ĆWICZENIE 2. BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH. Wahadło

II Pracownia
ĆWICZENIE 2.
BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH.
Wahadło sprzężone
Weźmy pod uwagę układ złożony z dwóch wahadeł o długościach l
połączonych sprężyną o współczynniku kierującym k.
Rys.1.
Na wahadło działa siła będąca składową siły ciężkości równolegle do osi x,
której wartość (dla małych wychyleń) jest proporcjonalna do wychylenia
F1 ~ x ,
lub w postaci równości
mg
F1 = −
x ,
l
oraz siła sprężystości pochodząca od sprężyny sprzęgającej oba wahadła.
F1′ = k ( y − x) .
Na drugie wahadło działają odpowiednio siły
mg
F2 = −
y
l
oraz
F2′ = k ( x − y) = − k ( y − x) .
Różniczkowe równanie ruchu dla pierwszego wahadła zapiszemy w postaci:
d 2x
mg
m1 2 = −
x + k ( y − x) ,
/1/
dt
l
a dla drugiego w postaci
d 2y
mg
m2 2 = −
y − k ( y − x) .
/2/
dt
l
Otrzymaliśmy układ dwóch liniowych, jednorodnych, zależnych równań
różniczkowych.
Niech m1 = m2 = m, wówczas dodając stronami /1/ i /2/ dostaniemy
d 2x
d 2y
mg
m 2 +m 2 =−
( x + y) ,
dt
dt
l
Wahadła sprzężone
1
II Pracownia
d2
mg
lub
m 2 ( x + y) = −
/3/
( x + y) ,
dt
l
a odejmując stronami od równania /1/ równanie /2/ otrzymamy:
d2
mg
m 2 ( x − y) = −
/4/
( x − y) − 2k ( x − y) .
dt
l
Wprowadźmy nowe oznaczenia:
V = ( x − y ),
i
U = ( x + y ).
Wówczas równanie /3/ przejdzie w równanie
d 2U
mg
m 2 =−
U ,
/5/
dt
l
a równanie /4/ w równanie
d 2V
mg
m 2 =−
V − 2 kV .
dt
l
Po prostych przekształceniach ostatni związek da się zapisać jako:
d 2V
 g 2k 
= − +  V .
/6/
2
 l m
dt
g
g 2k
Niech
=ω ,
a
+
=ω ,
/7/
l m
l
wówczas
dU
+ω U = 0 ,
/8/
dt
oraz
dV
+ω V = 0 .
dt
Są to różniczkowe równania oscylatorów harmonicznych prostych.
Rozwiązania tych równań możemy przedstawić związkami:
U = A1 cos(ω 1 t + φ 1 ) ,
oraz
/9/
V = A2 cos(ω 2 t + φ 2 ) ,
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
gdzie: A1, A2, φ1, φ2 - stałe dowolne, które możemy wyznaczyć z warunków
początkowych, (A - amplitudy, φ - fazy początkowe).
Funkcje przedstawione wyrażeniami /9/ opisują drgania własne wahadeł
sprzężonych, a częstości ω1 i ω2 są częstościami własnymi.
Wracając do zmiennych wyjściowych otrzymamy:
x - y = A2 cos(ω2t + φ2) ,
x + y = A1 cos(ω1t + φ1) ,
1
stąd
x = A1 cos(ω 1 t + φ 1 ) + A2 cos(ω 2 t + φ 2 ) ,
/10/
2
[
Wahadła sprzężone
]
2
II Pracownia
[
]
1
A1 cos(ω 1 t + φ 1 ) − A2 cos(ω 2 t + φ 2 ) .
/11/
2
Ruch wahadeł sprzężonych przy małych wychyleniach jest superpozycją dwóch
drgań normalnych (własnych) o różnych częstościach własnych ω 1 ≠ ω 2 . Układ
taki jest układem niezdegenerowanym. W przypadku układu
zdegenerowanego ω 1 = ω 2 . Niech w chwili początkowej A2 = 0, wówczas
1
x = y = A1 cos(ω 1 t + φ 1 ) ,
/12/
2
g
gdzie:
ω1 =
.
l
Oba wahadła wykonują jednocześnie drgania o częstości własnej ω1 i fazie
początkowej φ1.
Jeżeli w chwili początkowej A1 = 0, to
1
x = − y = A2 cos(ω 2 t + φ 2 ) ,
/13/
2
g 2k
ω2 =
.
gdzie
+
l m
Oba wahadła drgają z cząstością kołową ω2 i znajdują się w tej samej fazie φ2.
Powyższe rozważania można uogólnić. Wahadło sprzężone stanowi układ o
dwóch stopniach swobody, których ruch jest superpozycją dwóch,
zachodzących równocześnie, niezależnych drgań harmonicznych. Przypuśćmy,
że częstości własne wahadeł sprzężonych nieco się różnią, a zatem jest
spełniony warunek
ω1 ≈ω2 .
Możliwe jest to, gdy
2k g
〈〈 .
/13'/
m l
Dla uproszczenia przyjmijmy, że amplitudy A1 = A2 = A , a fazy początkowe
φ1 = φ2 = 0.
g
g 2k
Jak wcześniej pokazano ω 1 =
a
ω2 =
+
l
l m
Po prostych przekształceniach.
g
2 kl
ω2 =
1+
,
l
mg
oraz
y=
1
ale
Wahadła sprzężone
2 kl 
2 kl  2
1+
= 1 +
 .
mg 
mg 
3
II Pracownia
2 kl
〈〈1 (z założenia słabe sprzężenie), to ostatnie wyrażenie można
mg
rozwinąć w szereg potęgowy Newtona.
ponieważ
1
2
2

1 2 kl
kl
2 kl 
1 2 kl 3  2 kl 
+ 
= 1+
1 +
 = 1+
 + ... ∼≈ 1 +

2 mg
mg
mg 
2 mg 8  mg 
Z uwagi na warunek /13'/ odrzuciliśmy w rozwinięciu wyrazy wyższe od
drugiego rzędu.
g
kl 
Zatem
ω ≈
 1 +  〉ω .
l
m
Obecnie wzory /10/ i /11/ możemy zapisać w postaci:
ω −ω1
ω +ω2
A
x = (cos ω 1 t + cos ω 2 t ) = A cos 2
t cos 1
t,
2
2
2
/14'/
ω −ω1
ω +ω2
A
y = (cos ω 1 t − cos ω 2 t ) = A sin 2
t sin 1
t.
2
2
2
Wprowadzając oznaczenia
ω2 −ω1
ω +ω
= ∆ω
oraz
=ω ,
2
2
ostanie zależności możemy zapisać
1

x = A cos ∆ωt  cos ωt ,
2

/14/
1

y = A sin ∆ωt  sin ωt .
2

1

1

Wyrażenia A cos ∆ωt  i A sin ∆ωt  są odpowiednio amplitudami
2

2

pierwszego i drugiego wahadła, jak widać ze wzoru /14/, zależnymi od czasu.
Przebieg drgań przedstwiono na wykresach poniżej
2
1
2
Rys.2.
Wahadła sprzężone
4
1
II Pracownia
Porównując oba wykresy, łatwo zauważyć, że gdy jedno wahadło wykonuje
drgania maksymalne, drugie w tym czasie znajduje się w położeniu
równowagi i odwrotnie. Zatem energia drgań periodycznie przechodzi od
jednego wahadła do drugiego i na odwrót. Obserwowane zjawisko stanowi
dudnienia o częstości.
ω +ω
= ω = 2πν
2
1
gdzie : ν =
- jest częstotliwością dudnienia o okresie T.
T′
Aby obliczyć energię przenoszoną z jednego wahadła na drugie we wzorach
/14'/ podstawiamy ω 1 = ω œr + ω mod , oraz ω 2 = ω œr − ω mod wówczas
1
x = A cos(ω œr + ω mod )t + A cos(ω œr − ω mod )t ≡ Amod ( t ) cos ω œr t ,
2
1
2
[
]
/15/
[
]
1
A cos(ω œr + ω mod )t − A cos(ω œr − ω mod )t ≡ Bmod ( t ) sin ω œr t .
2
Drgania opisane powyższymi równaniami mają cechy drgań
quasiharmonicznych. Energia całkowita jest sumą energii kinetycznej i
potencjalnej wahadeł ( jeżeli sprężyna jest słaba, to i sprzężenie słabe i energię
przekazywaną pomiędzy sprężyną stanowiącą słabe sprzężenie z wahadłem
możemy pominąć). Energia wahadła
mV 2 1
1
E = Ek + E p =
+ mω 2 x 2 = mω 2 A 2 .
2
2
2
Wahadło 1 możemy potraktować w ciągu jednego cyklu "szybkich oscylacji"
(patrz wykresy wyżej) jako oscylator harmoniczny o częstości własnej ωśr
i stałej amplitudzie Amod , zatem:
1
2
E 1 = mω 2œr Amod
= 2 mA 2 ω 2œr cos 2 ω mod t .
2
Widać stąd, że energia ta jest równa podwojonej wartości jego średniej energii
kinetycznej (uśrednionej po czasie równym okresowi "szybkiego" cyklu).
Podobnie dla drugiego wahadła
1
2
E 2 = mω 2œr B mod
= 2 mA 2 ω œr2 sin 2 ω mod t .
2
Po zsumowaniu
E = E 1 + E 2 = 2 mA 2 ω 2œr .
Różnica tych energii wyraża się wzorem
E 1 − E 2 = E cos(ω 1 − ω 2 )t .
Z dwóch ostatnich równań łatwo otrzymać zależność
1
E 1 = E 1 + cos(ω 1 − ω 2 )t ,
2
y=
[
Wahadła sprzężone
]
5
II Pracownia
oraz
/16/
[
]
1
E 1 − cos(ω 1 − ω 2 )t .
2
Energia całkowita obu wahadeł jest stała i przepływa z jednego wahadła do
drugiego z częstością równą częstości dudnień.
E2 =
Rys.3.
"Zegar amoniakalny"
Słabo sprzężone oscylatory spotykamy często w mikroświecie. Opis
matematyczny wykazuje duże podobieństwo do opisu słabo sprzężonych
wahadeł o dwu stopniach swobody. Zamiast przepływu energii z
częstotliwościami dudnień jak to obserwujemy w układach mechanicznych
mamy tu do czynienie z przepływem „prawdopodobieństwa”, ponieważ kwadrat
amplitudy dla poszczególnego stopnia swobody daje
prawdopodopodobieństwo, że ten stopień swobody ma cała energię (został
pobudzony). Ponadto energia w mechanice kwantowej jest skwantowana.
Przykładem takiego oscylatora sprzężonego może być „zegar amoniakalny”.
Zasadniczą częścią ”zegara amoniakalnego” jest cząsteczka amoniaku NH3.
Trzy atomy wodoru tworzą trójkąt równoboczny a atom azotu może
przyjmować dwa położenia w odpowiednich wierzchołkach czworościanu,
którego podstawę wyznaczają atomy wodoru. Atom azotu mogący wykonywać
drgania wokół położeń równowagi w którymkolwiek wierzchołku zachowuje
się jak wahadło. Oba położenia odpowiadają dwu wahadłom. Przejście z
jednego położenia do drugiego utrudnione jest barierą potencjału odgradzającą
jedno położenie od drugiego. W mechanice kwantowej istnieje możliwość
przenikania przez barierę potencjału. Niech w chwili t = 0 cząsteczka NH3
znajduje się
Wahadła sprzężone
6
II Pracownia
Rys.4.
w takim stanie kwantowym, że atom azotu wykonuje drgania wokół położenia
2
2
równowagi /1/. Początkowe prawdopodobieństwo Ψ 1 = 1 , a Ψ 2 = 0
(w stanie /2/ prawdopodobieństwo drgań atomu azotu jest równe 0).
Z rozwiązania równań Schrödingera wynika, że
1
2
Ψ 1 = 1 + cos(ω 1 − ω 2 )t ,
2
1
2
Ψ 2 = 1 − cos(ω 1 − ω 2 )t ,
2
gdzie: ω1 i ω2 - to częstości kołowe drgań normalnych.
Łatwo zauważyć, że całkowite prawdopodobieństwo (pobytu atomu N w
stanie 1 i 2)
2
2
2
Ψ = Ψ 1 + Ψ 2 = 1.
[
]
[
]
Jeżeli ω1 > ω2, to stan cząsteczki jest nietrwały
(odpowiada wzbudzeniu i cząsteczka emituje falę elektromagnetyczną o
częstotliwości równej częstotliwości dudnień ν= ν2 - ν1 przechodząc do stanu
/1/ (odpowiadającego stanowi podstawowemu). Przy czym ν ≈ 2 1010 Hz co
odpowiada długości fali λ ≅1,5 cm. Przepuszczając przez gazowy amoniak
wiązkę mikrofal o częstotliwości 2 1010 Hz powodujemy wzbudzenia
cząsteczek do stanu /2/. Następuje wymiana energii między wiązką mikrofal a
gazowym amoniakiem i na odwrót cząsteczki amoniaku pozbywając się
wzbudzeń przekazują fotony do wiązki mikrofal. Zbudowany na tej zasadzie
zegar daje jeden z najdokładniejszych pomiarów czasu.
Układ obojętnych mezonów Κ
Układ składa się mezonów Κ o i anytymezonów Κ o , posiada dwa stopnie
swobody i zachowuje się podobnie do układu dwu słabo sprzężonych wahadeł.
Każdy z nich może oddziaływać z mezonami Π drogą słabego oddziaływania.
Wahadła sprzężone
7
II Pracownia
Mezony Π stanowią tu analogię sprężyny. Zatem mamy dwie postacie drgań
prostych mezon Κ 1o i Κ o2 , przy czym ten pierwszy podlega silnemu tłumieniu
a ten drugi jest słabo tłumiony. Jeżeli prawdopodobieństwo w chwili t = 0, że
mezon Κ 1o jest silnie tłumiony wynosi 1, to prawdopodobieństwo to zmniejsza
się z czasem wykładniczo Ψ 1
2
= e − t τ . Tłumienie wynika z rozpadu mezonu
Κ 1o na piony, a τ1 jest średnim czasem życia Κ 1o . Jeżeli w chwili t = 0
Ψ 1 = 1 (prawdopodobieństwo znajdowania sie w stanie Κ o ) i jeżeli nie
2
było tłumienia, to prawdopodobieństwo, że układ znalazł się w późniejszej
chwili w tym samym stanie Κ o
2
1
Ψ Κ = 1 + cos(ω 1 − ω 2 )t ,
2
a prawdopodobieństwo znalezienia się układu (bez tłumienia) w stanie Κ o
2
1
Ψ Κ = − 1 − cos(ω 1 − ω 2 )t .
2
Ponieważ występuje tłumienie (rozpad mezonów Κ o i anytymezonów Κ o na
piony - inne cząstki elementarne), to prawdopodobieństwo wyraża się wzorami:
1
2
− ( t τ +t τ )
1

Ψ Κ =  e− t τ + e− t τ + 2 e 2
cos(ω 1 − ω 2 )t  ,
4

1
2
− ( t τ +t τ )
1

Ψ Κ =  e− t τ + e− t τ − 2 e 2
cos(ω 1 − ω 2 )t 
4

Wykonanie ćwiczenia
Zestaw pomiarowy składa się dwu wahadeł, lekkiej sprężyny i ewentualnie
częstościomierza (licznika) z fotokomórką.
[
o
1
]
[
o
1
]
1
2
2
o
1
1
2
2
o
Rys.5.
Przebieg pomiarów
1. Montujemy wahadło I o długości l.
2. Mierzymy czas 200 wahnięć wahadła I i wyznaczamy częstość ω01.
Wahadła sprzężone
8
II Pracownia
3. Montujemy wahadło II o długości l.
4. Mierzymy czas 200 wahnięć wahadła II i wyznaczamy częstość własną ω02.
5. Powtarzamy pomiary z punktu 2 i 4 trzykrotnie. Obliczamy średnią wartość
ω01 i ω02.
6. Sporządzamy wahadło sprzężone i wyznaczamy czas 20 wahnięć wahadła II
odchylając wahadło II o A2 przy amplitudzie wahadła I A1 = 0. Obliczamy
częstość ω2.
7. Mierzymy czas 20 wahnięć wahadła I przy początkowym wychyleniu
wahadła I o amplitudę A1 a wahadła II o A2 = 0. Obliczamy ω1.
8. Powtarzamy pomiary z punktu 6 i 7 dwukrotnie dla takich samych wychyleń.
9. Powtarzamy pomiary z punktu 6 , 7 i 8 dla różnych amplitud początkowych
(trzech).
10.Powtarzamy pomiary z punktów 1 - 9 dla 4 rożnych długości wahadeł (l1 =l2
).
11.Wychylamy wahadła I i II o takie same amplitudy. Mierzymy częstość
dudnień. Wyznaczamy czas 10 dudnień a następnie obliczamy częstość
dudnień (dla każdego układu sprzężonego).
12.Obliczamy częstość dudnień ω = ω 1 − ω 2 (dla każdego układu
sprzężonego).
4π 2


13.Obliczamy stałą sprzężenia sprężyny k =
ω 2 − ω 12 ) .
(
2


14.Obliczamy prawdopodobieństwo przenoszenia energii E1 /E i E2 /E dla
każdej serii pomiarów dla chwil odpowiadających wielokrotności 1/4
okresu dudnień.
15.Sporządzamy wykresy E1 /E = f1 (t) i E2 /E = f2 (t).
16.Powtarzamy pomiary i obliczenia dla układu wahadeł sprzężonych o
długościach l1 = l2 .
17.Przeprowadzamy rachunek i dyskusję błędów.
18.Wyciągamy wnioski i przeprowadzamy dyskusję wyników.
LITERATURA
1. R.Feynman, R.Leighton, M.Sands - Feynmana wykłady z fizyki t.I c.I.2.
2. F.C.Crawford
- Fale.
3. J.Ginter, O.Gzowski i inni
- Fizyka cz.II.
4. red. S.Kaliski
- Drgania i fale.
Wahadła sprzężone
9