Lista nr 3 Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. Pochodna

Lista nr 3
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej. Pochodna funkcji. Twierdzenia o wartości
średniej i ich zastosowania. Ekstrema lokalne i globalne funkcji. Reguła de L’Hospitala.
Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia wykresu funkcji. Badanie przebiegu zmienności
funkcji.
Zad. 1 Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie obliczyć pochodną funkcji:
1) f x   x 2 ,
x0  4 ; 2) f x   sin x , x0   ; 3) f x   x , x0  9 .
Zad. 2 Obliczając pochodne jednostronne rozstrzygnąć, czy istnieją pochodne funkcji:
1) y  x w punkcie x0  0; 2) y  x 2  x 2  4 w punkcie x0  2 .
Zad. 3 Korzystając z reguł obliczania pochodnych obliczyć pochodne następujących funkcji:
1 3
5
1) y  5 x 3  2 x 2   2  x  3 x ; 2) y  x  3e x  2 ln x; 3) y  25 x  2 ;
x x
x
2
3x  4 x
4) y  sin x  cos x; 5) y  2arctgx  arcctgx  arccos x; 6) y 
;
4x 2  3
x  ex
7) y  2
; 8) y  xe x ; 9) y  10 x 3 ln x; 10) y  5 sin( 2 x); 11) y  cos(sin x);
2x  1
5
cos 3 x
12) y  sin 2 x; 13) y  e 4 x  7 ; 14) y  (1  4 x )tg (3 x); 15) y 
; 16) y  tg 3 x ;
sin 4 x
5
2
1
x 7  9 ; 19) y  e x ln x; 20) y  sin(cos ); 21) y  ctg (3 x 4 );
x
ln(sin x)
x3
19) y 
; 20) y  log 3 ( x 2  1) 2 ; 21) y  3 arctg
; 25) y  log 1 3 x  1;
ln(cos x)
4
2
17) y  x sin( 2 x ); 18) y 


22) y  x x ; 23) y  (sin x) x ; 24) y  (arcsin x) ctgx ; 27) y  2 3 .
x
Zad. 4 Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji w punktach o podanej odciętej:
ex
1 x
1) f x  
, x0  0;
2) f ( x)  arctg
, x0  1.
x 1
1 x
Zad. 5 Obliczyć pochodne rzędu drugiego i trzeciego następujących funkcji:
1) y  3x 3 ; 2) y  arccos x; 3) y  xe sin x ; 4) y  4 x 4  7 x 2  12 x  6.
Zad. 6 Zbadać monotoniczność następujących funkcji:
1) y  2 x 3  3x 2  12 x  1; 2) y  2 x  x 2 ; 3) y  x ln x, 4) y  x 2 e  x .
Zad. 7 Sprawdzić, czy poniższe funkcje spełniają warunki twierdzenia Rolle’a w przedziale <-1,1>:
1) f ( x)   x 2  1; 2) f ( x)  1  x .
Zad. 8 Czy funkcja f ( x)  3x 2  5 spełnia w przedziale <-2,0> warunki twierdzenia Lagrange’a?
Jeśli tak, to wyznaczyć punkt c występujący w tezie tego twierdzenia.
Zad. 9 Stosując regułę de L’Hospitala obliczyć granice:
1
x  2x  x
1  cos x
x ; 4) lim ln x ; 5) lim sin x
1) lim
; 2) lim x
; 3) lim
2

x
1
x 0 2 x  3 x
x 0 2  e
x 
x  x 3
x 0 x cos x
2
1 e x
tgx
; 9) lim x(e1 / x  1);
6) lim (1  x)  ln(1  x); 7) lim (  2arctgx )  ln x; 8) lim
x 
x 
x 1


x
)
2 ln( x 
2
1
ln sin 2 x
1
1 2
2
10) lim (ctgx  ); 11) lim x 2 e x ; 12) lim (1  ) x ; 13) lim (tgx ) 2 x  ; 14) lim
.

x 0
x 
x 0
x 0 ln sin x
x
x
x
sin
3
2
Zad. 10 Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne następujących funkcji:
x2

3x 2  4 x  4
1) y  x  6 x  9 x  4; 2) y  2
; 3) y  x 2 e 2 ; 4) y  x 2 ln x.
x  x 1
3
2
Zad. 11 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w zadanym przedziale:
1) y  x  2 ln x x  1, e ; 2) y  x 4  2 x 2  5 x  2,2 ; 3) y  arctgx 2 w R.
Zad. 12 Wyznaczyć przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia wykresu funkcji:
1) y 
1 x
1
; 2) y  ln( x 2  1); 3) y  x ln ;
2
x
1 x
Zad. 13 Wyznaczyć asymptoty wykresów:
1) y 
3  x2
2x 2  1
; 2) y 
; 3) y  xarctgx.
2 x
x2
Zad. 14 Zbadać przebieg zmienności funkcji:
1
2
1) y  3( x  1)( x  2)( x  ); 2) y  4  ; 3) 2 x  x 2 ;
2
x
4) y  x ln x; 5) y  x 2 e x .
Zad. 15 Wielomian f ( x)  2 x 4  x 3  2 x 2  x  2 przedstawić w postaci sumy potęg dwumianu
x  1.
Zad. 16 Obliczyć przybliżoną wartość następujących wyrażeń:
1) 4 16,64; 2) 8,76; 3) (2,01) 2 ; 4) arctg (0,98); 5) sin 29.
Zad.17 Drut o długości a cm rozcięto na dwie części. Z jednej utworzono kwadrat, a z
drugiej koło. Jaka powinna być długość każdej z części, aby suma pól otrzymanych figur
osiągnęła maksimum.
Zad.18 Jaki powinien być stosunek wymiarów puszki do konserw w kształcie walca, aby
przy danej objętości V zużyć na jej wyrób jak najmniej blachy?