rozumowanie logiczne

Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------
ĆWICZENIE 2
Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): wynikanie logiczne, wnioskowanie, niezawodny
schemat wnioskowania, wnioskowanie dedukcyjne, równoważność logiczna, definiowalność
spójników za pomocą formuły.
DEF. Mówimy, że formuła A wynika logicznie z formuł A1 ,, An w KRZ, jeżeli nie istnieje
wartościowanie w, takie że w A1     w An   1 i w A  0 .
FAKT. Formuła A wynika logicznie z formuł A1 ,, An w KRZ wtedy i tylko wtedy, gdy
A1    An  A jest tautologią KRZ
Tautologie implikacyjne
Prawo sylogizmu hipotetycznego
 p  q  p  q
 p  q  q  p
 p  q   q  r    p  r 
Prawa symplifikacji
pq p
Prawo odrywania
Prawo odrzucania
pqq
p   q  p  q
Prawo koniunkcji
Przykłady
.
Prawo sylogizmu warunkowego:
 p  q   q  r    p  r  .
Zatem p  r wynika z p  q , q  r .
Prawo odrywania:
 p  q  p  q .
Zatem q wynika z p  q , p.
–1–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------
DEF. Wnioskowaniem nazywamy układ zdań, z których jedno jest wyróżnione jako
wniosek, a pozostałe są przesłankami. W KRZ schematy wnioskowań zapisujemy w postaci
A1

A1 ,, An
A
albo
An
A
gdzie formuły A1 ,, An nazywamy przesłankami a formułę A wnioskiem tego schematu.
DEF. Schemat wnioskowania nazywamy niezawodnym, jeżeli wniosek wynika logicznie z
przesłanek w KRZ. Niezawodne schematy wnioskowania nazywamy też logicznymi regułami
wnioskowania KRZ.
TW. O podstawianiu w niezawodnych schematach wnioskowania
Jeżeli schemat wnioskowania W jest niezawodny, to schemat W  powstający z W przez
podstawienie za wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej dowolnej formuły jest
niezawodny w KRZ.
DEF. Wnioskowanie nazywamy dedukcyjnym, jeżeli jego schemat jest niezawodny.
–2–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------
Logiczne reguły wnioskowania
1. Reguła sylogizmu warunkowego
p  q, q  r
p r
2.Reguła odrywania (modus ponens)
p, p  q
q
3. Reguła odrzucania (modus tollens)
p  q , q
p
4. Reguła dylematu
p  q, p  r, q  r
r
5.Reguły opuszczania koniunkcji
pq
p
6. Reguła wprowadzania koniunkcji
p, q
p q
7. Reguły wprowadzania alternatywy
pq
q


 
 
p  q, q  p
pq
8. Reguła wprowadzania równoważności
–3–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------
DEF. Mówimy, że formuła A jest równoważna logicznie formule B w KRZ, jeżeli
w A  wB  dla każdego wartościowania w.
FAKT . Formuła A jest równoważna formule B w KRZ wtedy i tylko wtedy, gdy formuła
A  B jest tautologią KRZ.
TW. O równoważności.
Jeżeli formuły A i B są równoważne w KRZ, a formuła C  powstaje z C przez zastąpienie
niektórych wystąpień formuły A formuła B, to formuły C i C  są równoważne logicznie w
KRZ.
Rozważane dotychczas spójniki logiczne odpowiadały spójnikom występującym w mowie
potocznej. Możemy również zdefiniować abstrakcyjne spójniki logiczne poprzez zadanie
tabelki wartości logicznych. W przypadku spójników jednoargumentowych możemy to
uczynić na 2*2 = 4 sposobów, a w przypadku spójników dwuargumentowych na 2*2*2*2 =
16 sposobów.
Zestawienie wszystkich funktorów jednoargumentowych:
p
1
0
o1* p
0
0
o2* p
1
0
o3* p
0
1
o4* p
1
1
–4–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------
Zestawienie wszystkich funktorów dwuargumentowych:
p
q
po1 q
po 2 q
po3 q
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
Nazwa funktora
po 4 q
po5 q
0 0 1 0
0 0 0 1
po 6 q
1 1 0 0
po 7 q
1 0 1 0
po8 q
1 0 0 1
 - równoważność, „p wtedy i tylko wtedy, gdy q”
po9 q
0 1 1 0
 - alternatywa rozłączna „albo”
po10 q
0 1 0 1
po11 q
po12 q
po13 q
0 0 1 1
1 1 1 0
1 1 0 1
po14 q
po15 q
1 0 1 1
0 1 1 1
po16 q
1 1 1 1
0 - falsum dwuargumentowe, „i tak źle i tak źle”
 - koniunkcja, „i”
 - binegacja, „ani p ani q” (negacja alternatywy)
 - alternatywa, „lub”
 - implikacja, „jeżeli p, to q”
 - dyzjunkcja, „najwyżej jedno z dwojga”
(negacja koniunkcji)
1 - zawsze prawda
–5–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------
DEF. Mówimy, że spójnik jednoargumentowy  jest definiowalny przez formułę A p  , gdy
formuła  p  jest równoważna logicznie formule A p  .
Mówimy, że spójnik dwuargumentowy o jest definiowalny przez formułę A p, q  , gdy
formuła  p  q  jest równoważna logicznie formule A p, q  .
FAKT
a) przy pomocy  i  można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe,
b) przy pomocy  i  można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe,
c) przy pomocy  i  można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe,
d) przy pomocy samej  można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe,
e) przy pomocy samej  można wyrazić wszystkie funktory prawdziwościowe.
Niektóre definicje:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
 p  q  def p  q 
 p  q  def  p  q 
 p  q  def  p  q   q  p 
 p  q  def p  q 
 p  q  def p  q 
 p  q  def p  q   q  p 
 p  q  def p  q 
 p  q  def  p  q 
 p  q  def  p  q   q  p 


10.
p  p  p
11.
 p  q  def  p  q    p  q 
def
12.
 p  q  def  p  p   q  q 
10.
p   p  p 
11.
 p  q  def  p  q    p  q 
12.
def
 p  q  def  p  p   q  q 
–6–
Podstawy logiki i teorii mnogości
Ćwiczenie 2
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------
Ćwiczenie 2: wiadomości i umiejętności
1. Po ćwiczeniu 2 student powinien znać definicje pojęć podanych w nagłówku ćwiczenia
2. Student powinien posiadać następujące umiejętności:
 badać, czy dana formuła wynika logicznie ze zbioru formuł
 sprawdzać, czy dany schemat wnioskowania jest niezawodny metodą tablicową i metodą
nie wprost
 sprawdzać, czy dane rozumowanie jest dedukcyjne
 wykazywać, że dany spójnik logiczny jest definiowalny za pomocą danego zbioru
spójników, tzn. że jest definiowalny przez pewną formułę, zbudowaną z wykorzystaniem
spójników z tego zbioru.
–7–