matematyka z sensem

MATEMATYKA Z SENSEM
Ryszard Kalina
Tadeusz Szymański
Marek Lewicki
Przedmiotowy system oceniania
wraz z określeniem wymagań edukacyjnych
Klasa I
Zakres podstawowy i rozszerzony
Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego
rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia.
Wymagania podstawowe (P) zawierają wymagania z poziomu (K) wzbogacone
o typowe problemy o niewielkim stopniu trudności.
Wymagania rozszerzające (R), zawierające wymagania z poziomów (K) i (P), dotyczą
zagadnień bardziej złożonych i nieco trudniejszych.
Wymagania dopełniające (D), zawierające wymagania z poziomów (K), (P) i (R),
dotyczą
zagadnień
problemowych,
trudniejszych,
wymagających
umiejętności
przetwarzania przyswojonych informacji.
Wymagania
wykraczające
(W)
dotyczą
zagadnień
trudnych,
oryginalnych,
wykraczających poza obowiązkowy program nauczania.
1
I. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
Uczeń potrafi :
Poziom (K) lub (P)
zna takie pojęcia, jak: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiory zbioru
wymienić elementy danego zbioru i jego podzbiory
podać przykłady zbiorów ( w tym przykłady zbiorów skończonych i nieskończonych)
podać określone podzbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i
rzeczywistych
potrafi rozróżniać liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne
zna definicję liczby całkowitej parzystej oraz nieparzystej
zna i potrafi zastosować cechy podzielności liczb naturalnych
wskazać liczby pierwsze i liczby złożone
rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze
wyznaczyć najmniejsza wspólna wielokrotność i największy wspólny dzielnik
przedstawić przedział na osi liczbowej rozumie pojęcie przedziału, rozpoznaje
przedziały ograniczone i nieograniczone
rozstrzygnąć, czy dana liczba należy do danego przedziału liczbowego
zapisać za pomocą przedziałów zbiory opisane nierównościami
sprawnie wykonywać działania na ułamkach zwykłych i na ułamkach dziesiętnych
zna i stosuje w obliczeniach kolejność działań i prawa działań w zbiorze liczb
rzeczywistych
porównywać liczby rzeczywiste
zamienić ułamek zwykły na dziesiętny i dziesiętny na zwykły
wykonywać działania na potęgach o wykładniku naturalnym, całkowitym i
wymiernym
zna prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i stosuje je w
obliczeniach
sprawnie sprowadza wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci i oblicza ich
wartości dla podanych wartości zmiennych
wyłączać wspólny czynnik z różnych wyrażeń
sprawnie posługiwać się wzorami skróconego mnożenia i sprawnie wykonuje
działania na wyrażeniach je zawierających
(a b) 2 a 2 2ab b 2
( a b) 2
a2
2ab b 2
a 2 b 2 ( a b) ( a b)
usuwać niewymierność z mianownika ułamka
zna pojęcie pierwiastka arytmetycznego z liczby nieujemnej i potrafi stosować prawa
działań na pierwiastkach w obliczeniach
obliczać pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych
włączyć czynnik pod znak pierwiastka i wyłączyć czynnik spod tego znaku
dowodzić proste twierdzenia
zna definicję logarytmu i potrafi obliczać logarytmy bezpośrednio z definicji
stosować w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm
potęgi
2
stosować w obliczeniach wzór na zamianę podstaw logarytmu
obliczyć procent danej liczby, a także wyznaczyć liczbę, gdy dany jest jej procent
obliczyć, jakim procentem liczby jest druga liczba
określić, o ile procent dana wielkość jest większa (mniejsza) od innej wielkości
posługiwać się procentem w prostych zadaniach tekstowych (w tym wzrosty i spadki
cen, podatki, kredyty i lokaty)
rozumie pojęcie punktu procentowego i potrafi się nim posługiwać
wskazać przykłady zastosowania procentów w życiu codziennym
zna definicję wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i jej interpretację
geometryczną
wyznaczyć przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej z żądaną dokładnością
wyznaczyć błąd względny, bezwzględny i procentowy przybliżenia
Poziom (R) lub (D)
potrafi wyłączać wspólną potęgę poza nawias
sprawnie wykonywać działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym
sprawnie zamieniać pierwiastki arytmetyczne na potęgi o wykładniku wymiernym i
odwrotnie
sprawnie przekształcać wyrażenia algebraiczne zawierające potęgi i pierwiastki
sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi i pierwiastki z zastosowaniem
wzorów skróconego mnożenia
podać zapis symboliczny wybranych liczb, np. liczby parzystej, liczby nieparzystej,
liczby podzielnej przez daną liczbę całkowitą, wielokrotności danej liczby
potrafi wykazać podzielność licz całkowitych zapisanych symbolicznie
zna wzory skróconego mnożenia: sześcian sumy, sześcian różnicy, suma
sześcianów, różnica sześcianów
sprawnie przekształcać wyrażenia zawierające powyższe wzory skróconego
mnożenia
usunąć niewymierność z mianownika ułamka, stosując wzór skróconego
mnożenia na sumę sześcianów lub różnicę sześcianów
dowodzić twierdzenia z zakresu liczb rzeczywistych i wyrażeń algebraicznych
Poziom (W)
zastosować do rozwiązania nietypowego problemu wiadomości
i umiejętności z podstawy programowej
3
II.RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
Uczeń potrafi :
Poziom (K) lub (P)
zna pojęcie dziedziny równania oraz potrafi ją określić
sprawdzić czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem równania lub nierówności
wie, jakie równanie nazywamy równaniem sprzecznym, a jakie równaniem
tożsamościowym
zna pojęcie równania (nierówności) z jedną niewiadomą
zna twierdzenia pozwalające przekształcać w sposób równoważny równania i
nierówności
rozwiązywać równania z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych
rozwiązywać nierówności z jedną niewiadomą metodą nierówności równoważnych
zaznaczyć na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności
rozwiązać proste zadanie tekstowe prowadzące do rozwiązania równania lub
nierówności liniowej
zna pojęcie układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
rozwiązywać algebraicznie (metodą przez podstawienie oraz metodą przeciwnych
współczynników) układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi
rozpoznać układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny
rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do układów równań liniowych
zna pojęcie równania kwadratowego
potrafi algebraicznie rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe
rozwiązywać nierówności kwadratowe z jedna niewiadomą
rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych
potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności z parametrem
potrafi rozwiązywać proste równania i liniowe z wartością bezwzględną
stosować do rozwiązywaniu równań i nierówności interpretację geometryczną
wartości bezwzględnej
rozwiązywać układy równań prowadzące do równań kwadratowych
stosować wzory Viete’a do rozwiązywania zadań dotyczących równań
kwadratowych z parametrem
Poziom (R) lub (D)
wyznaczyć dziedzinę równania/nierówności z jedną niewiadomą, w przypadku
koniunkcji warunków
rozwiązać zadanie tekstowe o złożonych zależnościach prowadzące do rozwiązania
równania, nierówności liniowej, równania kwadratowego oraz układów równań
rozwiązać równanie i nierówność z wartością bezwzględną o podwyższonym
stopniu trudności
rozwiązać równanie i nierówność z parametrem o podwyższonym stopniu
trudności
4
Poziom (W)
rozwiązać nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności) prowadzące do
równań, nierówności liniowych, równań kwadratowych oraz układów równań
rozwiązać nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności) prowadzące do
rozwiązania równań, nierówności liniowej, równania kwadratowego oraz
układów równań z parametrem
III. TRYGONOMETRIA
Uczeń potrafi :
Poziom (K) lub (P)
wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o
miarach od 0° do 180°
podać określenie funkcji trygonometrycznej kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
korzystać z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic
lub obliczonych za pomocą kalkulatora)
podać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów : 30°, 45°, 60°
obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla danego kąta ostrego w trójkącie
prostokątnym, w którym dane są długości dwóch boków
wyznaczyć długości boku w trójkącie prostokątnym , mając daną długość innego
boku i miarę kąta ostrego
obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta (90 - ) znając wartość
kąta
podać podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego
kąta
skonstruować kąt ostry, mając daną funkcję trygonometryczną tego kąta
wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, mając daną wartość
jednej z funkcji trygonometrycznych
potrafi obliczać wartości wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne kątów
30 , 45 , 60
przekształcić wyrażenia trygonometryczne z uwzględnieniem związków między
funkcjami trygonometrycznymi
sprawdzić proste tożsamości trygonometryczne
wyznaczyć kąta nachylenia prostej określonej wzorem do osi OX
stosować funkcje trygonometryczne w prostych zadaniach z planimetrii
5
Poziom (R) lub (D)
obliczyć wartość trudniejszych wyrażeń, w których występują funkcje
trygonometryczne
stosować związki między funkcjami trygonometrycznymi do dowodzenia tożsamości
trygonometrycznych
obliczyć wartość wyrażenia zbudowanego z funkcji trygonometrycznych, gdy
znana jest wartość danej funkcji trygonometrycznej kąta α
uzasadnić związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego w trójkącie
cos2
1 , tg ctg
1)
prostokątnym ( sin 2
stosować funkcje trygonometryczne w zadaniach z planimetrii
Poziom (W)
zastosować wiadomości o funkcji trygonometrycznej w zadaniach o treściach
praktycznych oraz w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności
IV.FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI
Uczeń potrafi :
Poziom (K) lub (P)
zdefiniować funkcję oraz rozstrzygnąć, czy dane przyporządkowanie zadane grafem,
wykresem, tabelą jest funkcją
określać funkcję za pomocą: grafu, tabeli, wzoru, wykresu, opisu słownego
wskazać zależność funkcyjną w różnych sytuacjach np. fizyczną, geometryczną
wyznaczyć dziedzinę funkcji określonej prostym wzorem
obliczyć wartość funkcji liczbowej danej wzorem dla danego argumentu
obliczyć argument funkcji, gdy dana jest jej wartość
odczytać wartość funkcji dla danego argumentu oraz argument funkcji dla danej
wartości na podstawie jej wykresu lub tabeli
odczytać z wykresu własności funkcji (dziedzina, zbiór wartości, miejsce zerowe,
monotoniczność, znak funkcji)
odczytać z wykresu największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale
obliczyć miejsca zerowe funkcji w prostych przypadkach
na podstawie wykresu funkcji y f (x) przekształcać wykresy funkcji sporządzić
f ( x), y f x , y
f x ,y f x a b
wykresy funkcji: y
wykonać wykres funkcji liczbowej przedziałami liniowej
przekształcić wykres funkcji przez symetrię względem osi układu współrzędnych, osi
OX oraz OY
zapisać wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przekształcenia wykresu
funkcji f przez symetrię osiową względem osi OX, symetrię osiową względem osi
OY, symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, przesunięcie
równoległe o dany wektor
6
Poziom (R) lub (D)
narysować wykres funkcji, której zbiór argumentów jest dany przedziałami
liczbowymi
określić dziedzinę funkcji liczbowej danej wzorem w przypadku, gdy jej wyznaczenie
wymaga rozwiązania koniunkcji warunków, dotyczących mianowników lub
pierwiastków stopnia drugiego, występujących we wzorze funkcji
obliczyć miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem w trudniejszych przypadkach
opisać zależności z życia codziennego za pomocą funkcji
Poziom (W)
potrafi rozwiązywać nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności),
dotyczące przekształceń wykresów funkcji oraz własności funkcji
V.FUNKCJA LINIOWA
Uczeń potrafi :
Poziom (K) lub (P)
zna pojęcie proporcjonalności prostej
potrafi wskazać współczynnik proporcjonalności
rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem proporcjonalności prostej
zdefiniować funkcję liniową
wykonać wykres funkcji liniowej
odczytać własności funkcji liniowej na podstawie wykresu (dziedzina, zbiór wartości,
miejsce zerowe, monotoniczność, znak funkcji)
obliczyć miejsca zerowe funkcji liniowej
obliczyć współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu
współrzędnych
obliczyć argument funkcji liniowej, gdy dana jest wartość funkcji
podać warunek równoległości i prostopadłości prostych
potrafi napisać wzór funkcji liniowej równoległej (prostopadłej) do danej prostej i
przechodzącej przez dany punkt
odczytać współczynnik kierunkowy prostej i obliczyć go stosując wzór
sprawdzić czy dany punkt należy do prostej
rozpoznać proste równoległe/prostopadłe na podstawie ich równań kierunkowych
znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostych, rozwiązując układ równań
zamienić postać kierunkową prostej na ogólną i odwrotnie
obliczyć odległość dwóch punktów na płaszczyźnie
obliczyć odległość punktu od prostej
podać interpretację geometryczna układu dwóch równań liniowych
przeprowadzić analizę typów układów równań bez ich rozwiązywania
obliczyć współrzędne środka odcinka
7
obliczyć współrzędne końca odcinka, mając dany jego środek oraz jeden z końców
odcinka
zaznaczyć półpłaszczyznę określoną nierównościami liniowymi
sprawdzić, czy dany punkt należy do półpłaszczyzny określonej nierównością
podać interpretację geometryczną układu nierówności
rozwiązać graficznie układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi
znać warunek równoległości i prostopadłości prostych w postaci ogólnej
zna równanie okręgu o danym środku i promieniu
zamienić równanie okręgu z postaci ogólnej na kanoniczną i odwrotnie
określić wzajemne położenie dwóch okręgów oraz okręgu i prostej
Poziom (R) lub (D)
wyznaczyć równania środkowych i wysokości trójkąta
obliczyć odległość dwóch prostych równoległych
określić, czy trójkąt jest prostokątny, mając dane współrzędne jego wierzchołków
wyprowadzić równanie okręgu
znaleźć równanie okręgu, gdy dane są współrzędne trzech punktów należących
do okręgu
znaleźć równanie stycznej do okręgu
obliczyć współrzędne punktów, w których przecinają się dany okrąg i dana
prosta lub dwa dane okręgi
interpretować treść zadania tekstowego, sprawdzać zgodność otrzymanych wyników z
jego warunkami
przedstawić za pomocą układu równań lub nierówności część płaszczyzny układu
współrzędnych
Poziom (W)
zaproponować rozwiązanie zadania tekstowego o nietypowym problemie
opisywać figury geometryczne za pomocą równań, nierówności z uwzględnieniem
wartości bezwzględnej lub parametru
rozwiązywać nietypowe zadania o podwyższonym stopniu trudności
V.FUNKCJA KWADRATOWA
Uczeń potrafi :
Poziom (K) lub (P)
przekształcać funkcję kwadratową z jednej postaci w druga w zakresie postaci
kanonicznej, iloczynowej oraz ogólnej
określić współrzędne wierzchołka paraboli
naszkicować wykres funkcji kwadratowej i opisać jej własności
napisać wzór funkcji kwadratowej o zadanych własnościach
obliczyć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale
zastosować własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania prostych zadań
optymalizacyjnych
8
ustalić liczbę pierwiastków równania kwadratowego
rozwiązać algebraicznie i graficznie proste nierówności kwadratowe
przekształcać wykresy funkcji kwadratowej
zastosować wzory Viete`a do wyznaczania wartości wyrażeń z zastosowaniem
sumy i iloczynu pierwiastków równania kwadratowego
określić znak pierwiastków na podstawie wzorów Viete`a
Poziom (R) lub (D)
wyznaczyć najmniejszą lub największą wartość funkcji kwadratowej w prostych
zadaniach optymalizacyjnych
rozwiązywać bardziej złożone równania i nierówności kwadratowe
rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności kwadratowych
ustalić liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od parametru
rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną
rozwiązać równanie i nierówność kwadratową z wartością bezwzględną
zbadać dla jakich wartości parametru funkcja kwadratowa ma miejsca
zerowe, które spełniają określone warunki
zastosować wzory Viete`a w równaniach kwadratowych z parametrem
Poziom (W)
rozwiązać równanie dwukwadratowe
zbadać liczbę rozwiązań równania i nierówności z parametrem o podwyższonym
stopniu trudności (koniunkcja kilku warunków)
rozwiązać różne problemy dotyczące funkcji kwadratowej, które wymagają
niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysłów
9