Treści zadań z egzaminu podstawowego

Imię i nazwisko: .....................................................................
Numer albumu: .....................
Analiza matematyczna 2.3 A
egzamin podstawowy
1
2
3
4
5
6
P
Każde zadanie proszę pisać na osobnej stronie. Każdą kartkę proszę podpisać.
Zestaw
A
1. Obliczyć sumę szeregu
∞
X
n+1
n=2
2n
.
2. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = xy(2 − x − y) na
trójkącie ograniczonym prostymi x = 0, y = 0, x + y = 6.
3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x, y) = x3 + y 3 − 9xy.
Sprawdzić, czy są to minima czy maksima lokalne.
4. Obliczyć
ZZ
x dx dy,
D
2
gdzie D = {(x, y) ∈ R : y ≥ x ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 4}.
5. Korzystając z definicji wyznaczyć transformatę Laplace’a funkcji
 −t
dla t ∈ [0, 1)
e
−2t
f (t) =
e
dla t ∈ [1, 2)

0
dla t ∈ [2, ∞).
6. Obliczyć transformatę Fouriera splotu podanych funkcji, a nastepnie wyznaczyć
2
2
splot podanych funkcji: f (t) = e−t , g(t) = e−4t .
Wskazówka.
r
π −ω2
2
−at
F(e
)(ω) =
e 4a .
a
Imię i nazwisko: .....................................................................
Numer albumu: .....................
Analiza matematyczna 2.3 A
egzamin podstawowy
1
2
3
4
5
6
P
Każde zadanie proszę pisać na osobnej stronie. Każdą kartkę proszę podpisać.
Zestaw
B
1. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
f (x) =
5 − 12x
1 − 5x + 6x2
i określić przedział jego zbieżności.
2. Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x, y) = x2 − 3y 2 na zbiorze
ograniczonym prostymi x = −1, x = 1, y = −1, y = 1.
3. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
f (x, y) = e−y (x2 − 2y).
Sprawdzić, czy są to minima czy maksima lokalne.
4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami
z = 10 − x2 − y 2 ,
z = 1.
5. Korzystając z definicji wyznaczyć transfomatę Fouriera funkcji
−3|t|
e
dla t ∈ [−2, 2]
f (t) =
0
dla t ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞).
6. Używając transformaty Laplace’a rozwiązać podane zagadnienie poczatkowe
2y 00 − y 0 − y = 0,
y(0) = 1,
Wskazówka.
L{eαt }(s) =
1
.
s−α
y 0 (0) = 0.