Lista 2

Lista 2
Rząd elementu, zbiór warstw
Oznaczenie: H ≤ G oznacza, że H jest podgrupą grupy G.
Zadanie 1 Proszę wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy addytywnej (Z12 , +12 ).
Zadanie 2 Proszę wyznaczyć grupy multiplikatywne Z∗5 , Z∗8 , Z∗14 , Z∗30 . Które z tych grup są cykliczne?
Zadanie 3 Niech a, b będą elementami grupy G takie że (ab)n = e. Czy (ba)n = e (gdzie e ∈ G jest
elementem neutralnym)?
Zadanie 4 Proszę uzasadnić następujące własności
1. rz(a) = rz(a−1 ),
2. rz(ab) = rz(ba),
3. jeśli rz(a) = n, to dla każdego m ∈ Z am = e wtedy i tylko wtedy gdy n|m.
Zadanie 5 Proszę wyznaczyć wszystkie podgrupy grupy (Z∗30 , ·30 ).
Zadanie 6 Czy istnieje grupa nieskończona w której każdy element ma rząd skończony?
Zadanie 7 Niech n ∈ N \ {0} jest rzędem elementu x w grupie G. Proszę udowodnić, że dla każdego
n
k ∈ Z \ {0} rz(xk ) = N W D(n,k)
.
Zadanie 8 Proszę udowodnić że każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna.
Zadanie 9 Proszę wykazać, że jesli w grupie każdy element ma rząd 2, to grupa jest abelowa.
Zadanie 10 Proszę wyznaczyć wszystkie warstwy grupy (Z12 ), +12 dla podanych podgrup:
{0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}, {0, 3, 6, 9}, {0, 6}.
Zadanie 11 Niech
a b
G=
: a, b ∈ R ∧ a 6= 0 .
0 1
z mnożeniem macierzy. Niech
a 0
a b
H0 =
: a 6= 0 , H1 =
: b = 1 ∧ a 6= 0 .
0 1
0 1
Proszę sprawdzić, czy Hi C G dla i ∈ {0, 1}.
Zadanie 12 Prosze wyznaczyć wszystkie dzielniki normalne grupy S3 oraz ich grupy ilorazowe.
Robert Rałowski
1