Zad 1. Wyznaczyć i zaznaczyć na płaszczyźnie dziedzinę

Zad 1. Wyznaczyć i zaznaczyć na płaszczyźnie dziedzinę następujących funkcji:
(a) f (x, y) = ln (−x − y)
(b) f (x, y) = ctg (x − y)
(c) f (x, y) = arccos(x + y)
2 +y 2
(d) f (x, y) = arctg xx2 −y
2
(e) f (x, y) =
p
x2 − y 2
Zad 2. Obliczyć granice iterowane i granice funkcji (o ile istnieją):
2
(a) lim(x,y)→(0,0) x2x+yy 2
π
(b) lim(x,y)→(1,0) sin x2 +y
2
1
(c) lim(x,y)→(0,0) sin x2 +y2
1
(d) lim(x,y)→(0,0) x sin x2 +y
2
xy
(e) lim(x,y)→(0,0) x−y
x2 y 2
x2 y 2 +(x+y)2
2 +y 2
limx→+∞,y→+∞ xx4 +y
4
(f) lim(x,y)→(0,0)
(g)
(h) limx→1+ ,y→0+ logx (x + y)
Zad 3. (wazniak, ćwiczenie 6.4) Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
następujących funkcji:
(a) f (x, y, z) = xy 2 z 3 − y sin z
√
(b) f (x, y, z) = x y − ez ln y
(c) f (x, y, z) = x2xyz
2
+y√
(d) f (x, y, z) = xz+ y
(e) f (x, y, z) = x+y
x+z
z
(f) f (x, y, z) = x y
z
(g) f (x, y, z) = xy
Zad 4. Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu następujących
funkcji:
(a) f (x, y) = sin2 (2x + y)
y
(b) f (x, y) = exe
(c) f (x, y) = ln(x2 + y)
Zad 5. (EGZ 2011) Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji
z = 2xy 2 + y ln y + x2 w punkcie (2, 1, 8). Wyznaczyć gradient tej funkcji w punkcie
(2, 1).
Zad 6. Znaleźć równanie płaszczyzny stycznej w punkcie A = (1, 1, 1) do powierzchni danej równaniem (x2 + y 2 + z 2 )2 − x2 + y 2 − z 2 − 8 = 0 .
Zad 7. Wykazać, że powierzchnie dane równaniami x + 2y − ln z + 4 = 0 oraz
x2 − xy − 8x + z + 5 = 0 są styczne w punkcie A = (2, −3, 1). Wyznaczyć równanie
ich wspólnej płaszczyzny stycznej w tym punkcie.