalenie
dokładności estymacji zależy od wymagań projektanta układu. W przypadku
17
sygnałów
nieokresowych
funkcję
korelacji
wzajemnej
wyznacza
się
wykorzystując uzupełnianie widma ciągiem zer. Do estymacji M pierwszych
Rys. 6. Korelacja wzajemna (autokorelacja) dla zerowej różnicy opóźnień (punkt odniesienia).
różnica czasów
Rys. 7. Korelacja wzajemna dla różnica czasów
18
dojścia do dwu stacji bazowych.
próbek funkcji wystarczy uzupełnić ciąg N próbek widma sygnału M-1 zerami
(zniekształcenia interferencyjne wynikną wynikające z wyznaczenia splotu
cyklicznego wynikną wtedy dopiero dla m ≥ M). Następnie obliczamy L –
punktową (L=N+M–1) ODTF. Problemem staje się wyznaczenie funkcji korelacji
wzajemnej ciągów o dużych N (rzędu kilkunastu tysięcy). W takiej sytuacji
wyznacza się liczbę K – splotów cząstkowych i sumuje3.
4.2. Analiza matematyczna.
Teoretyczne modele sygnałów w poszczególnych SB można zdefiniować
(dla M=4, gdzie M – ilość SB):
x1 (t ) = A1 s (t − τ 1 ) + n1 (t ) + no1 (t ) ,
x 2 (t ) = A2 s (t − τ 2 ) + n 2 (t ) + no 2 (t ) ,
x 3 (t ) = A3 s (t − τ 3 ) + n3 (t ) + no 3 (t ) ,
x 4 (t ) = A4 s (t − τ 4 ) + n 4 (t ) + no 4 (t ) .
gdzie:
A1 ÷ A4 − amplitudy sygnałów w poszczególnych SB,
s (t ) − detekowany sygnał,
τ 1 ÷ τ 4 − opóźnienia w poszczególnych SB,
n1 (t ) ÷ n 4 (t ) − szumy w poszczególnych torach pomiarowych,
no1 (t ) ÷ no 4 (t ) − szumy otoczenia.
Korelację wzajemną będziemy więc liczyć jako splot x1 (t ) z sygnałami z
pozostałych SB oraz sploty K i , j (t ) pozostałych sygnałów między sobą. Uzyskamy
więc zestaw M – splotów niosących wiadomość o różnicach w czasach dojść do
poszczególnych SB.
19
Ponieważ szumy n1 ÷ n 4 nie są ze sobą skorelowane (ich źródłem są tory
pomiarowe) nie wpływają one na rozkład funkcji korelacji wzajemnej. Niestety
nie da się wyeliminować wpływu szumów otoczenia no1 (t ) ÷ no 4 (t ) ze względu na
ich powiązanie z sygnałem. Aby określić wysokość odcięcia piku korelacyjnego,
czyli taką poniżej której nie będzie on wykrywany (zginie w szumie otoczenia),
należy przed rozpoczęciem działania układu wyznaczyć poziom szumów tła (np.
przez określenie wartości maksymalnej piku funkcji autokorelacji szumu –
korelacja jest przecież zależnością energetyczną).
Przykładowy układ do detekcji opóźnienia D korzystający z funkcji korelacji
wzajemnej przedstawiony jest na rys. 8, gdzie:
-
FST jest to Filtr Szumów Tła. W przypadku pasywnych układów detekcji
nie możemy określić sygnału jaki dotrze do stacji bazowych. Mamy
natomiast możliwość zbadania, w przypadku braku sygnału od obiektów,
wszystkich sygnałów otoczenia – czyli szumów tła. Na podstawie takich
rejestracji można stworzyć filtr dopasowany do ST a na jego podstawie
filtr odwrotny. FST daje więc możliwość usuwania zbędnych dźwięków,
co zwiększa prawdopodobieństwo detekcji.
-
()^2 – operacja podnoszenia do kwadratu.
-
Peak Detector – detektor piku korelacyjnego.
X1(t)
X1(n)
FST
*
X1(t-d)
()^2
Peak
Detector
D
FST
X2(n)
3
Patrz [1], [2], [3].
20
Rys. 8. Układ detekcji opóźnienia D korzystający z funkcji korelacji wzajemnej
4.3. Lokalizacja pasmowa.
Posiadając już dane na temat różnic czasów przyjścia sygnału do SB
możemy podjąć próbę określenia położenia naszego obiektu. Istnieją dwie z wielu
metod lokalizacyjnych. Pierwsza została nazwana Metodą Pasmową. Nazwa
pochodzi od charakterystycznych „pasów” tworzonych przez proste z namiaru na
obiekt. Wyobrażenie o MP daje poglądowy rysunek nr 9:
SB1
obiekt
B
p1
C
A
D
p2
SB2
p3
p4
SB3
Rys. 9. Rysunek poglądowy przedstawiający
metodę pasmową.
21
Umieśćmy SB w układzie współrzędnych a na liniach je łączących
rozmieśćmy po dwa punkty zaczepienia ( p1 ÷ p 4 ). Możemy teraz poprowadzić z
tych punktów proste o współczynniku kierunkowym „a” zależnym od różnicy
czasu dojścia sygnału do SB. Dla każdej pary mikrofonów (SB) będziemy mogli
określić pas, w którym obiekt się znajduje. Korzystając z kilku par SB możemy
określić obszar prawdopodobieństwa występowania obiektu a jego dokładną
pozycję ustalić już iteracyjnie. Jako punkt startowy przyjmuje się pozycję
wyznaczoną poprzez rozwiązanie układu równań prostych przechodzących przez
punkty przecięcia się linii pasów (punkty A, B, C, D). Największe prawdopodobieństwo znalezienia obiektu przypada na obszar czworokąta ABCD.
Metoda ta może okazać się nieefektywną w przypadku gdy obiekt znajduje
się w otoczeniu przedłużenia prostej łączącej poszczególne stacje bazowe. Wtedy
to proste wychodzące z punktów p1, p2 oraz p3 i p4 są nachylone względem siebie
pod bardzo małymi kątami. Punkty A, B, C i D znajdują się w dużych
odległościach od siebie. Zwiększa się prawdopodobieństwo wystąpienia punktu
startowego do wyznaczenia położenia obiektu poza czworokątem ABCD. Rośnie
ilość kroków iteracji, a niewielki błąd detekcji piku korelacyjnego przekłada się na
znaczną niedokładność wyznaczenia pasów lokalizacyjnych, tym samym punktu
startowego. Rosną więc błędy estymacji położenia obiektu i nakłady obliczeniowe.
Efekt ten zacznie się również pojawiać wraz z „wychodzeniem” obiektu ze strefy
bliskiej (patrz rysunki 12 i 13 na końcu rozdziału). Wtedy to niezależnie od
konfiguracji i rozmieszczenia mikrofonów pasma staną się do siebie równoległe.
Korzystając z prostych przekształceń trygonometrycznych, będziemy mogli
określić jedynie kąt ϕ linii, na której znajduje się obiekt (linii namiaru).
Przy zastosowaniu MP należy więc liczyć się z potrzebą zastosowania
większej ilości mikrofonów (SB) niż by to wynikało z analizy teoretycznej. Układ
taki musi posiadać symetrię (np. rozmieszczenie SB na osiach układu
współrzędnych w równych odległościach o jego początku). Jest to niezbędne aby
istniała
możliwość
eliminowania
błędów
powstałych
w
położeniach
„krytycznych” dla metody pasmowej.
22
4.4. Lokalizacja hiperboliczna.
Spójrzmy na zagadnienie różnic czasów dojścia od innej strony i powróćmy
do sytuacji gdy posiadamy jedynie dwa mikrofony (dwie stacje bazowe). Znana
różnica dróg, wynikająca z różnicy czasów przyjścia sygnału do mikrofonów
(stacji bazowych), wyznaczy nam hiperbolę . Wyznacza ona zbiór możliwych
położeń obiektu – jeśli obiekt znajduje się na krzywej to odległość OSB1 – OSB2
zawsze różni się o stałą wartość (OSB1–OSB2=const.). Sytuację taką przedstawia
rys. 10. Mając do dyspozycji trzy stacje bazowe możemy już dokładnie określić
położenie naszego obiektu – rys. 11. Przy trzech SB mamy do dyspozycji różnice
czasów (dróg) SB1 – SB2, SB3 – SB2, SB1 – SB3. Stąd otrzymujemy trzy
hiperbole. Punkt przecięcia się wszystkich trzech wyznacza jednoznacznie miejsce
lokalizacji (Metoda Hiperboliczna).
W celu określenia położenia obiektu we współrzędnych kartezjańskich
należy dokonać kilku prostych przekształceń matematycznych. Oznaczmy więc
jako ( X i , Yi ) współrzędne i-tej stacji bazowej; (x, y) współrzędne obiektu; Ri
odległość obiekt – stacja bazowa; Ri , j różnicę dróg Ri − R j pomiędzy i-tą a j-tą
stacjami bazowymi.
Ri = ( X i − x) 2 + (Yi − x) 2
Ri =
X
2
i
+ Y i 2 − 2 X i x − 2Y i y + x 2 + y 2
(1)
(2)
Ponieważ danymi są dla nas opóźnienia czasowe (różnice dróg), to:
Ri , j = υ ⋅ ∆t = Ri − R j = ( X i − x) 2 + (Yi − x) 2 − ( X j − x) 2 + (Y j − x) 2
(3)
23
O
SB2
SB1
Rys. 10. Hiperbola wszystkich możliwych lokalizacji obiektu
dla dwu stacji bazowych.
SB3
Fałszywe położenia
Obiekt
SB1
SB2
Rys. 11. Dokładny punkt położenia wyznaczony przez
przecięcie się hiperbol (trzy stacje bazowe).
24
Przenosząc i podnosząc stronami do kwadratu mam:
Ri2 = ( Ri , j − R j ) 2
(4)
Ri2, j + 2 Ri , j R j + R 2j = X i2 + Yi 2 − 2 X i x − 2Yi y + x 2 + y 2
(5)
A stąd otrzymuję równanie:
Załóżmy, że:
− wiemy, do której stacji bazowej sygnał dotrze w pierwszej kolejności
(określenie tego nie stanowi problemu – o tym w dalszych rozdziałach),
− nasze stacje bazowe umieścimy w trzech punktach dobranych tak, aby
ułatwić przekształcenia.
Korzystając z pierwszego założenia możemy wyrażenie (5) przekształcić do
postaci:
Ri2, j + 2 Ri , j R j = X i2 + Yi 2 − 2 X i , j x − 2Yi , j y + x 2 + y 2
(6)
Umieśćmy teraz nasze stacje bazowe w punktach o współrzędnych:
− SB1=(0,0),
− SB2=( X 2 ,0 ),
− SB3= ( X 3 , Y3 ).
Dzięki temu nasze wyrażenie ulegną uproszczeniu:
Ri = ( X i − x) 2 + (Yi − x) 2 = x 2 + y 2
25
X i ,1 = X i − X 1 = X i ,
Yi ,1 = Yi − Y1 = Yi .
Korzystając z powyższych zależności i podstawiając je do wzoru (6)
otrzymamy:
2 R2,1 R1 = R22,1 − X 22 + 2 X 2,1 x
(7)
2 R3,1 R1 = R32,1 − ( X 32 + Y32 ) + 2 X 3,1 x + 2Y3,1 y
(8)
Dokonując przekształceń możemy sprowadzić problem rozwiązania tychże
równań do wyznaczenia miejsc zerowych funkcji liniowej i kwadratowej:
y = a ∗ x + b,
oraz:
c ∗ x2 + d ∗ x + e = 0 .
gdzie:
a = [ R3,1 − ( X 2 / R2,1 ) − X 3 ] / Y3 ,
b = { X 32 + Y32 − R32,1 + R3,1 ∗ R2,1 [1 − ( X 2 / R2,1 ) 2 ]} / 2Y3 ,
c = −{[1 − ( X 2 / R 2,1 ) 2 ] + a 2 } ,
d = X 2 ∗ {[1 − ( X 2 / R2,1 ) 2 ]} − 2a ∗ b ,
e = ( R22,1 / 4) ∗ {[1 − ( X 2 / R2,1 ) 2 ]}2 − b 2 .
Rozwiązując
równanie kwadratowe otrzymujemy dwie
wartości x.
Otrzymamy więc dwa punkty położenia obiektu. Pomocną w rozwiązaniu tego
problemu jest informacja o kolejności przyjść sygnału do mikrofonów (SB).
26
Powyższe zależności zostały opracowane i sprawdzone podczas badań nad
rozwojem układów lokalizacji w systemach CDMA [6], [8].
Istnieje również inny sposób na wyznaczenie matematyczne miejsca
położenia obiektu (przypadek dla trzech stacji bazowych), tzw. algorytm Chana
[7]:
 X 2,1 Y2,1 
x 

 y  = − X
 
 3,1 Y3,1 
−1
2
 R 2,1 
1  R2,1 − K 2 + K 1  
R
× 
+
 1

 ,
2  R32,1 − K 3 + K 1  
 R3,1 
(9)
gdzie:
K 1 = X 12 + Y12 ,
K 2 = X 22 + Y22 , ,
K 3 = X 32 + Y32 .
uwzględniając położenie naszych SB otrzymujemy:
K 1 = 0,
K 2 = X 22 ,
K 3 = X 32 + Y32 .
Wstawiając równanie (9) do (1) uzyskujemy równanie kwadratowe. Jego
pierwiastki wstawione powtórnie do (9) dadzą nam ostateczne rozwiązanie.
Okazuje się jednak, że nie musimy się przejmować tym, iż uzyskujemy dwie
wartości x. Na podstawie badań przeprowadzonych na uniwersytecie w Virgini
połączenie metod Fanga i Chana [7] daje nam zawsze jedno rozwiązanie ujemne
równania kwadratowego. Ponieważ odległość nie może być ujemna stąd też
rozwiązanie dodatnie jest jedynym poprawnym. Ciekawym wnioskiem z
przeprowadzonych doświadczeń jest to, iż w przypadku obu metod przy takich
samych wartościach zaburzenia danych błędy estymacji położenia śledzonego
obiektu były takie same.
27
Wartość Ri możemy próbować wyznaczać także innymi metodami (np.
korzystając z metody amplitudowej porównując wartości prążków korelacyjnych.
Dokładność wyznaczenia Ri wpływa na poprawność estymacji położenia.
Poniżej zostały przedstawione wyniki symulacji – wykresy błędów estymacji
położenia w poszczególnych metodach (pasmowej i hiperbolicznej):
błędy dla położeń
„krytycznych” – 3 SB
błędy dla położeń
„krytycznych” – 3 SB
Rys. 12. Błąd estymacji położenia obiektu (MP) dla
kolejnych, losowych położeń.
28
Wykres błędów estymacji położenia dla metody amplitudowej
w zależności od odległości.
6
Błąd estymacji położenia
4
2
0
-2
-4
-6
0
40
80
120
160
200
240
Odległość
280
320
360
400
Rys. 13. Wykres błędów estymacji położenia w zależności
od odległości – widoczne ustalenie się błędów po
przekroczeniu linii strefy bliskiej – ok. 200 m.
Wykres błędów lokalizacji w metodzie hiperbolicznej
dla losowo wybranego położenia obiektu.
0.16
0.12
0.08
Błąd lokalizacji
0.04
0
-0.04
-0.08
-0.12
-0.16
0
10
20
30
40
50
60
Kolejne położenie
70
80
90
100
Rys. 14. Wykres błędów estymacji położenia (MH) dla
kolejnych, losowych, położeń obiektu.
29
5. Modele sygnałów, problemy z detekcją, echo i jego
usuwanie.
Aby można było prowadzić jakiekolwiek badania algorytmów oraz określić
możliwość realizacji zagadnienia lokalizacji pasywnej w paśmie akustycznym
trzeba było zaproponować model sygnału jaki będzie odbierany w mikrofonie.
Podstawowym problemem detekcji jest minimalizacja wpływu zakłóceń
zarówno zewnętrznych jak i wewnętrznych. W grupie zagrożeń znajdują się
przecież szum torów pomiarowych, szum tła, wielodrogowość sygnału (czyli echa
od elementów stałych, innych obiektów), obszar obserwacji, częstotliwość
próbkowania. Istotny problem to obiekty poruszające się (należało określić
parametry tolerowane przez układ).
5.1. Model sygnału.
Z wymienionych w poprzednim rozdziale metod najbardziej efektywną jest
metoda korelacyjna. Należało więc zbadać zachowywanie funkcji korelacji
wzajemnej poszczególnych sygnałów. Badanie sygnałów polegało na generacji
ciągu M próbek sygnału. Następnie tworzone były dwa sygnały o długości N<M
próbek. Drugi z
nich był przesuwany względem pierwszego o K próbek.
Oczekiwanym efektem był pik korelacji wzajemnej przesunięty względem piku
autokorelacyjnego o K próbek.
Funkcja korelacji wzajemnej poszukiwanego modelu sygnału powinna więc
posiadać wyraźne maksimum dla różnych K – przesunięć i wartości zbliżone do
zera dla pozostałych momentów czasowych (załóżmy dla wszystkich sygnałów, że
mamy do czynienia z sygnałami stacjonarnymi w szerszym sensie):
-
szum biały – w celu przykładowego opisu szumu białego rozważmy
proces Bernouliego. Z założenia proces jest stacjonarny, występowanie
wartości
+1
i
–1
jest niezależne od chwili czasowej i tak samo
30
mx = 2 p − 1 ,
prawdopodobne. Wartość przeciętna wynosi
wartość
średniokwadratowa E[ x 2 ] = 1 a wariancja σ x2 = 4 p(1 − p ) . Stąd ciąg
autokorelacji ma postać:
E[ xn2 ] = 1
Φ(m) = 
E[ xn ] ⋅ E[ xn+m ] = mx2
m = 0,
m ≠ 0.
dla p = 0.5 otrzymujemy mx=0 oraz Φ ( m) = δ (m ) czyli dla danego
przesunięcia deltę Dirac’a i 0 dla pozostałych chwil czasowych4.
-
szum pasmowy – dla szumu pasmowego (częściowa zależność między
poszczególnymi próbkami) efekt analizy będzie podobny – dla danego K
wystąpi δ (m) , dla pozostałych chwil czasowych wartości mx będą
spełniać zależności: mx ≠ 0 i mx<< δ (m) (poziom mx będzie zależny od
pasma szumu).
-
sygnał harmoniczny – dla sygnału cosinusoidalnego funkcja korelacji
przyjmuje postać:
N −1
Φ (m ) = ∑ cos(n ) cos(n − m)
n =0
W porównaniu z szumem pasmowym gorzej spełnia wstępne założenia
(poza przesunięciem K jej wartości nie są dużo mniejsze od maksimum
Φ (m) ).
Na
podstawie
prostych
przekształceń
można
określić
podstawowe
właściwości funkcji korelacji5:
-
Φ ( m) ≤ 0 ,
-
wraz ze wzrostem różnicy czasowej dwa ciągi próbek stają się coraz
mniej skorelowane ze sobą (maleje wartość Φ (m) ).
31
Na rysunkach 15 ÷ 17 przedstawione zostały funkcje autokorelacji szumu
białego, wąskopasmowego i złożonego sygnału harmonicznego. Porównując
przebiegi poszczególnych funkcji autokorelacji można stwierdzić ich zgodność ze
wstępną analizą matematyczną. W przypadku szumów białego i wąskopasmowego
wyznaczenie K – przesunięcia nie powinno sprawiać problemów. W przypadku
sygnału harmonicznego jednoznaczne określenie K może być trudne. Pamiętać
należy, iż o przydatności modelu sygnału do eksperymentów decyduje przede
wszystkim łatwość wyznaczenia różnicy w czasie dojścia sygnału do
poszczególnych SB (wyraźne maksimum funkcji korelacji zależne od K).
Autokorelacja szumu białego.
330
270
210
150
90
30
-30
0
256
512
768
1024
1280
1536
1792
2048
Rys. 15. Autokorelacja szumu białego.
4,5
Patrz [1]
32
Autokorelacja szumu wąskopasmowego.
50
30
10
-10
-30
-50
0
256
512
768
1024
1280
1536
1792
2048
Rys. 16. Autokorelacja szumu pasmowego.
1.6
x 10
4
Autokorelacja sygnału harmonicznego.
1.2
0.8
0.4
0
-0.4
-0.8
-1.2
0
256
512
768
1024
1280
1536
1792
2048
Rys. 17. Autokorelacja złożonego sygnału harmonicznego.
33
Pierwszy badaniu został poddany model złożonego sygnału harmonicznego.
Dla potrzeb doświadczeń utworzony został on z kilku sinusoid o losowo
dobranych częstotliwościach. Niestety, okazało się, że w funkcji korelacji
wzajemnej takiego sygnału wyróżnienie poszczególnych pików od opóźnionego
sygnału może być kłopotliwe (maksimum korelacji nie zawsze było związane z
K). Na zmianę właściwości korelacyjnych przebiegu nie miały wpływu
częstotliwości poszczególnych składowych jak i ich amplitudy. Przykładowa
funkcja korelacji wzajemnej sygnału harmonicznego pokazana jest na rys. 18. Jak
łatwo zauważyć w tym przebiegu trudno o jednoznaczne określenie wartości
przesunięcia K. Po pierwsze wartość Φ (m) nie osiąga dla danego przesunięcia
maksimum. Po drugie dla danego K wiele z pików ma podobną wartość i każdy z
nich mógłby zostać zinterpretowany przez układ detekcji jako wyznaczający
opóźnienie. Korzystanie z tego modelu może więc prowadzić do wielu błędów w
estymacji położenia obiektu.
Z powyższej analizy wynika, że należy skorzystać z innego modelu niż
złożonego sygnału harmonicznego. Ze względu na swoje właściwości nie będzie
on uwzględniany w dalszych rozważaniach. Jednakże znajomość przebiegu
funkcji korelacji wzajemnej sygnału harmonicznego okaże się przydatna przy
interpretacji doświadczeń w rzeczywistym układzie pomiarowym (rozdz. 6).
W rzeczywistości wiele obiektów emituje dźwięki składające się z
pojedynczych tonów, są to zazwyczaj złożone dźwięki o szerszym paśmie. Z tego
względu jak i na podstawie wyników wstępnej analizy matematycznej jako
następny model sygnału został zbadany szum wąskopasmowy. Dla potrzeb
doświadczeń szum taki był tworzony w sposób pokazany na rys. 19.
Już przy pierwszych próbach okazało się, że przebiegi funkcji korelacji
zgodne są z wynikami analizy teoretycznej – takie rezultaty są zadowalające. Aby
sprawdzić czy wyniki symulacji komputerowej mają swoje odzwierciedlenie w
rzeczywistości przeprowadzone zostały eksperymentalne nagrania na dyktafonie
(jeden mikrofon – efekt przesunięcia uzyskiwany był tak jak w przypadku szumu
wąskopasmowego przez przesunięcie o K – próbek).
34
Rys. 18. Korelacja wzajemna sygnału harmonicznego. Różnica w czasie
dojścia do SB wynosi 36 ms.
Generator
szumu
białego
BPF
Szum
wąskopasmowy
Rys. 19. Układ generacji szumu wąskopasmowego.
35
Wyniki doświadczeń przeprowadzonych na próbkach
zarejestrowanego
sygnału
były
bardzo
zbliżone
do
tych
rzeczywistego
z
szumem
wąskopasmowym. Źródłem dźwięków były autobusy miejskie, samochody
osobowe a nawet kroki idącego człowieka. W żadnym z tych przypadków
uzyskane przebiegi funkcji korelacji nie odbiegały znacząco od przebiegów tej
funkcji dla szumu wąskopasmowego. W każdym z nich łatwo było wyróżnić piki i
określić przesunięcie Przykładowe funkcje autokorelacji i korelacji wzajemnej
szumu wąskopasmowego oraz sygnału rzeczywistego zostały przedstawione na
poniższych rysunkach (rysunki nr 20 ÷ 25).
36
Przebieg szumu wąskopasmowego.
3
0.3
1
Amplituda
Amplituda
2
0
-1
0.1
-0.1
-0.3
-2
-3
0
0.03 0.06 0.09 0.12
Czas t=[s]
Autokorelacja.
0.15 0.18
-0.5
0.03
0.06 0.09 0.12 0.15
Czas t=[s].
Autokorelacja
0.18
45
Amplituda.
1000
Amplituda.
0
60
1600
400
-200
-800
30
15
0
-1400
-15
-2000
-0.18 -0.12 -0.06
0
0.06 0.12 0.18
Czas t=[s]
Korelacja wzajemna - przesunięcie ok. 63 ms.
1600
-30
-0.18 -0.12 -0.06
0
0.06 0.12 0.18
Czas t=[s].
Korelacja wzajemna - przesunięcie ok. 63 ms.
60
1200
45
800
400
Amplituda
Amplituda.
Przebieg sygnału rzeczywistego.
0.5
0
-400
-800
30
15
0
-15
-1200
-1600
-0.18 -0.12 -0.06
0
0.06
Czas t=[s].
0.12 0.18
-30
-0.18 -0.12 -0.06
0
0.06 0.12
Czas t=[s].
0.18
Rysunki nr 20 ÷ 25 (wierszami):
-
Rys. 20, 21 – przebiegi sygnałów,
Rys. 22, 23 – autokorelacje sygnałów,
Rys. 24, 25 – korelacje wzajemne sygnałów.
lewa kolumna – szum wąskopasmowy,
prawa – sygnał rzeczywisty.
37
5.2. Wielodrogowość i echa.
Problemem przy detekcji obiektów jest wielodrogowość sygnału. Nie ma
praktycznie możliwości abyśmy nasz system detekcji mogli ustawić w miejscu
gdzie nie występują żadne przeszkody terenowe, budynki. Zakładając nawet
możliwość pracy w obszarze pozbawionym przeszkód terenowych to sygnał może
odbić się od innych obiektów. Wszystkie przeszkody terenowe, obiekty powodują
powstanie echa. Jest to zjawisko niepożądane. Docierające echo może rozmyć
prążek korelacyjny czyli obraz obiektu (może wystąpić duży błąd lokalizacji).
Może też zostać zinterpretowane jako osobny obiekt. Jest więc echo zjawiskiem
niepożądanym i w miarę możliwości należałoby je usunąć. Echo jest to wierna
kopia sygnału powtórzona przesunięta w czasie. W celu jego eliminacji należy
zastosować narzędzia pozwalające na porównanie przesuniętych sygnałów. Taką
możliwość daje cepstrum sygnału. Jest ono definiowane jako:
c(n) = IFFT{log{FFT [X (n)]}},
Dokonując operacji logarytmowania widma sygnału zmieniamy mnożenie w
sumę. Przechodzimy z dziedziny częstotliwości w dziedzinę czasu. Na początku
cepstrum zgromadzona jest energia sygnału właściwego, echo uwidocznia się w
dalszych momentach czasowych. Jest ono reprezentowane przez pojedyncze
prążki przesunięte na osi czasu, wyodrębnione z głównego sygnału. Przykładowe
cepstra sygnałów bez echa i z echem przedstawione są na rysunkach 26 i 27.
Mechanizm usuwania echa w dziedzinie cepstrum polega na eliminacji
prążków echa z sygnału. Jak wiadomo w widmie prążki odzwierciedlają energię
poszczególnych składowych. Usuwając prążki echa usuwamy jego energię. Po
powrocie z dziedziny cepstrum w dziedzinę częstotliwości otrzymujemy sygnał
oczyszczony z echa. W dziedzinie cepstrum echo można usunąć np. przez:
38
energia sygnału
piki echa
Rysunki 26 i 27 (wierszami):
-
Rys. 26. – cepstrum sygnału bez echa,
Rys. 27. – cepstrum sygnału z echem.
39
− wyszukanie pików echa i zerowanie,
− przepuszczenie zlogarytmowanego widma przez filtr medianowy.
Obie metody są skuteczne. Pierwsza wymaga czasu potrzebnego na
znalezienie prążków echa i ich usunięcie. Ponadto niezbędnym jest określenie
poziomu odcięcia, tj. takiego, powyżej którego prążki są identyfikowane jako echo
i eliminowane. Problemem może być usuwanie słabych ech z sygnału.
Druga metoda opiera się na innym mechanizmie. Filtracja medianowa w
dziedzinie cepstrum niewątpliwie doprowadzi do deformacji widma sygnału.
Ponieważ kształt sygnału nie jest dla nas aż tak istotny (ważna jest tylko poprawna
funkcja korelacji wzajemnej) możemy pozwolić sobie na zniekształcenia
pozwalające zachować jego własności korelacyjne. Działanie cyfrowego filtru
medianowego polega na uporządkowaniu próbek wartościami od najmniejszej do
największej a następnie wybranie środkowej. Dzięki takiej filtracji jesteśmy w
stanie usuwać zakłócenia harmoniczne (co w tym przypadku nie jest istotne) a
także (co najważniejsze) zakłócenia impulsowe czyli w naszym przypadku echo.
Skonstruowany filtr medianowy uzupełnia ciąg próbek X(n) cepstrum po obu
stronach zerami (ich liczba zależy od rozmiarów okna filtru) a następnie wybiera
nieparzystą liczbę J – pierwszych próbek (gdzie J – rozmiar okna filtru). Po
wybraniu mediany okno przesuwa się dalej wzdłuż sygnału.
Na etapie doświadczeń okazało się, że nie można przepuszczać całego
cepstrum sygnału przez taki filtr gdyż prowadzi to do znacznej degradacji sygnału
i zaniku jego własności korelacyjnych. Wystarczy jednak aby filtrować tę część
zlogarytmowanego widma zawierającą echo aby właściwości korelacyjne sygnału
zostały zachowane a echo usunięte. Doświadczalnie dobrane optimum ilości
próbek wynosi 70% „środka” cepstrum, np. dla ciągu X(n)=1024 próbki filtrować
należy tylko część sygnału zawartą między próbkami 150 a 874. Na poniższych
rysunkach przedstawione zostały mechanizm usuwania echa przy użyciu filtracji
medianowej, oraz przykładowe realizacje sygnałów z echem przed i po usunięciu
echa (rys. 28 ÷ 31).
40
X(n)
FFT
Log
Filtracja
medianowa
FFT
ex
IFFT
Cepstrum
IFFT
Rys. 28. Schemat układu usuwającego echo z sygnału
przy użyciu cepstrum i filtracji medianowej.
pik sygnału
pik echa
Rys. 29. Korelacja wzajemna sygnałów z echem
przed filtracją medianową.
41
pik sygnału
pik echa
Rysunki 30, 31:
-
-
Rys. 30 – sygnał z echem usuniętym przy pomocy filtracji medianowej fragmentu
sygnału – widoczne zmniejszenie prążka echa (wchodzi w poziom szumów);
stosunek prążka sygnału do prążka echa powiększył się (z ok. 1.5 do 2.33).
Rys. 31 – filtracja medianowa całego sygnału – widoczna deformacja sygnału nie
pozwalająca określić opóźnienia.
42
5.3. Problemy lokalizacji.
Aby ocenić przydatność układu należy w przybliżeniu podać takie parametry
jak obszar obserwacji, rodzaj obiektów które system jest w stanie lokalizować,
maksymalną prędkość poruszania się obiektów, ilość możliwych jednoczesnych
wykryć.
Wszystkie parametry te parametry determinuje jedna wielkość – prędkość
rozchodzenia się fali akustycznej. Wynosi ona υ = 340 m / s .
5.4. Częstotliwość próbkowania.
Dostosowując się do typowych wartości używanych w telekomunikacji,
nagraniach akustycznych mamy do wyboru kilka typowych częstotliwości
próbkowania: 8 kHz, 11.025 kHz, 22.1 kHz, 44.1 kHz, 48 kHz. Większość
dźwięków w otaczającym nas świecie zawiera się w częstotliwościach do
5 ÷ 6 kHz . Aby spełnić warunek Nyquista należy więc brać pod uwagę
f p = 11025 Hz , f p = 22100 Hz lub f p = 44100 Hz . Wybór ten jest bardzo istotny.
Zwiększając częstotliwość próbkowania możemy analizować dźwięki z większego
przedziału częstotliwości. Jednak dla zachowania odpowiedniej rozdzielczości
widmowej częstotliwości należy jednocześnie zwiększać ciąg próbek pobieranych
do analizy. To pociąga za sobą konieczność korzystania z większych buforów
(pamięci), wzrasta nakład obliczeniowy na wyznaczenie funkcji korelacji
wzajemnej a co za tym idzie czas potrzebny na dokonanie niezbędnych obliczeń.
W efekcie wydłuża się czas wyznaczenia położenia obiektu. Ponieważ analiza
widmowa sygnałów poruszających się obiektów pokazuje (rys. 32), że 90%
energii sygnału zawiera się w przedziale
0 ÷ 5 kHz , to wystarczającą
częstotliwością próbkowania będzie f p = 11025 Hz . Dana częstotliwość przy
ciągu próbek N=1024 da nam rozdzielczość częstotliwościową równą:
43
Rys. 32. Widmo sygnału rzeczywistego.
∆f =
fp
N
= 10.76 Hz ,
oraz rozdzielczość odległościową wynoszącą:
∆R =
1
1
∗υ =
∗ 340 m / s = 0.0308 m = 3.08 cm ,
11025 Hz
fp
(10)
co wydaje się wartością zadowalającą. Za daną częstotliwością próbkowania
przemawia jeszcze jeden argument. Dla większości mikrofonów charakterystyki
przenoszenia są płaskie właśnie w przedziale do 5 ÷ 6 kHz (patrz rys. 5 str. 14).
44
Powyżej tych częstotliwości charakterystyki zaczynają odbiegać od linii prostych,
zwiększają się również różnice w charakterystykach amplitudowych pomiędzy
poszczególnymi mikrofonami (co może niekorzystnie wpływać na właściwości
pomiarowe układu).
5.5. Obszar obserwacji.
Obszar obserwacji zależy od rozmiarów szyku antenowego. Aby była
możliwa dokładna lokalizacja (wg założeń tego układu) obiekty powinny
znajdować się w strefie bliskiej. Jej promień jest w przybliżeniu określany jako:
Rsb = 10∗ Oi , j ,
(11)
gdzie Oi , j – oznacza odległość między najbardziej od siebie odsuniętymi
mikrofonami.
Mogłoby się wydawać, że w takim razie wystarczy odpowiednio daleko
rozstawić mikrofony aby regulować rozmiar strefy bliskiej. Jest to stwierdzenie
nie do końca prawdziwe. Należy bowiem pamiętać o skończonej prędkości
dźwięku i skończonym czasie obserwacji. Weźmy np. ustalone już wcześniej
częstotliwość próbkowania f p = 11025 Hz oraz długość ciągu próbek N=1024.
Określmy dla tych parametrów strefę obserwacji (strefę bliską). Na początek
jednak wyznaczmy Oi , j czyli maksymalny rozstaw mikrofonów:
Omax =
1
1
∗ N ∗υ =
∗ 1024 ∗ 340 m / s = 31.579 m ,
11025 Hz
fp
(12)
45
uwzględniając, że efektywność minimalna splotu wynosi η = 25% to nasze
Omax ostatecznie wynosi:
Omax eff = Omax ∗ η = 31.579 ∗ .75 = 23.684 .
(13)
− efektywność minimalna splotu – wartość procentowa ilości próbek
niezbędnych do tego aby można było wyróżnić pik korelacji wzajemnej.
Innymi słowy w tym przypadku sygnały muszą w splocie zachodzić na
siebie przynajmniej w 25% aby można było jednoznacznie określić K –
przesunięcie.
Biorąc pod uwagę powyższe wyliczenia (13) nasze R sb będzie wynosić:
Rsb = 10 ∗ Omax eff = 10 ∗ 23.684 ≅ 236 m .
(14)
Okazuje się jednak, że przy tak postawionych warunkach układ może nie
działać poprawnie. Nie będzie bowiem możliwości usunięcia echa. Aby istniała
możliwość usunięcia echa musi ono być zawarte w sygnale oryginalnym. W
przeciwnym razie da ono fałszywy obraz i wykryty zostanie nieistniejący w
rzeczywistości obiekt. Przy takim założeniu nasza strefa obserwacji uległa by
zawężeniu. Rozwiązaniem tego problemu może być cykliczna korelacja
wzajemna. Polega ona na gromadzeniu L – bloków próbek w banku pamięci.
Następnie sygnał z bloku L=1 jest splatany z sygnałami zarejestrowanymi w
poszczególnych blokacyh. W każdym splocie mogłaby nastąpić detekcja piku oraz
eliminacja echa danego sygnału. Po zakończeniu tychże operacji blok próbek o
L=L byłby usuwany a na jego miejsce wczytywany nowy (forma bufora
cyklicznego). Daje to nie tylko możliwość usuwania echa bez ograniczeń
odległościowych ale pozwala jednocześnie na zwiększenie rozstawu mikrofonów i
powiększenie strefy dalekiej z pominięciem zależności (12) i (13).
46
5.6. Rozmycie prążków korelacyjnych.
Prążki korelacyjne wyznaczają nam przesunięcie K. Dzięki temu możemy
zlokalizować obiekt, określić jego położenie. Co jednak się stanie gdy obiekt
zacznie się poruszać? Przy częstotliwości próbkowania f p = 11025 Hz i długości
ciągu próbek N=1024 czas obserwacji wynosi:
to =
1
∗ 1024 ≈ 93 ms .
11025 Hz
W tym czasie dźwięk przebywa ponad 30 m. Rozdzielczość odległościowa
dla układu z tak dobranymi parametrami wynosi ok. 3 cm. Samochód poruszający
się z prędkością ν = 60 km / h przebywa w tym czasie 1.5 m. Nastąpi więc
rozmycie prążków wynikające z ruchu obiektu. Będzie ono zależne od kierunku
ruchu obiektu względem układu pomiarowego. Wraz ze wzrostem prędkości
obiektu będzie rosło rozmycie jego obrazu. Może dojść do sytuacji gdy samochód
o długości 4 m przy prędkości 90 km/h (dystans przebyty w czasie 93 ms wyniesie
już 2.5 m) zostanie przedstawiony jako obiekt o długości 6.5 m. Tutaj możliwe są
takie rozwiązania jak np.:
− zwiększenie częstotliwości próbkowania (skrócenie czasu obserwacji) co
związane jest, przy stałej długości ciągu N – próbek, ze zmniejszeniem
rozdzielczości częstotliwościowej.
− zmniejszenie ilości pobieranych próbek przy zachowaniu danej
częstotliwości próbkowania (łączy się to jednak ze zmniejszeniem
smukłości prążków).
Ostateczne rozwiązania można jednak zaproponować dopiero przygotowując
system do pracy i określając wstępnie właściwości detekowanych obiektów.
47
5.7. Detekcja wielu obiektów.
Istotnym zagadnieniem jest lokalizacja wielu obiektów. Każde źródło
dźwięku znajdujące się w obszarze detekcji powinno posiadać swój obraz w
postaci prążka korelacyjnego. Aby wyznaczyć położenie poszczególnych
obiektów można skojarzyć prążki każdy z każdym. Otrzymamy skończoną liczbę
możliwych kombinacji położeń równą I = n k , gdzie k – ilość mikrofonów, n –
ilość prążków. Zakładając, że nasz układ składa się trzech mikrofonów ilość
kombinacji będzie wynosić I = n 3 . Dla układu składającego się z czterech
mikrofonów, wybierając kolejno po trzy z czterech SB, otrzymujemy cztery trójki
kombinacyjne położeń. Ponieważ każde poszczególne wyznaczanie położenia
obarczone jest błędem to spośród wszystkich lokalizacji (czterech trójek)
powinniśmy otrzymać n – grup bliskich siebie czterech położeń. Można je
wyodrębnić wyznaczając minimalny błąd pomiędzy poszczególnymi I –
lokalizacjami. Znając ilość prążków (równą ilości obiektów) wybieramy n – grupę
l – lokalizacji o najmniejszym błędzie. Estymację położenia otrzymujemy np.
poprzez wyznaczenie wartości środkowej poszczególnych współrzędnych
wszystkich punktów z danej n – grupy.
W przypadku gdy źródło dźwięku nie jest punktowe otrzymamy grupy
prążków jako obraz jednego obiektu. Ilość obiektów można oszacować na
podstawie ilości grup prążków. Przy dużej ilości źródeł dźwięku o możliwości ich
wyszczególnienia decydować będzie rozdzielczość zależna od częstotliwości
próbkowania i długości ciągu N – próbek.
Na rysunku 33 przedstawiony został mechanizm kojarzenia prążków oraz
sposób eliminacji fałszywych detekcji. Dla przejrzystości przedstawiona jest
sytuacja dla dwóch mikrofonów i trzech obiektów. Na rys. 34 przedstawiony
został mechanizm wybierania n – grup (cztery mikrofony, trzy obiekty).
48
Korelacja - pierwszy mikrofon.
900
600
300
0
-300
-600
-900
-0.091
-0.061
-0.031
kojarzenie
poszczególnych
prążków ze sobą
-0.001
Czas [t]=s.
0.029
0.059
0.089
0.029
0.059
0.089
Korelacja - drugi mikrofon.
900
600
300
0
-300
-600
-900
-0.091
-0.061
-0.031
-0.001
Czas [t]=s
Rys. 33. Mechanizm kojarzenia ze sobą poszczególnych pików.
49
Mechanizm wybierania n - grupy.
40
30
20
SB2
Odległość [m]
10
0
SB1
SB3
-10
SB4
poszczególne
n - grupy
-20
-30
-40
-20
-10
0
10
20
Odległość [m]
30
40
50
60
Rys. 34. Mechanizm wybierania n – grupy (dla przejrzystości
rysunku dane, detekowane piki, zostały losowo zaburzone).
Oznaczenia:
-
’*’ – dokładne położenie obiektu,
-
’o’ – położenie wyznaczone z pojedynczej trójki,
-
’x’ – błędne lokalizacje.
-
SB1 – SB4 – poszczególne stacje bazowe.
50
6. Opis doświadczeń z dwoma mikrofonami, rzeczywista
realizacja.
6.1. Założenia pomiarowe, schemat układu.
Aby praktycznie sprawdzić możliwość lokalizacji obiektu z wykorzystaniem
mikrofonów należało przeprowadzić kilka doświadczeń. Ogólnie dostępne są
systemy stereofoniczne. Można więc skorzystać z popularnego sprzętu audio i
dokonać jednoczesnego nagrania na dwa kanały. Oczywiście przy dwóch
mikrofonach można określić na podstawie opóźnień jedynie kąt pod którym
znajduje się obiekt względem normalnej wystawionej w środku odcinka łączącego
oba punkty rejestracji. Celem jest jednak udowodnienie iż możliwe jest w praktyce
określenie opóźnienia przy pomocy funkcji korelacji dla sygnałów akustycznych.
Doświadczenia zostały przeprowadzone dla dwóch różnych zestawów
pomiarowych:
−
dwa mikrofony AKG D66SE, magnetofon Technics XC12 oraz mikser
MX 12.
−
dwa mikrofony Shure 608N, magnetofon Technics NX800.
Schematy układu pomiarowego przedstawiony został na rysunku 35. W
drugim zestawie pomiarowym magnetofon wyposażony był w stereofoniczne
wejście mikrofonowe. W związku z tym został pominięty mikser. Dzięki temu
można było zmniejszyć szum w torze pomiarowym i porównać ze sobą wyniki
obu doświadczeń. Mikrofony zostały ustawione w odległości ok. 12 m od siebie.
Sygnał nagrywany był na kasetę. Następnie po zakończeniu nagrań sygnał
przetwarzany był z analogowej na postać cyfrową w komputerze (komputer
spełniał rolę filtru antyaliasingowego – program Cool ‘95 – oraz układów
próbkującego, analizy i przetwarzania sygnałów).
51
Mikser
Magnetofon
Komputer
Rys. 35. Schemat układu pomiarowego.
6.2. Warunki pomiarowe.
Nagrania dokonywane były w dwóch różnych warunkach pomiarowych:
− w okolicy oddalonej od zgiełku wielkomiejskiego i rzadko uczęszczanej
(małe szumy tła).
− w odległości ok. 100 m od trasy Łazienkowskiej ok. godz. 16.00 (duże
szumy tła).
Dla potrzeb analizy zostały przyjęte następujące parametry:
− częstotliwość próbkowania f p = 11025 Hz – jej dobór został podyktowany
przedziałem częstotliwości, w których zawiera się dźwięk silników
samochodowych (szersze uzasadnienie w rozdziale opisującym model
sygnału),
− długość ciągu próbek N=1024 – ze względu na czas obserwacji: dłuższy
ciąg to zbyt długi czas obserwacji; krótszy to zbyt mała selektywność
prążków korelacji wzajemnej i zawężenie strefy bliskiej (szczegóły w
rozdziale jw.).
Przedmiotem badań (źródłem dźwięków) były poruszające się samochody
osobowe.
52
6.3. Pomiary – realizacja, problemy .
Już na samym początku analizy dźwięków okazało się, że układ z mikserem
wnosi dużo szumu do toru pomiarowego, co przy niewielkich czułościach
mikrofonów powodowało znaczne zmniejszenie stosunku sygnał – szum. Nagrania
dokonane w pierwszym zestawieniu okazały się więc mało przydatne. Natomiast
drugi zestaw pomiarowy (bez miksera) umożliwił uzyskanie rejestracji
pozwalających na poprawną analizę. Pierwszym problemem okazały się same
obiekty. Większość ludzi jeździ już niestety (niestety z punktu widzenia osoby
przeprowadzającej pomiary) dobrymi zachodnimi samochodami, które poruszając
się z niewielką prędkością emitują sygnał o tak niewielkim natężeniu, że jego
rejestracja i obróbka są kłopotliwe (należy przypomnieć, że doświadczenia
przeprowadzane były nie na specjalistycznym lecz na lepszej klasy sprzęcie
domowego użytku). Najlepsze nagrania to rejestracje przejeżdżających starych
Polonezów czy „Malucha” z urwanym tłumikiem. Drugi problem wyniknął już
przy analizie komputerowej nagranych sygnałów. Funkcja korelacji wzajemnej
okazała się zupełnie nieczytelna, nieprzydatna. Nie przypominała ani tej
zamodelowanej szumem wąskopasmowym ani tej z testu nagrania z dyktafonu.
Przypominała raczej funkcję zmodulowaną sygnałem sinusoidalnym o niskiej
częstotliwości (rys. 36). Jasną i szybką odpowiedź przyniosła analiza widmowa.
Niezależnie od nagrania największe prążki znajdowały się zawsze na najniższych
częstotliwościach (patrz rys. 37). Po powiększeniu widma i dokonaniu prostych
obliczeń okazało się iż są to prążki na częstotliwościach 50, 100, 150, 200 i 400
Hz czyli przydźwięk z sieci zasilającej. Efekt taki nie występował w nagraniu z
dyktafonu gdyż był on zasilany bateryjnie. Należało więc zastosować filtr
usuwający zakłócenia sieci z badanego sygnału. Ponieważ mamy do czynienia z
obróbką blokową a nie ciągłą można było to osiągnąć poprzez zerowanie
wybranych próbek w bloku. Numery te łatwo wyznaczyć znając częstotliwość
próbkowania, długość ciągu próbek. Wartości te wyznaczają rozdzielczość analizy
widmowej:
53
zbędny szum
Rysunki 36 i 37:
- funkcja korelacji wzajemnej z zawartością harmonicznych.
- widmo
sygnału z harmonicznymi (strzałkami zaznaczono
poszczególne składowe).
54
∆f =
fp
N
=
11025 Hz
= 10.76 Hz .
1024
stąd zerowane powinny być próbki o numerach: 4, 5, 9, 10, 14, 17, 38 oraz
1008, 987, 1011, 1015, 1016, 1020 i 1021 . Pozwoli to na usunięcie częstotliwości
zakłócających z sieci bez stosowania filtrów cyfrowych wysokiego rzędu o bardzo
stromych zboczach. Dodatkowo dla polepszenia stosunku S/N sygnał filtrowany
był filtrem dolnoprzepustowym. Następnie usuwane było echo przy pomocy
filtracji medianowej. Dopiero po zabiegach filtracyjnych funkcja korelacji
wzajemnej sygnałów z dwóch kanałów przyjęła oczekiwany kształt (rysunki 38,
39 i 40).
Rys. 38. Charakterystyka filtru usuwającego
zakłócenia sieciowe.
55
pik przesunięcia
Rys. 39 i 40:
- sygnał rzeczywisty po filtracjach (porównaj z widmem sygnału
nagranego na dyktafon – rys. 32, s. 43).
- funkcja korelacji wzajemnej po filtracjach.
56
Przesuwając okno próbkowania blok po bloku wzdłuż sygnału udało się
uzyskać wykres zmian kąta w funkcji czasu (rys. 41). Nie jest to oczywiście
funkcja liniowa. Wynika to wprost z ruchu pojazdu. W czasie, gdy znajdował się
daleko zmiany w opóźnieniach między mikrofonami były niewielkie. Na odcinku
między mikrofonami kąt zmieniał się bardzo szybko a prążki korelacyjne były
dużo bardziej rozmyte. Wraz ze zwiększaniem się odległości pojazdu od
mikrofonów szybkość zmian kąta w czasie malała. W większości doświadczeń
samochody nie poruszały się z prędkością większą od 30 km/h i nie miało to
znaczącego wpływu na rozmycie funkcji korelacji wzajemnej. W jednym nagraniu
prędkość pojazdu wynosiła ok. 50 km/h. Przy tej prędkości dało się już zauważyć
wzrost liczby prążków wyznaczających jeden pojazd (rys. 42). Należy zwrócić
uwagę, że rozmycie będzie największe w momencie przejazdu samochodu
pomiędzy mikrofonami. Dla tego momentu czasowego również zmiany kąta jak i
błąd kąta są największe (patrz rys. 41).
57
Wykres zmian kąta w funkcji czasu
80
60
40
Kąt
20
0
-20
-40
-60
-80
0
5
10
15
20
25
30
Kolejne przesunięcia
35
40
45
50
Rys. 41. Wykres zmian kąta wyznaczanego w kolejnych
chwilach czasowych (kąta między normalną wystawioną
na linii łączącej dwa mikrofony a prostą namiaru).
strefa
rozmycia
prążków
Rys. 42. Rozmycie prążków korelacyjnych dla dużej
prędkości pojazdu lokalizowanego.
58
7. Podsumowanie.
Na podstawie przeprowadzonych analiz i doświadczeń można stwierdzić, że
wykonanie akustycznego, pasywnego systemu lokalizacji obiektów jest możliwe.
Z przedstawionych w części teoretycznej opisów i dowodów wynika, że do
estymacji położenia obiektu najbardziej uniwersalną i skuteczną jest metoda
hiperboliczna wykorzystująca funkcję korelacji wzajemnej do wyznaczenia różnic
czasów dojścia sygnału do poszczególnych Stacji Bazowych. Pozostałe – metoda
amplitudowa i pasmowa posiadają istotne wady uniemożliwiające ich szerokie
zastosowanie, mogą występować jako pomocnicze. Przeprowadzone doświadczenia praktyczne dają wyobrażenie o skali trudności estymacji położenia obiektu
przy wykorzystaniu układu pasywnego oraz problemach związanych z jego
realizacją,
np.
konieczność
wszechkierunkowych,
problem
stosowania
separacji
specjalistycznych
zakłóceń
mikrofonów
harmonicznych
(min.
sieciowych – 50 Hz).
Przy spełnieniu wszystkich wymagań każda z opisanych metod może znaleźć
zastosowanie w praktyce w zależności implementacji układu, zastosowań.
59
Bibliografia:
[1] Oppenheim Alan V., Schafer Ronald W., „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów”,
Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Warszawa 1979.
[2] „Cyfrowe przetwarzanie sygnałów – preskrypt laboratoryjny”, praca zbiorowa
pod kierunkiem prof. Wojtkiewicza, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa 1995.
[3] Brodziewicz Wincenty, Jaszczak Kazimierz, „Cyfrowe przetwarzanie
sygnałów: wybrane zagadnienia”, Wydawnictwo Naukowo – Techniczne,
Warszawa 1987.
[4] Żyszkowski Zbigniew, „Podstawy Elektroakustyki”, Wydawnictwo Naukowo – Techniczne, Warszawa 1984.
[5] Żyszkowski Zbigniew, „Miernictwo Akustyczne”, Wydawnictwo Naukowo –
Techniczne, Warszawa 1987.
[6] Berrtrand T. Fang, „Simple Solution for hyperbolic and Related Position
Fixes”, 748–753, IEEE Transactions On Aerospace And Electronic Systems
Vol. 26, No. 5, September 1990.
[7] Muhammad Aatique, „Evaluation Of TDOA Techniques For Position
Location In CDMA Systems”, Blacksburg, Virginia, September 1997.
(http://www.scholar.lib.vt.edu/theses/available/etd-82597-03345)
[8] E. Hepsaydir and W. Yates, „Performance Analysis Of Positioning Using
Existing CDMA Networks”, IEEE Position Location And Navigation Systems,
pp. 190–192, 1994.
60