Full Text - Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych

Nr 62
Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Nr 62
Politechniki Wrocławskiej
Studia i Materiały
Nr 28
2008
pole elektromagnetyczne, straty mocy wiroprądowe i histerezowe
Piotr SUJKA*
POLOWO-OBWODOWY ALGORYTM WYZNACZANIA
STRAT MOCY W RDZENIACH Z UWZGLĘDNIENIEM
HISTEREZY MAGNETYCZNEJ
W artykule przedstawiono algorytm wyznaczania strat mocy w litych materiałach ferromagnetycznych
przy wykorzystaniu polowo-obwodowego modelu zjawisk elektromagnetycznych uwzględniającego histerezę magnetyczną. Ograniczono się do analizy strat mocy w układach o symetrii osiowej z rdzeniami litymi.
W opracowanym algorytmie straty mocy histerezowe i wiroprądowe wyznacza się na podstawie przestrzennego rozkładu i czasowego przebiegu pola magnetycznego wyznaczonego metodą elementów krawędziowych. Rozpatrywano straty mocy w rdzeniach transformatorów wirujących o rdzeniach wykonanych z materiałów o znacznie różniących się właściwościach elektrycznych i magnetycznych.
1. WSTĘP
Straty energii w rdzeniach występują tylko pod wpływem zmiennego pola magnetycznego i związane są z prądami wirowymi oraz ze złożonym zespołem przyczyn wywołujących
zjawisko histerezy magnetycznej [2]. Skutki energetyczne wywołane prądami wirowymi oraz
zjawiskiem histerezy są wzajemnie uwarunkowane. Prądy wirowe bowiem, zmieniając rozkład indukcji w rdzeniu, wpływają pośrednio na straty histerezowe. Zjawisko histerezy również nie pozostaje bez wpływu na straty wiroprądowe, gdyż są one m.in. funkcją dynamicznej
przenikalności magnetycznej materiału, a ta zmienia się wzdłuż pętli histerezy i zależy od jej
kształtu. Z powyższych względów do wyznaczania strat mocy zaproponowano ujęcie polowo-obwodowe. W opracowanym przez autora modelu polowo-obwodowym uwzględniono
zjawisko histerezy magnetycznej, a rozkład i przebieg pola magnetycznego wyznaczono za
pomocą metody elementów skończonych krawędziowych [3]. W prezentowanym w artykule
algorytmie analizy strat mocy w rdzeniach przetworników elektromagnetycznych zastosowano podejście uproszczone, polegające na umownym podziale strat mocy na straty proporcjonalne do częstotliwości przemagnesowania nazywane histerezowymi oraz straty proporcjonalne do kwadratu tej częstotliwości nazywane wiroprądowymi.
__________
* Politechnika Poznańska, Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej, ul. Piotrowo 3A
60-965 Poznań, e-mail: [email protected]
344
2. ALGORYTM WYZNACZANIA STRAT MOCY
Gęstość objętościowa energii wh traconej podczas jednego cyklu powolnego przemagnesowania materiału ferromagnetycznego jest proporcjonalna do powierzchni statycznej pętli histerezy i można ją wyznaczyć z zależności
wh =
∫ B H dB
(1)
W materiałach magnetycznych izotropowych wektory natężenia pola i indukcji magnetycznej są równoległe i równanie (1) dogodnie jest zapisać w postaci
wh =
Br
∫ B HdB = ∫B
H ( B)dB +
m
− Bm
∫B
H ( B)dB +
r
− Br
∫− B
H ( B )dB +
m
Bm
∫− B H ( B)dB ,
(2)
r
gdzie Bm jest amplitudą indukcji, a Br indukcją remanencji.
Gęstość objętościową mocy ph traconej na przemagnesowywanie ferromagnetyka
z częstotliwością f określa zależność
ph = fwh .
(3)
Korzystając ze wzoru (3) można wyznaczyć straty histerezowe w układzie zdyskretyzowanym. Histerezowe straty mocy ∆Ph w rdzeniu równe są sumie strat mocy w poszczególnych elementach dyskretyzujących ferromagnetyk
m
∆Ph = ∑ phiVi ,
(4)
i =1
gdzie m jest liczbą elementów dyskretyzujących ferromagnetyk, Vi objętością, a phi gęstością strat mocy w i-tym elemencie
phi = fwhi .
(5)
W algorytmie polowo-obwodowej symulacji zjawisk elektromagnetycznych
z uwzględnieniem histerezy magnetycznej w środowiskach izotropowych, gęstość objętościową energii whi traconej podczas jednego cyklu przemagnesowania i-tego elementu
dyskretyzyjącego dogodnie jest wyznaczać z zależności
H n + H n−1 n
B − B n−1 ,
2
n =1
N
whi = ∑
(
)
(6)
w której przez Bn, Bn–1 i Hn, Hn–1 oznaczono odpowiednio wartości indukcji oraz natężenia pola magnetycznego w i-tym elemencie uzyskane dla n-tej i (n–1)-wszej chwili czasowej. Sumowanie przyrostów energii w powyższej zależności przeprowadza się dla
wszystkich N chwil czasowych dyskretyzujących okres T=1/f zmienności pola ze-
345
wnętrznego. Natężenie pola magnetycznego Hn w elemencie wyznacza się za pomocą
odwrotnych skalarnych modeli histerezy [3].
Oprócz strat histerezowych w materiałach ferromagnetycznych występują straty wiroprądowe. Oblicza się je na podstawie czasowego przebiegu oraz przestrzennego rozkładu wektora gęstości prądu z zależności [1]
1T

∆Pw = ∫∫∫  ∫ ρJ 2 dt dV ,
T 0
V 

(7)
gdzie ρ jest rezystywnością materiału, a T okresem przebiegu gęstości prądu.
W układzie zdyskretyzowanym średnie straty mocy wiroprądowe ∆Pw w okresie T
zmienności prądów wirowych dogodnie jest wyznaczyć na podstawie przebiegu chwilowej mocy strat wiroprądowych ∆pw(t) w rdzeniu. Straty mocy ∆pwn=∆pw(tn) dla n-tej
chwili czasowej oblicza się sumując chwilowe straty mocy wydzielane we wszystkich
elementach dyskretyzujących ferromagnetyk
m
∆p w = ∑ ∆p wi ,
n
n
(8)
i =0
gdzie przez ∆pwin oznaczono straty wiroprądowe wydzielane w i-tym elemencie w n-tej
chwili czasowej. Natomiast średnie straty mocy w rdzeniu
∆Pw =
1 N
n
∆p w .
∑
N n=1
(9)
Zadanie wyznaczenia strat wiroprądowych w rdzeniu sprowadzono do zadania wyznaczania chwilowych strat mocy ∆pwin w elemencie dyskretyzującym. Opracowany przez
autora algorytm ich wyznaczania przedstawiono poniżej.
W układach o symetrii osiowej elementy dyskretyzujące mają kształt pierścienia
o przekroju trójkątnym [3]. Występujące w takich układach pole elektromagnetyczne
jest dwuwymiarowe. W wyniku rozwiązania równań polowo-obwodowego modelu zjawisk uzyskuje się rozkład potencjałów ϕ krawędzi siatki [1, 3]. Na podstawie czasowego przebiegu tych potencjałów można wyznaczyć gęstości prądów wirowych
w podobszarach przyporządkowanych krawędziom siatki. Dla u-tej krawędzi
n
Ju = σ
ϕ u n − ϕ u n−1 1
,
∆t
2πru
(10)
gdzie ru jest promieniem, a indeksami n oraz n–1 oznaczono potencjał ϕ krawędzi odpowiednio w n-tej oraz (n–1)-wszej chwili czasowej. Chwilowe wiroprądowe straty
346
mocy wydzielane w podobszarze Vui przyporządkowanym u-tej krawędzi i-tego elementu pierścieniowego można opisać równaniem
n
( )V
∆p wiu = ρ J u
n 2
u
i
,
(11)
gdzie Vu i ≈ S ∆ i 2πru 3 , a przez S∆i oznaczono powierzchnię przekroju pierścienia. Sumując straty wiroprądowe ∆pwiun w podobszarach przyporządkowanych krawędziom i-tego
elementu pierścieniowego uzyskuje się straty chwilowe ∆pwin w elemencie. Na ich podstawie z zależności (8) wyznacza się straty chwilowe w rdzeniu dla n-tej chwili czasowej.
W przetwornikach elektromagnetycznych oprócz strat mocy w rdzeniu występują
również straty mocy w uzwojeniach. W rozważaniach przyjęto, że uzwojenia przetworników wykonane są z tak cienkich przewodów, że można w nich pominąć prądy wirowe.
Zatem średnie straty mocy w l-tym uzwojeniu
T
∆PCu ,l =
1 2
1 N n2
i
R
d
t
≈
∑ il Rl ,
l
l
T ∫0
N n =1
( )
(12)
a straty we wszystkich L uzwojeniach
L
∆PCu = ∑ ∆PCu ,l .
(13)
l =1
W zależności (12) przez il oznaczono prąd, a przez Rl rezystancję l-tego uzwojenia.
Na podstawie przedstawionego algorytmu opracowano procedurę obliczania strat
mocy w rdzeniu litym i dołączono ją do opracowanego przez autora oprogramowania do
symulacji nieustalonego pola magnetycznego z uwzględnieniem zjawiska histerezy [3].
W celu przetestowania algorytmu i programu analizy strat rozpatrzono straty
w rdzeniu ferromagnetycznym litym transformatora wirującego.
3. ANALIZA STRAT MOCY W RDZENIU
Rozpatrywano transformatory wirujące o strukturze przedstawionej na rysunku 1. Tego
rodzaju transformatory są wykorzystywane do bezstykowego przekazywania energii elektrycznej ze stojana do wirnika resolwera. Transformatory modelowe zbudowano w zakładzie
Mikroma S.A. we Wrześni. Ich obwody magnetyczne wykonano z dwóch materiałów znacznie różniących się parametrami magnetycznymi i elektrycznymi. Rdzeń pierwszego transformatora wykonano z permaloju Supranhyster, natomiast rdzeń drugiego z materiału dielektromagnetycznego opracowanego przez Instytut Tele i Radiotechniczny z Warszawy.
347
Pierwotne krzywe magnesowania oraz wybrane pętle histerezy tych materiałów pokazano na
rysunku 2. Wyznaczono je za pomocą opracowanego przez autora stanowiska pomiarowego
[4]. Materiał dielektromagnetyczny charakteryzuje się znacznie gorszymi parametrami magnetycznymi lecz jego konduktywność elektryczna (900 S/m) jest o kilka rzędów wielkości
mniejsza od konduktywności permaloju (8·106 S/m). Ze względu na to, że uzwojenie pierwotne transformatora zasilane jest napięciem o częstotliwości do 5 kHz, wiroprądowe straty
mocy w rdzeniu są stosunkowo duże.
Rys. 1. Transformator wirujący
Fig. 1. Rotating transformer
Rys. 2. Pętle histerezy, po lewej – Supranhyster, po prawej – dielektromagnetyk
Fig. 2. Hysteresis loops, on left – Supranhyster, on right – dielectromagnetic material
Tabela 1. Obliczone straty mocy w transformatorach wirujących [mW]
Table 1. Calculated power losses in rotating transformers [mW]
całkowite ∆P
w uzwojeniu ∆PCu
wiroprądowe ∆Pw
histerezowe ∆Ph
Supranhyster
64,722
46,353
17,402
0,967
dielektromagnetyk
73,965
73,002
0,019
0,945
348
4. WNIOSKI
Obliczeń dokonano przy założeniu, że uzwojenie pierwotne transformatora jest zasilane napięciem o amplitudzie U = 5V i częstotliwości f = 3kHz. Wynika z nich, że
największy udział w stratach całkowitych mają straty mocy w uzwojeniach (tabela 1).
W transformatorze o rdzeniu wykonanym z permaloju Supranhyster udział strat wiroprądowych jest dość znaczny, w przeciwieństwie do transformatora o rdzeniu wykonanym z dielektromagnetyka. W transformatorze z rdzeniem dielektromagnetycznym
straty te praktycznie nie występują. Związane jest to z bardzo małą konduktywnością
materiału dielektromagnetycznego. Udział strat histerezowych w obu transformatorach jest niewielki.
Opracowany algorytm i oprogramowanie mogą być przydatne do wyznaczania
strat mocy histerezowych i wiroprądowych w przetwornikach elektromagnetycznych
o rdzeniach litych.
LITERATURA
[1] BASTOS J., SADOWSKI N., Electromagnetic modeling by finite element methods. Marcel Dekker
Inc., New York, 2003.
[2] DĄBROWSKI M., Analiza obwodów magnetycznych – straty mocy w obwodach. PWN, WarszawaPoznań, 1981.
[3] SUJKA P., Polowo-obwodowa analiza przetworników elektromagnetycznych z uwzględnieniem histerezy magnetycznej. Rozprawa doktorska, Poznań 2007.
[4] SUJKA P., Stanowisko do badania właściwości materiałów magnetycznie miękkich. Materiały VII
Konferencji Naukowo-Technicznej Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice, str. 553-556, Poznań-Kiekrz, 2002.
FIELD-CIRCIUT ALGORITHM OF DETERMINING POWER LOSSES
IN CORES TAKING MAGNETIC HYSTERESIS INTO ACCOUNT
The paper presents algorithm of determining power losses in solid ferromagnetic materials using
field-circuit model taking magnetic hysteresis into account. Power losses in the cores of rotating transformers have been calculated using elaborated software. The cores were built from materials which were
differ widely in electrical and magnetic parameters. The influence of those parameters on power losses
has been investigated.