Twierdzenie - dwumian Newtona

Twierdzenie ( dwumian Newtona )
∧ ∧ (a + b)
n
n ∈ ℕ a ,b ∈ R
 n  n−k k
= ∑  a b
k =0  k 
n
Dowód indukcyjny:
I krok indukcyjny
Niech n = 1 wtedy lewa strona równania ma postać:
(a + b)
1
= a + b , natomiast prawa strona równania
przyjmuje postać:
 1  1− k k
 1  1−0 0 1 1−1 1
a
b
=
∑
k 
 0  a b +  1 a b = a + b
k =0  
 
 
1
stąd otrzymujemy, Ŝe wzór jest prawdziwy dla n = 1,
poniewaŜ obie strony równania są sobie równe.
II krok indukcyjny
ZałoŜenie indukcyjne:
Niech n = m, gdzie: m ∈ ℕ ∧ m ≥ 2
wtedy równanie ma postać:
1
(a + b)
m
 m  m−k k
∑
 k a b
k =0 

m
=
Teza indukcyjna:
Niech n = m + 1 otrzymujemy wtedy, Ŝe:
(a + b)
m +1
=
 m + 1 m+1− k k
b
∑
 k a
k =0 

m +1
Dowód tezy:
(a + b)
m +1
=
(a + b) (a + b)
m
z załoŜenia
=
 m  m−k k
(a + b) ∑  a b =
k =0  k 
m
 m  m− k k
m
= a ∑   a b + b ∑   a m −k b k =
k =0  k 
k =0  k 
m
m
 m  m−k +1 k m  m  m−k k +1
b + ∑  a b =
∑
 k a
k =0 
k =0  k 

m
 m  m+1−k k m+1  m  m−( k −1) ( k −1)+1
= ∑  a
b +∑
b
=
a
k
k
−
1
k =0 
k =0+1 


m
 m  m+1−0 0 m  m  m+1−k k  m+1  m  m+1−k k
=   a
b + ∑ a
b  + ∑
a
b =

k =1  k 
 0 
 k =1  k − 1
 m+1 m  m  m+1−k k   m  m  m+1−k k  m  m+1−( m+1) m+1 
= a + ∑   a
b  + ∑ 
b +
b =
a
a
k
k
−
1
m
+
1
−
1
k =1 





  k =1 

2
= a
m +1
= a
m +1
= a
m +1
 m  m  m+1−k k m  m  m+1−k k   m  0 m+1
+ ∑   a
b + ∑
b  + a b
=
a
k
k
−
1
m
k =1 

 k =1  
  
  m   m   m+1−k k  m+1
b +b
+ ∑    + 
a
k
k
−
1
k =1 


   
m
 m   m   m+1
  +
=

 k   k −1  k 
=
 m + 1 m+1−k k
+ ∑
a
b + b m+1 =

k =1  k

m
 m + 1 m+1−0 0 m  m + 1 m+1−k k  m + 1 0 m+1
= 
=
b + ∑
b +
a
a
a b
0
+
1
k
m
k =1 





=
 m + 1 m+1−k k
b
∑
 k a
k =0 

m+1
cnd.
w takim razie na podstawie zasady indukcji matematycznej
otrzymujemy, Ŝe:
∧ ∧ (a + b)
n ∈ ℕ a ,b ∈ R
n
 n  n−k k
= ∑  a b
k =0  k 
n
W zaprezentowanym powyŜej dowodzie indukcyjnym wzoru
dwumianowego Newtona zostały zastosowane pewne
własności symbolu sumy
∑
m
oraz symbolu Newtona   .
k
3
1. Własności symbolu sumy uŜyte w powyŜszym dowodzie
n
a)
∑c
k =m
k
n
b)
∑c
k
k =m
n
c)
∑c
k =m
k
=
n +1
∑c
k −1
k = m +1
= cm +
=
n
k = m +1
n −1
∑c
k =m
∑c
k
k
+ cn
m
2. Własności symbolu Newtona  
k
gdzie: m, k ∈ ℕ ∧ m ≥ k ≥ 0
z definicji
=
m!
,
k !( m − k )!
m
m
a)   = 1,   = 1
0
m
m  m 
b)   + 

k
k
−
1
  

=
=
z definicji
=
m!
m!
+
=
k !( m − k )! ( k − 1)!( m − ( k − 1) )!
m!
m!
+
=
k !( m − k )! ( k − 1)!( m − k + 1)!
k ! = k ( k − 1)!
( m − k + 1)! = ( m − k + 1)( m − k )!
4
=
=
=
m!( m − k + 1)
m!( m − k + 1 + k )
m !k
+
=
=
k !( m − k + 1)! k !( m − k + 1)!
k !( m − k + 1)!
m!( m + 1)
k !( m − k + 1)!
=
( m + 1)! =  m + 1
k !( m + 1 − k )!  k 
5