Pobierz plik - Politechnika Warszawska

Politechnika Warszawska
Egzamin wstępny z Matematyki
1 lipca 2011 r.
1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli:
a) wszystkie elementy są różne,
b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie pozostałe są różne?
c) dwa elementy są identyczne, a pozostałe cztery elementy są inne, ale sobie równe?
10 punktów
2. Ile rozwiązań w przedziale  0, 2  ma równanie sin 2 x  cos x ? Podać te rozwiązania.
10 punktów
3. Rozwiązać nierówność:
11  x  x  1 .
15 punktów
4. Obliczyć sumę siódmego i ósmego wyrazu ciągu geometrycznego, którego iloraz wynosi
q
1 , a suma czwartego, piątego i szóstego wyrazu równa się 31.
5
20 punktów
5. Dana jest funkcja f ( x )  x 2  3x  4 . Narysować wykres funkcji g ( x)  f ( x) , a
następnie odczytać z wykresu najmniejszą nieujemną wartość rzeczywistą, spełniającą
nierówność g ( x)  4 .
20 punktów
6. W trapezie o podstawach a i b ( a>b) suma kątów przy podstawie a jest równa

.
2
Obliczyć długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.
25 punktów
Zadanie należy rozwiązać na arkuszu egzaminacyjnym w polach oznaczonych odpowiednimi
numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie
miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie, w polu „miejsce dodatkowe”. Kartki
brudnopisu nie oddaje się i nie będzie on sprawdzany.
Politechnika Warszawska
Egzamin wstępny z matematyki
w dniu 3 lipca 2012 r.
1. Rozwiązać nierówność: x 4  7 x 3  12 x 2  0 .
15 pkt.
2. Rozwiązać równanie: 3 cos x  sin x  1.
15 pkt.
3. Zmiana notowań funduszy AXB od poniedziałku do piątku przedstawiała
się następująco:
poniedziałek
-2%
wtorek
-1%
środa
+1,5%
czwartek
+1,5%
piątek
+0,2%
Przed otwarciem giełdy w poniedziałek wartość posiadanych funduszy
AXB pana CD wynosiła 10 000zł. Jaką wartość mają fundusze AXB pana
CD w piątek po zamknięciu notowań?
15 pkt.
4. Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji danej wzorem
f ( x) 
8 x
, w przedziale x  1, 2  .
2 x
15 pkt.
5. Liczby x, y, z są odpowiednio trzecim, szóstym i dziewiątym wyrazem
ciągu arytmetycznego. Wykazać, że liczby 11x , 11 y , 11z są kolejnymi
wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego.
20 pkt.
6. Punkty (-2,1) i (6,5) są przeciwległymi wierzchołkami rombu o polu
równym 20. Obliczyć współrzędne pozostałych wierzchołków rombu.
20 pkt.
Zadania należy rozwiązać na arkuszu egzaminacyjnym w polach oznaczonych odpowiednimi
numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie
miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie oddaje się i nie
będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 150 minut.
Politechnika Warszawska
Egzamin wstępny z matematyki
w dniu 2 lipca 2013 r.
7. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian
P(x) = x6 + ax + b jest podzielny przez x2 - 4 ?
15 pkt.
8. W wycinek koła o promieniu R i kącie ostrym  wpisano okrąg.
Obliczyć jego promień.
20 pkt.
9. Pan AB wpłacił do banku XY 20 000 zł na dwa lata. Kapitalizacja
w tym banku jest miesięczna, a roczne oprocentowanie wynosi 6%.
Ile po 2 latach wynoszą oszczędności pana AB?
15 pkt.
10.Rozwiązać równanie:
1 + 4 + 7 + … + x = 117
15 pkt.
11.Dla jakich wartości parametru p dziedziną funkcji
f ( x) 
1
( p 2  1) x 2  2( p  1) x  2
jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
20 pkt.
12.Długość boku czworościanu foremnego zwiększono o 15%.
O ile procent wzrosła objętość tego czworościanu?
15 pkt.
Zadania należy rozwiązać na arkuszu egzaminacyjnym w polach oznaczonych odpowiednimi
numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu zabraknie
miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie oddaje się i nie
będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 150 minut.
Politechnika Warszawska
Egzamin wstępny z matematyki
w dniu 1 lipca 2014 r.
1. Dana jest funkcja 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 1
a. Znaleźć największą i najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale < 0,3 >.
b. Czy liczba 3 należy do zbioru wartości tej funkcji? Odpowiedź uzasadnić.
15 punktów
2. Narysować na płaszczyźnie zbiory 𝐴, 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵 I 𝐵\𝐴,
jeżeli 𝐴 = {(𝑋, 𝑌): 0 < 𝑥 − 𝑦 < 1}, 𝐵 = {(𝑥, 𝑦): 1 < 𝑥 2 + 𝑦 2 < 4}
15 punktów
3. Dany jest kwadrat ABCD. Na bokach AB i BC wyznaczono odpowiednio takie
punkty E i F , że AE : EB = 2 : 1 oraz BC : BF = 3:1.
Jaką częścią pola kwadratu ABCD jest pole figury o wierzchołkach AEFCD ?
15 punktów
4. Wiedząc, że jednym z pierwiastków wielomianu 𝑊𝑥 = 𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 − 3𝑥 + 6√2
jest liczba √3 , znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu oraz sumę odwrotności
tych pierwiastków i odwrotność sumy pierwiastków.
15 punktów
5. Zabytkowy pociąg odbywa turystyczny kurs w terenie górskim. Z miejscowości A do
miejscowości B (w dół) jedzie ze swoją normalną prędkością, zaś z miejscowości B do
miejscowości A (tą samą trasą ale w górę) jedzie z prędkością równą 2/3 prędkości na
trasie od A do B. O ile procent prędkość średnia na całej trasie (to znaczy z A do B i z
powrotem) różni się od prędkości na trasie z A do B?
20 punktów
6. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym stosunek wysokości ostrosłupa do
długości krawędzi podstawy równy kest 2/3.
a. Obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
b. Obliczyć stosunek długości promienia kuli wpisanej w ten ostrosłup do długości
krawędzi jego podstawy.
20 punktów
Zadania należy rozwiązać na arkuszu egzaminacyjnym w polach oznaczonych odpowiednimi
numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu
zabraknie miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie
oddaje się i nie będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 150 minut.
Politechnika Warszawska
Egzamin wstępny z matematyki
w dniu 1 lipca 2015 r.
1. Dana jest funkcja zmiennej rzeczywistej 𝑥 określona wzorem
𝑦 = 2|𝑥 + 1| − 2|𝑥| + 1.
a) Naszkicować wykres tej funkcji.
b) Wyznaczyć największą i najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale (−2,0).
c) Wyznaczyć przedziały monotoniczności tej funkcji.
15 punktów
2. Zmieszano pewną ilość 10-procentowego roztworu kwasu siarkowego z pewną ilością
roztworu 35-procentowego i otrzymano roztwór 25-procentowy. Gdyby każdego
roztworu wziąć o 5 l mniej to otrzymano by roztwór 30-procentowy. Po ile litrów każdego
roztworu wzięto do pierwszej mieszaniny?
15 punktów
3. Rozwiązać równanie
cos 𝑥 − sin 𝑥 = cos 2𝑥.
15 punktów
4. Dla jakiej wartości rzeczywistego parametru α wielomian 𝑊(𝑥) = 𝑥 4 − 𝛼𝑥 3 + 3𝑥 2 +
𝛼𝑥 − 4 przy dzieleniu przez dwumian 𝑄(𝑥) = 𝑥 + 2 daję resztę równą 48? Wyznaczyć
wszystkie
pierwiastki
wielomianu
𝑊(𝑥)
dla
tej
wartości
𝛼.
15 punktów
5. Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶 taki, że |𝐴𝐵| = 13, |𝐵𝐶| = 12, |𝐴𝐶| = 5. Obliczyć odległość środka
okręgu opisanego na trójkącie 𝐴𝐵𝐶 od punktu przecięcia dwusiecznej kąta ∢𝐴𝐶𝐵 z
bokiem 𝐴𝐵.
20 punktów
6. Dany jest pewien sześcian. Na każdej z trzech krawędzi wychodzących ze wspólnego
ustalonego wierzchołka wybrano punkt będący środkiem tej krawędzi i przez te środki
przeprowadzono płaszczyznę odcinając od sześcianu pewien ostrosłup. Obliczyć stosunek
promienia kuli wpisanej w tak otrzymany ostrosłup do promienia kuli opisanej na
sześcianie.
20 punktów
Zadania należy rozwiązać na arkuszu egzaminacyjnym w polach oznaczonych odpowiednimi
numerami zadań. Treści zadań prosimy nie przepisywać. Jeżeli w określonym polu
zabraknie miejsca, zadanie można dokończyć na ostatniej stronie. Kartki brudnopisu nie
oddaje się i nie będzie ona oceniana. Czas trwania egzaminu 120 minut.