RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN

RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN
Arkadiusz Ploski (Kielce)
Pojecie
rugownika należy do algebry klasycznej. W ostatnich latach
,
w zwiazku
ze
wzrostem znaczenia metod efektywnych algebry ukazalo sie, wiele
,
podreczników
i artykulów poświeconych
temu pojeciu.
Jednak nie wszystkie
,
,
,
użyteczne wlasności rugownika sa, dostatecznie znane: do nich należy formula
dla rugownika jako jakobianu pewnego ciagu
wielomianów. Celem tego ar,
tykulu jest przypomnienie tej formuly należacej
do Nasha (por. [8], str 412)
,
i zastosowanie jej do dowodu lematu Hensela (por. [6], Rozdzial I i [9]). Klasyczny wyklad wlasności rugownika Czytelnik znajdzie w podreczniku
A. Mo,
stowskiego i M. Starka [7]. Wiele interesujacych
twierdzeń
o
rugowniku
można
,
znaleźć w podrecznikach
[2]
oraz
[3]
gdzie
mimo
encyklopedycznego
charak,
teru tych ksiażek
zwiazek
z jakobianem nie jest wspomniany. Z nowszych ar,
,
tykulów o rugowniku cytujemy [4], autorzy podaja, tam jawny opis jednomianów
wystepuj
acych
w rugowniku. Szereg zastosowań tytulowego pojecia
Czytelnik
,
,
,
znajdzie w artykulach [10, 11, 12].
1
Rugownik
Niech m > 0 i n > 0 bed
zmiennych
,
, a, liczbami calkowitymi. Ustalmy dwa ciagi
~ = (A0 , . . . , An ), B
~ = (B0 , . . . , Bm ) i rozważmy wielomiany jednej zmienA
~ X) = A0 X n + A1 X n−1 + · · · + An oraz
nej X o ogólnych wspólczynnikach F (A,
~ X) = B0 X m +B1 X m−1 +· · ·+Bm . Sa to elementy pierścienia Z[A,
~ B][X].
~
G(B,
,
m−1
W pierścieniu tym rozważamy ciag
wielomianów
P
(X)
=
X
F
(X),
P
(X)
=
0
1
,
X m−2 F (X), . . . , Pm−1 (X) = F (X), Pm (X) = X n−1 G(X), Pm+1 (X) =
~ B)X
~ m+n−1 +
X n−2 G(X), . . . , Pm+n−1 (X) = G(X). Napiszmy Pi (X) = ci0 (A,
m+n−2
m+n−1
~
~
~
~
ci1 (A, B)X
+ · · · + ci,m+n−1 (A, B)X
dla i = 0, 1, . . . , m + n − 1
i rozważmy macierz
~ B)
~ = [cij (A,
~ B)]
~
SY L(A,
i=0,1,...,m+n−1
.
j=0,1,...,m+n−1
Macierz wyżej zdefiniowana, nazywamy macierza, Sylvestera. Pierwsze m wierszy
macierzy Sylvestera zawiera ciag
, A0 , . . . , An oraz zera, ostatnie n wierszy tej
macierzy zawiera ciag
B
,
.
.
.
,
B
0
m oraz zera.
,
Rugownikiem Sylvestera (dalej krótko: rugownikiem) nazywamy wyznacznik
~ B)
~ = det SY L(A,
~ B)
~ ∈ Z[A,
~ B].
~
R(A,
~ X) = A0 X 3 + A1 X 2 +
PRZYKLAD. Niech n = 3 i m = 2. Wówczas F (A,
2
~
A2 X + A3 , G(B, X) = B0 X + B1 X + B2 . Mamy
1
~ X) = A0 X 4 + A1 X 3 + A2 X 2 + A3 X + 0
XF (A,
~ X) = 0 X 4 + A0 X 3 + A1 X 2 + A2 X + A3
F (A,
~ X) = B0 X 4 + B1 X 3 + B2 X 2 + 0 X + 0
X 2 G(B,
~ X) = 0 X 4 + B0 X 3 + B1 X 2 + B2 X + 0
XG(B,
~ X)
G(B,
a wiec
,
=
0 X 4 + 0 X 3 + B0 X 2 + B1 X + B2
~ B)
~ =
R(A,
A0
0
B0
0
0
A1
A0
B1
B0
0
A2
A1
B2
B1
B0
A3
A2
0
B2
B1
0
A3
0
0
B2
.
Przypomnijmy podstawowa, wlasność rugownika.
Wlasność 1 Niech K bedzie
cialem i niech ~a = (a0 , . . . , an ) ∈ Kn+1 i ~b =
,
m+1
(b0 , . . . , bm ) ∈ K
bed
że a0 6= 0 lub b0 6= 0. Wtedy wielo,
, a, takimi ciagami,
miany F (~a, X), G(~b, X) ∈ K[X] maja, wspólny dzielnik dodatniego stopnia wtedy
i tylko wtedy, gdy R(~a, ~b) = 0.
Dowód. Wprost z definicji rugownika wynika, że warunek R(~a, ~b) = 0 zachodzi dokladnie wtedy, gdy ciag
wielomianów X m−1 F (~a, X), . . . , F (~a, X),
,
n−1
~
~
X
G(b, X), . . . , G(b, X) jest liniowo zależny nad cialem K. Oznacza to, że istnieja, Φ(X), Ψ(X) ∈ K[X] nie równe jednocześnie zero takie, że Φ(X)F (~a, X) =
Ψ(X)G(~b, X) przy czym obie strony równości sa, stopnia 6 m + n − 1. Jest
to równoważne z istnieniem wspólnego podzielnika dodatniego stopnia wielomianów F (~a, X), G(~b, X) (por. [7], Lemat na stronie 103).
2
Rugownik i jakobian
Zatrzymujemy oznaczenia wprowadzone wyżej. Rozważmy tożsamość
(1)
~ X)G(B,
~ X) =
F (A,
~ B)X
~ m+n + Q1 (A,
~ B)X
~ m+n−1 + · · · + Qm+n (A,
~ B)
~
= Q0 (A,
~ B][X].
~
~ ~
~ ~
w pierścieniu Z[A,
Jest wiec
, Q0 (A, B) = A0 B0 , Q1 (A, B) = A0 B1 +
~
~
A1 B0 , . . . , Qm+n (A, B) = An Bm .
Mamy
Wlasność 2
(2.1)
~ B)
~
SY L(A,
=
J(Q1 ,
...,
Qm+n )
J(B1 ,...,Bm ,A1 ,...,An ) ,
(2.2)
~ B)
~
R(A,
=
...,
Qm+n )
1,
(−1)mn det J(Q
J(A1 ,...,An ,B1 ,...,Bm ) .
(macierz Jacobiego
wielomianów Q1 , . . . , Qm+n ),
2
Dowód.
Różniczkujac
tożsamość (1) wzgledem
zmiennych B1 , . . . , Bm ,
,
,
A1 , . . . , An otrzymujemy
(2)
~ X) =
X m−1 F (A,
..
.
~ X)
F (A,
=


n−1
~


X
G(B, X) =








..





.







~ X)

G(B,
=


























∂Q1
m+n−1
∂B1 X
+
∂Q2
m+n−2
∂B1 X
∂Q1
m+n−1
+
∂Bm X
∂Q1
m+n−1
+
∂A1 X
∂Q1
m+n−1
∂An X
+
+ ··· +
∂Qm+n
∂B1
∂Q2
m+n
m+n−2
+ · · · + ∂Q
∂Bm X
∂Bm
∂Q2
m+n
m+n−2
+ · · · + ∂Q∂A
∂A1 X
1
∂Q2
m+n−2
∂An X
+ ··· +
∂Qm+n
∂An
Wlasność (2.1) wynika bezpośrednio z formul (2) i definicji macierzy Sylvestera. Wlasność (2.2) otrzymujemy z wlasności (2.1).
3
Lemat Hensela
~ bedzie pierścieniem szeregów formalnych p zmiennych X
~ =
Niech k[[X]]
,
~
(X1 , . . . , Xp ) o wspólczynnikach w ciele k. Rozważmy ciag
, P = (P1 , . . . , Pq ) ∈
~
~ = (Y1 , . . . , Yq ) i niech ~c = (c1 , . . . , cq ) ∈
])q wielomianów zmiennych Y
(k[[X]][Y
k q . Mamy nastepuj
ace
,
,
Twierdzenie o funkcjach uwiklanych
J(P ,...,P )
Zalóżmy, że P~ (0, ~c) = 0 oraz det J(Y11 ,...,Yqq) (0, ~c) 6= 0. Wtedy istnieje jedyny
~ X)
~ = (C1 (X),
~ . . . , Cq (X))
~ taki, że C(
~ ~0) = ~c oraz
ciag
C(
, szeregów potegowych
,
~
~
~
~
P (X, C(X)) = 0.
Twierdzenie powyższe jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia o szeregach uwiklanych (por. [5], Twierdzenie 7.1, gdzie autorzy rozważaja, szeregi
o wspólczynnikach rzeczywistych. Podany tam dowód przenosi sie, bez zmian
na przypadek dowolnego ciala).
Stosujac
, formule, Nasha (2.2) i podane wyżej twierdzenie udowodnimy slynny
~ Y ) = c0 (X)Y
~ N + c1 (X)Y
~ N −1 + · · · + cN (X)
~ ∈
Lemat Hensela Niech F (X,
~
k[[X]][Y
] bedzie
wielomianem
stopnia
N
>
1.
Zak
ladamy,
że
istniej
a
, ciagi
,
,
(a1 , . . . , an ) ∈ k n i (b1 , . . . , bm ) ∈ k m n, m > 0, m + n = N takie, że
(α) F (~0, Y ) =
c0 (0)Y n + a1 Y n−1 + · · · + an Y m + b1 Y m−1 + · · · + bm
jest rozkladem wielomianu F (~0, Y ) na czynniki wzglednie
pierwsze.
,
Wówczas istnieje jedyny rozklad postaci
~ Y ) = c0 (X)Y
~ n + a1 (X)Y
~ n−1 + · · · + an (X)
~ ·
(β) F (X,
~ m−1 + · · · + bm (X)
~
~
· Y m + b1 (X)Y
w k[[X]][Y
]
taki, że ai (0) = ai dla i = 1, . . . , n oraz bj (0) = bj dla j = 1, . . . , m
Dowód. Nawiazuj
ac
,
, do oznaczeń wprowadzonych w §1 tego artykulu oznaczmy
~ 0 = (A1 , . . . , An ), B
~ 0 = (B1 , . . . , Bm ) oraz ~a0 = (a1 , . . . , an ) i ~b0 = (b1 , . . . , bm ).
A
3
Rozważmy wielomiany
~ A
~0, B
~ 0 ) = Qi (c0 (X),
~ A
~ 0 , 1, B
~ 0 ) ∈ k[[X]][
~ A
~0, B
~ 0]
qi (X,
(3)
dla i = 1, 2, . . . , m + n.
Z (1) otrzymujemy
~ n + A1 Y n−1 + · · · + An Y m + B1 Y m−1 + · · · + Bm =
c0 (X)Y
~ m+n + q1 (X,
~ A
~0, B
~ 0 )Y m+n−1 + · · · + qm+n (X,
~ A
~0, B
~ 0)
= c0 (X)Y
(4)
a z wlasności Nasha (2.2)
(5) det
J(q1 ,
...,
qm+n ) ~ ~ 0 ~ 0
~ A
~ 0 , 1, B
~ 0 ).
(X, A , B ) = (−1)mn R(c0 (X),
J(A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm )
~
Podstawienie elementów ~0 ∈ k p , ~a0 ∈ k n i ~b0 ∈ k m na miejsce zmiennych X,
0 ~0
~
A , B w formule (4) i zalożenie (α) implikuja,
qi (~0, ~a0 , ~b0 ) = ci (~0)
(6)
dla
i = 1, . . . , m + n.
To samo podstawienie i formula (5) pokazuje, że
(7)
det
J(q1 ,
...,
qm+n ) ~ 0 ~ 0
(0, ~a , b ) = (−1)mn R(c0 (~0), ~a0 , 1, ~b0 ).
J(A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm )
~ A
~0, B
~ 0 ) = qi (X,
~ A
~0, B
~ 0 ) − ci (X)
~ dla i = 1, . . . , m + n. Jest
Oznaczmy teraz pi (X,
wiec
na
mocy
(6)
i
(7):
,
(8)
pi (~0, ~a0 , ~b0 ) = 0
dla i = 1, . . . , m + n
J(p1 ,
...,
pm+n ) ~ 0 ~ 0
oraz det
(0, ~a , b ) 6= 0
J(A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bm )
gdyż R(c0 (~0), ~a0 , ~b0 ) jako rugownik wzglednie
pierwszych wielomianów c0 (~0)Y n +
,
n−1
m
m−1
a1 Y
+ · · · + an i Y + b1 Y
+ · · · + bm jest 6= 0.
Stosujac
twierdzenie o funkcjach uwiklanych do ciagu
p~
=
,
,
(p1 , . . . , pm+n ) i punktu (~0, ~a0 , ~b0 ) stwierdzamy, że istnieje jedyny
~ . . . , an (X),
~ b1 (X),
~ . . . , bm (X))
~
~ m+n taki,
ciag
(a1 (X),
∈
k[[X]]
że
,
~
~
~
~
(a1 (0), . . . , an (0), b1 (0), . . . , bm (0))
=
(a1 , . . . , an , b1 , . . . , bm )
oraz
~ a1 (X),
~ . . . , an (X),
~ b1 (X),
~ . . . , bm (X))
~
~ m+n . Warunki te
p~(X,
= ~0 w k[[X]]
sa, równoważne warunkom (β) co dowodzi lematu Hensela.
Uwagi
1) W podanym przez nas dowodzie lematu Hensela pierścień szeregów formal~ można zastapić przez dowolny pierścień lokalny A, w którym
nych k[[X]]
,
prawdziwe jest twierdzenie o funkcjach uwiklanych w cytowanej przez nas
formie. W szczególności lemat Hensela prawdziwy jest dla pierścienia
~ zbieżnych szeregów o wspólczynnikach w ciele z waluacja zupelna
k{X}
,
,
k.
4
2) Wyprowadzenie lematu Hensela z użyciem formuly Nasha dla rugownika
pojawia sie, w pracach [6, 9]. Najbardziej popularny dowód lematu Hensela w geometrii analitycznej opiera sie, na twierdzeniu przygotowawczym
Weierstrassa (por. [1] i [5]). Dowód ten jest krótki w przypadku gdy cialo
przypadek dowolnego ciala k wymaga dok jest algebraicznie domkniete,
,
datkowych rozważań.
3) M. Nagata wprowadzil na poczatku
lat 50-tych minionego wieku pojecie
,
,
pierścienia Hensela jako pierścienia lokalnego, w którym prawdziwy jest
lemat Hensela. Pojecie
to studiowane bylo przez wielu autorów i dzisiaj
,
umieszczane jest w kursach algebry przemiennej. Dobre wprowadzenie do
przedmiotu Czytelnik znajdzie w monografii [6].
4) Czesto
lemat Hensela jest formulowany w slabszej formie: dla wielomianów
,
unormowanych. Jednak przedstawiona w tym artykule mocniejsza postać
pozwala na porównanie lematu Hensela z twierdzeniem przygotowawczym
Weierstrassa (por. wniosek z lematu Hensela podany niżej).
Przypomnijmy, że wielomianem wyróżnionym stopnia m > 0 nazywamy wielo~ taki, że b1 (~0) = . . . =
~ m−1 + · · · + bm (X)
~ ∈ k[[X]]
mian postaci Y m + b1 (X)Y
~
bm (0) = 0.
Wniosek (Twierdzenie przygotowawcze dla wielomianów)
~ Y ) = c0 (X)Y
~ N + c1 (X)Y
~ N −1 + · · · + cN (X)
~ ∈ k[[X]][Y
~
Niech F (X,
] bedzie
wie,
~0, Y ) jest dodatni i skończony.
lomianem stopnia N takim, że rzad
m
=
ord
F
(
,
~ Y ) = U (X,
~ Y )W (X,
~ Y ) w k[[X]][Y
~
~ Y)
Wtedy F (X,
] gdzie U (~0, 0) 6= 0 zaś W (X,
jest wielomianem wyróżnionym (koniecznie stopnia m). Para U, W jest jedyna.
Dowód. Gdy m = N wniosek jest trywialny, zalóżmy wiec,
że m < N . Mamy
,
zatem F (~0, Y ) = c0 (~0)Y N + c1 (~0)Y N −1 + · · · + cN −m (~0)Y m = (c0 (~0)Y N −m +
c1 (~0)Y N −m−1 + · · · + cN −m (~0))Y m i istnienie rozkladu wynika z lematu Hensela
bo cN −m (~0) 6= 0 na mocy definicji liczby m.
~
Aby sprawdzić jednoznaczność zalóżmy, że F = U W w k[[X]][Y
] gdzie
~
U (0, 0) 6= 0 oraz W jest wielomianem wyróżnionym. Jest zatem U (~0, Y ) =
c0 (~0)Y N −m + c1 (~0)Y N −m−1 + · · · + cN −m (~0) i W (~0, Y ) = Y m a wiec
, jedyność
pary U, W wynika z jednoznaczności w lemacie Hensela.
Oczywiście powyższy wniosek prawdziwy jest także dla szeregów zbieżnych
i ogólnie dla wielomianów zmiennej Y o wspólczynnikach w pierścieniu lokalnym,
w którym prawdziwe jest twierdzenie o funkcjach uwiklanych.
Literatura
[1] S. S. Abhyankar, Local Analytic Geometry, Academic Press 1964,
[2]
, Lectures on Algebra, vol I, World Scientific 2006,
[3] F. Apèry, J. P. Jouanolou, Élimination. Le cas d’une variable, Hermann
2007,
[4] I. M. Gelfand, M. M. Kapranov and A. V. Zelevinsky, Newton
Polytopes of the Classical Resultant and Discriminant, Advances in Math.
84 (1990), 237-254,
5
[5] St. Lojasiewicz, J. Stasica, Analiza formalna i funkcje analityczne, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego 2005,
[6] J. S. Milne, Étale Cohomology, Princeton 1980,
[7] A. Mostowski i M. Stark, Elementy algebry wyższej, Warszawa 1965,
[8] J. Nash, Real Algebraic Manifolds, Annals of Math. vol. 56, No. 3, November 1952,
[9] A. Ploski, Remarque sur le lemme de Hensel, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér.
Sci. Math. 28 (1980), no 3-4, 115-116,
[10]
, Teoria eliminacji i niezmienniki algebraiczne, I Konferencja Zastosowań Niezmienników Algebraicznych, Warszawa, 26-27 listopada 1994,
str. 21-30,
[11]
, Efektywne Twierdzenie o Zerach, Materialy XVIII Konferencji
Szkoleniowej z Geometrii Analitycznej i Algebraicznej, Lódź 1997, str. 4551,
[12]
, Wstep
do lokalnej teorii krzywych algebraicznych, Materialy na
,
XXVIII Konferencje, Szkoleniowa, z Geometrii Analitycznej i Algebraicznej
Zespolonej, Lódź 2007, str. 21-40.
SYLVESTER RESULTANT AND JACOBIAN
Summary. For any integers n > 0 and m > 0 we take interminates
~ = (A0 , . . . , An ), B
~ = (B0 , . . . , Bm ) and X and let R(A,
~ B)
~ be the SylveA
ster resultant of the polynomials F (X) = A0 X n + A1 X n−1 + · · · + An and
G(X) = B0 X m + B1 X m−1 + · · · + Bm .
~ B)X
~ m+n + Q1 (A,
~ B)X
~ m+n−1 + · · · +
Let F (X)G(X)
=
Q0 (A,
~ B)
~ in Z[A,
~ B][X].
~
~ B)
~ =
Qm+n (A,
In this article we recall that R(A,
...,
Qm+n )
1,
(−1)mn det J(Q
J(A1 ,...,An ,B1 ,...,Bm ) (see J. Nash, Annals of Math. vol 56, No. 3,
November 1952, page 412). Then using the above formula and the Implicit
Function Theorem we prove Hensel’s lemma for polynomials with coefficients
in the formal (convergent) power series rings.
6