Rachunki starozytnych Egipcjan

Rachunki starożytnych Egipcjan
21 grudnia 2006
Rachunki starożytnych Egipcjan
Starożytny Egipt – arytmetyka
Dodawanie
Mnożenie — wielokrotne dodawanie (podwajanie),
– np. 19 x 71
1
2
4
8
16
71
142
284
568
1136
19 × 71 = 71 + 142 + 1136 = 1349
– prekursorzy systemu dwójkowego!!!
jeszcze się z tym spotkamy (tzw. rosyjska tabliczka mnożenia)
Rachunki starożytnych Egipcjan
Dzielenie — operacja odwrotna (jeżeli bez reszty)
– np. 91/7
1
2
4
8
7
14
28
56
13
91
bo 7 + 28 + 56 = 91
Rachunki starożytnych Egipcjan
Dzielenie — operacja odwrotna (ale z resztą)
– np. 35/8
1
2
4
1/2
1/4
1/8
4+
8
16
32
4
2
1
1
4
+
1
8
35
Rachunki starożytnych Egipcjan
Papirus Rhinda
2
5
=
1
3
+
1
15
2
7
=
1
4
+
1
28
2
11
=
1
6
+
1
66
2
13
=
1
8
+
1
52
2
17
=
1
12
+
1
51
+
1
68
2
19
1
12
+
1
76
+
1
114
...
=
=
...
2
43
=
1
42
+
1
86
+
1
129
2
51
=
1
34
+
1
102
2
101
=
1
3
+
+
1
104
+
1
15
Rachunki starożytnych Egipcjan
1
301
Ułamki egipskie
dla mianowników podzielnych przez trzy (są w papirusie,
przedostatni wiersz naszej tabeli) obowiązuje
1
1
2
=
+
3n
2n 6n
nigdy liczba składników rozkładu nie przekracza 4
raczej mniejsze mianowniki niż większe
preferowane są mianowniki parzyste, zwłaszcza dla wyrazu
wiodącego
najpierw mianowniki mniejsze, potem większe
Rachunki starożytnych Egipcjan
Ułamki o liczniku równym jeden (Fibonacci)
Twierdzenie: każdy ułamek da się przedstawić jako skończona suma
ułamków o liczniku równym 1 (jednostkowym)
a
1
1
¬ <
n1
b
n1 − 1
→
n1 − 1 < b/a ¬ n1 →
n1 a − b < a .
1
a
n1 a − b
a1
−
=
≡
b
n1
bn1
b1
a
1
a1
=
+
b
n1
b1
Rachunki starożytnych Egipcjan
Ułamki o liczniku równym jeden, przykład
a/b = 9/13 → 1/2 < 9/13 < 1 → n1 = 2
1
5
9
− =
13 2
26
5 < 26/5 < 6 → 1/6 < 5/26 < 1/5 → n2 = 6
5
1
1
− =
26 6
39
9
1 1
1
= + +
13
2 6 39
Rachunki starożytnych Egipcjan