Elementy teorii produkcji *** II. Neoklasyczna teoria przedsi¦biorstwa

***
Elementy teorii produkcji
***
II. Neoklasyczna teoria przedsi¦biorstwa
Zaªo»enia dotycz¡ce dziaªalno±ci przedsi¦biorstwa w warunkach konkurencji doskonaªej:.
(1) Przedsi¦biorstwo wytwarza jeden produkt,
zu»ywaj¡c k czynników produkcji.
(2) Proces produkcji opisuje skalarna funkcja
produkcji f : Rk+ → R+, z ci¡gªymi pochodnymi
cz¡stkowymi do drugiego rz¦du wª¡cznie,
rosn¡ca, zeruj¡ca si¦ w zerze, silnie wkl¦sªa i
dodatnio jednorodna stopnia 0 < θ < 1.
(3) Przedsi¦biorstwo nie ma bezpo±redniego
wpªywu na cen¦ wytwarzanego produktu ani na
poziom cen czynników produkcji.
(4) Rynek towarów jest chªonny i nie ma
trudno±ci ze zbytem wytwarzanych produktów.
(5) Celem przedsi¦biorstwa jest maksymalizacja
zysku lub minimalizacja kosztów produkcji.
Problem maksymalizacji zysku: Ile i jakie czynniki produkcji (praca, kapitaª, itp.) nale»y zaanga»owa¢, aby wytworzy¢ tak¡ ilo±¢ produktu, »e
ró»nica mi¦dzy jego warto±ci¡ i kosztem zaanga»owanych czynników produkcji jest maksymalna.
II.1. Przedsi¦biorstwo w warukach konkurencji
doskonaªej - strategia dªugookresowa.
Przykªad (jednoargumentowa funkcja produkcji
y = f (x)
Zaªo»enia: na rynku ustaliªa si¦:
cena wytwarzanego produktu p > 0
cena zu»ywanego czynnika produkcji v > 0
Zadanie maksymalizacji zysku przedsi¦biorstwa
ma posta¢:
π(x) = {pf (x) − vx : x > 0} → max.
Zadanie
maksymalizacji
si¦biorstwa (Z1)
zysku
przed-
π(x) = {pf (x) − hv, xi : x > 0} → max
Oznaczenia:
p cena wytwarzanego produktu;
f (x) ilo±¢ wytwarzanego produktu ( w jednostkach zycznych);
v wektor cen czynników produkcji;
x wektor nakªadów czynników produkcji (w
jednostkach zycznych)
Tw. 1. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja
produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca
si¦ w zerze, silnie wkl¦sªa oraz cena produktu
p > 0 i wektor cen czynników produkcji v > 0
speªniaj¡ warunki
∂f (x)
∂f (x)
lim p
< vi < lim p
, i = 1, . . . , k,
+
xi→+∞
∂xi
∂x
xi→0
i
to
(1) Zadanie maksymalizacji zysku przedsi¦biorstwa ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie optymalne x̄, dla którego π(x̄) > 0,
(2) warunkiem koniecznym i dostatecznym na
to, aby wektor x̄ > 0 byª rozwi¡zaniem optymalnym tego zadania jest speªnienie ukªadu równa«:
p
Def.1.
∂f (x)
|x=x̄ = vi,
∂xi
i = 1, . . . , k.
Funkcj¡ popytu na czynniki prok ,
dukcji nazywamy funkcj¦ ξ : intRk+1
→
int
R
+
+
która ka»dej parze (p, v) przyporz¡dkowuje jej
rozwi¡zanie optymalne x̄ = ξ(p, v) zadania
maksymalizacji zysku.
Tw. 2. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja
produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca
si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to funkcja popytu na
czynniki produkcji v̄ = ξ(p, v) jest:
(1) ci¡gªa i ró»niczkowalna na intRk+1
+ ,
(2) dodatnio jednorodna stopnia zero, tzn.
ξ(p, v) = ξ(λp, λv) = x̄
Funkcj¡ poda»y produktu nazywamy
funkcj¦ η : Rk+1
→ R+ tak¡, »e
+
Def.2.
ȳ = f (ξ(p, v)) = η(p, v).
Tw. 3. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja
produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca
si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to funkcja poda»y
produktu ȳ = η(p, v) jest:
(1) ci¡gªa i ró»niczkowalna na intRk+1
+ ,
(2) dodatnio jednorodna stopnia zero, tzn.
η(p, v) = η(λp, λv) = ȳ
Def.3. Funkcj¡ zysku nazywamy funkcj¦ π :
Rk+1
→ R+ która ka»dej cenie produktu p i wek+
torowi cen czynników produkcji v = (v1, . . . , vk )
przyporz¡dkowuje zysk
π(p, v) = pη(p, v) − hv, xi = pf (x̄) − hv, x̄i.
Tw. 4. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja
produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeru-
j¡ca si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to funkcja zysku
π(p, v) jest:
(1) rosn¡ca wzgl¦dem ceny produktu p;
(2) malej¡ca wzgl. cen czynników produkcji v;
(3) dodatnio jednorodna st. 1 wzgl. (p, v);
(4) wkl¦sªa wzgl¦dem (p, v);
(5) ci¡gªa i ró»niczkowalna wzgl¦dem (p, v).
Zadanie
(Z2)
minimalizacji
h(v, x)i → min;
kosztów
produkcji
f (x) = y = const > 0,
x>0
Tw. 5. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja
produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca
si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to wektor czynników
produkcji x̃ > 0 jest rozwi¡zaniem optymalnym
zadania minimalizacji kosztów produkcji ⇔ gdy
istnieje taka liczba λ̃ > 0, »e para (x̃, λ̃) speªnia
ukªad k + 1 równa« speªnienie ukªadu równa«:
p
∂f (x)
|x=x̃ = λ̃vi,
∂xi
i = 1, . . . , k.
f (x̃) = y.
Def.4. Funkcj¡ warunkowego popytu na czynniki produkcji nazywamy funkcj¦
k ,
ϕ : Rk+1
→
R
+
+
która ka»dej parze (v, y) przyporz¡dkowuje
rozwi¡zanie optymalne zadania (Z2) minimalizacji kosztów, tzn. x̃ = ϕ(v, y).
Def.5.
Funkcj¡ kosztów produkcji nazywamy
funkcj¦
c : Rk+1
→ R+ ,
+
postaci c(v, y) = hv, ϕ(v, y)i, która ka»dej parze
(v, y) > 0 przyporz¡dkowuje minimalny koszt
wytworzenia produkcji na poziomie y .
Tw. 6. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja
produkcji c(v, y) ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:
(1) c(v, 0) = 0;
(2) jest ci¡gªa na Rk+;
(3) dla ka»dego v > 0 jest rosn¡ca wzgl¦dem y;
(4) jest rosn¡ca i dodatnio jednorodna st. 1
wzgl. v;
(5) jest wypukªa wzgl¦dem v.
Przy ustalonych cenach czynników produkcji
funkcja kosztów c(v, y) jest funkcj¡ tylko jednej
zmiennej y.
Tw. 7. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja
produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca
si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa to funkcja kosztów
c(y) jest ci¡gªa i silnie wypukªa.
Tw. 8. Je»eli skalarna, k-argumentowa funkcja
produkcji f : Rk+ → R+, jest rosn¡ca, zeruj¡ca
si¦ w zerze i silnie wkl¦sªa i dodatnio jednorodna
stopnia θ > 0, to funkcja kosztów c(y) i funkcja
warunkowego popytu na czynniki produkcji ϕ(y)
speªniaj¡ warunki:
c(y) =
1
y θ c(1),
ϕ(y) =
1
y θ ϕ(1),
gdzie c(1) oznacza minimalny koszt wytworzenia
jednostki produkcji, a ϕ(1) = (ϕ1(1), . . . , ϕk (1))
odpowiadaj¡cy mu wektor warunkowego
popytu na czynniki produkcji.
Zadanie maksymalizacji zysku (Z3)
π(y) = {py − c(y)} → max,
y > 0.
Tw. 9. Je»eli funkcja kosztów c(y) jest rosn¡ca,
ró»niczkowalna i silnie wypukªa oraz
dc(y)
dc(y)
< p < lim
,
y→0 dy
y→+∞ dy
lim
to
(1) zadanie maksymalizacji zysku przedsi¦biorstwa (Z3) ma dodatnie rozwi¡zanie
optymalne ȳ > 0,
(2) warunkiem koniecznym i dostatecznym na
to, aby ȳ > 0 byªo rozwi¡zaniem optymalnym
zadania (Z3) jest speªnienie równania:
dc(y
p
|y = ȳ = p.
dy
Tw. 10. Zadanie maksymalizacji zysku (Z1)
ma rozwi¡zanie optymalne x̄ wtedy i tylko wtedy, gdy zadanie maksymalizacji zysku (Z3) ma
rozwi¡zanie ȳ = f (x̄).