Metoda zmiennych instrumentalnych i uogólniona metoda momentów

Metoda zmiennych
instrumentalnych i uogólniona
metoda momentów
Wykład 14
1
Literatura
• B. Hansen (2013) Econometrics, strona
internetowa autora
2
Problem endogenicznych
zmiennych objaśniających
• Zmiany stóp procentowych zmiany kursu
walutowego zmiany stóp procentowych
• Dynamika kredytu wzrost gospodarczy dynamika kredytu
• Inwestycje OFE (zmiana portfeli OFE) zmiany
cen akcji zmiana portfeli OFE
3
Problem endogenicznych
zmiennych objaśniających
• Równanie „strukturalne”:
x – wektor k-elementowy
• Estymator KMNK obciążony
• Rozwiązanie: MZI lub UMM
4
Zmienne instrumentalne
• Wykorzystanie zmiennych instrumentalnych,
tzn. skorelowanych ze zmiennymi
endogenicznymi ale nieskorelowanych z e:
• Zwykle część zmiennych jest egzogeniczna:
• …i może zostać zaliczona do zmiennych
instrumentalnych:
5
Zmienne instrumentalne
• Przykłady:
– Naturalne instrumenty (np. przelewy z ZUS do
OFE)
– Opóźnione zmienne endogeniczne
– Identyfikacja przez heteroskedastyczność
6
Zmienne instrumentalne
• Jeżeli
, to model „jednoznacznie
identyfikowalny” (just-identified)
• Jeżeli
, to model
„przeidentyfikowany” (over-identified)
7
Uogólniona metoda momentów
• Generalized method of moments (GMM)
• Przykładowy model:
• Niech prawdziwa będzie restrykcja:
• MNK dla modelu
niekoniecznie efektywna, bo więcej
restrykcji niż parametrów:
r „overidentifying restrictions”
8
Uogólniona metoda momentów
• Niech
parametrów
będzie funkcją (
(
),
:
)
– funkcja momentów, np.
9
Uogólniona metoda momentów
• Policzmy odpowiednik na danych z próby:
• Estymator momentów próbuje znaleźć
takie
, że
• Niech
miarą „długości” wektora
gdzie:
to macierz wag (
będzie
)
10
Uogólniona metoda momentów
• Na przykład dla
• Estymator GMM (UMM):
11
Uogólniona metoda momentów
• Dla
jest to estymator momentów
• FOC:
…czyli:
12
Uogólniona metoda momentów
• Definicja estymatora dla modelu liniowego:
• Efektywny estymator GMM dla
gdzie
• Asymptotyczny rozkład estymatora:
13
Estymacja macierzy wag
• Wybierz macierz startową:
• Policz:
• Policz:
14
„Two-step” GMM
• Wzór dla modelu liniowego:
• Błędy szacunku parametrów = pierwiastki
z głównej przekątnej macierzy
15
Alternatywny estymator UMM
• Minimalizuj:
„continuously-updated GMM estimator”
16
UMM dla modeli nieliniowych
• Minimalizuje:
• startuje:
• możliwe wiele iteracji
17
UMM dla modeli nieliniowych
• Rozkład asymptotyczny estymatora:
• Wariancja szacunków parametrów:
18
Testowanie „nadliczbowych”
restrykcji
• Test of overidentifying restrictions:
• Wykrywa możliwe wady modelu:
słabe instrumenty, zbyt dużo instrumentów, zła postać
modelu, itp.
19
Forma zredukowana modelu
• Sprawdźmy relację między x i z:
• Estymator MNK:
20
Metoda zmiennych
instrumentalnych
• Podstawmy tę relację do równania (1):
gdzie:
• Zauważmy, że:
…dlatego można zastosować MNK:
21
MZI i pośrednia MNK
(
)
• MZI to szczególny przypadek UMM:
• Pośrednia MNK (Indirect least squares):
22
Dodatek
• Literatura:
R.Rigobon, B. Sack (2004) The impact of
Monetary Policy on Asset Prices, Journal of
Monetary Economics 51, 1553–1575.
23
Metoda „identyfikacji przez
heteroskedastyczność”
cit = αyit + Axit + ε it
yit = βcit + Bxit + η it
Forma zredukowana modelu:
1
[Gxit + ε it + αηit ]
cit =
1 − αβ
1
[Hxit + βε it + ηit ]
yit =
1 − αβ
24
Różne wariancje w podpróbach
Macierze wariancji zmiennych objaśnianych
w podpróbach T1 i T2:
T1 ′
T1
2 T1

G
Ω
G
+
+
σ
α
ση
1
x
ε
T1

Ω =
2
⋅
(1 − αβ ) 
T2 ′
T2
2 T2

G
Ω
G
+
+
σ
α
ση
1
x
ε
T2

Ω =
2
⋅
(1 − αβ ) 
GΩTx1 H ′ + βσ εT1 + ασηT1 

T1 ′
T1
2 T1
HΩ x H + β σ ε + ση 
GΩTx2 H ′ + βσ εT2 + ασηT2 

T2 ′
T2
2 T2
HΩ x H + β σ ε + ση 
25
Różnica między wariancjami
w podpróbach
Różnica macierzy wariancji:
∆Ω = Ω
T2
−Ω
T1
(σ εT2 − σ εT1 )  1
=
2 β
(1 − αβ ) 
β 
2
β 
Wyznaczamy β:
∆Ω12
β=
∆Ω11
∆Ω 22
β=
∆Ω12
26
Metoda zmiennych instrumentalnych
Estymatory MZI:
1
1
(cT2 )′y T2 −
(cT1 )′y T1
N2
N1
ˆ
β=
1
1
(cT2 )′cT2 −
(cT1 )′cT1
N2
N1
1
1
(y T2 )′y T2 −
(y T1 )′y T1
N2
N1
ˆ
β=
1
1
(c T2 )′y T2 −
(c T1 )′y T1
N2
N1
27
Metoda zmiennych instrumentalnych
Estymatory MZI:
−1
ˆ
β = ( vc ′c) ( vc ′y )
−1
ˆ
β = ( vy ′c) ( vy ′y )
28
Metoda zmiennych instrumentalnych
Różnica między wektorami średnich dla zmiennych
objaśnianych w podpróbach:
T2
T1
c
 it  E (ε it ) − E (ε it )  1 
∆E   =


1 − αβ
β 
 yit 
Estymator MZI:
1
1
e′y T2 −
e′y T1
N2
N1
ˆ
β=
1
1
e′c T2 −
e′cT1
N2
N1
−1
ˆ
β = (m ′c) (m ′y )
29
Metoda zmiennych instrumentalnych
• Konstrukcja instrumentów:
– uwzględniających zmiany w wariancji
 cit N
vcit = 
− cit N
kiedy it ∈ T1
kiedy it ∈ T2
– uwzględniających zmiany w średniej
 1N
mit = 
− 1 N
kiedy it ∈ T1
kiedy it ∈ T2
30