zastosowanie pochodnej w ekonomii

PRZYK×ADY ZASTOSOWAŃ
POCHODNYCH W EKONOMII
1) Rozwaz·my funkcje¾ K : R+ ! R+ róz·niczkowalna¾ opisujac
¾ a¾ zalez·ność
kosztów produkcji od wielkości produkcji x. Niech x0 , x0 + x 2 R+ , x > 0.
Wtedy iloraz róz·nicowy
K (x0 +
x)
x
K (x0 )
oznacza koszt przecietny
¾
wytworzenia jednostki produktu jeśli zwiekszymy
¾
produkcje¾ o x jednostek, uwaz·ajac
¾ produkcje¾ x0 za wyjściowa.
¾
Zatem iloraz powyz·szy obrazuje przecietn
¾ a¾predkość
¾
zmiany wartości funkcji
kosztów w przedziale hx0 ; x0 + xi. Natomiast miara¾predkości
¾
zmiany wartości
funkcji K w punkcie x0 jest granica
K 0 (x0 ) = lim
K (x0 +
x !0
x)
x
K (x0 )
nazywana kosztem kra´ncowym.
Poniewaz· K K 0 (x0 ) x, wiec
¾ dla x = 1 mamy K K 0 (x0 ), co oznacza, z·e zwiekszenie
¾
produkcji o jednostk¾
e w stosunku do poziomu wyjściowego
x0 powoduje zwiekszenie
¾
kosztów produkcji o K 0 (x0 ).
Zatem koszt krańcowy przy poziomie produkcji x0 , w przybliz·eniu jest równy
kosztowi wyprodukowania dodatkowej jednostki produktu.
W analogiczny sposób moz·na interpretować pochodna¾ w przypadku, gdy
funkcja opisuje zalez·ność dwóch innych wielkości np. popyt - cena, zysk wielkość produkcji itp.
2) Niech f : R+ ! R+ bedzie
¾
funkcja¾ róz·niczkowalna.
¾ Iloraz
f (x +
x
x) f (x)
:
=
f (x)
x
f (x +
x) f (x)
100%
f (x)
:
x
100%
x
nazywamy elastyczno´scia¾ przecietn
¾ a¾ funkcji f w przedziale hx; x + xi. Jak
widać z powyz·szej równości jest ona miara¾przecietnego
¾
procentowego przyrostu
wartości funkcji f odpowiadajacego
¾
przyrostowi wartości x o 1%.
Granice¾
lim
x !0
f (x +
x) f (x)
x
:
f (x)
x
=
x
f 0 (x)
f (x)
nazywamy elastyczno´scia¾ funkcji f i oznaczamy symbolem Ex f .
Elastyczność funkcji w punkcie x jest przybliz·ona¾ miara¾ procentowego przyrostu wartości funkcji odpowiadajacego
¾
przyrostowi wartości argumentu o 1%
w odniesieniu do poziomu wyjściowego x.
1
Niech K oznacza funkcje¾ kosztu ca÷kowitego produkcji jednorodnej. Wtedy
elastyczność kosztu, czyli
Ex K =
x
K 0 (x) ,
K (x)
określa w przybliz·eniu przyrost kosztu odpowiadajacy
¾ zwiekszeniu
¾
produkcji o
1% od poziomu wyjściowego x.
Analogicznie moz·na interpretować elastyczność popytu ze wzgledu
¾ na cene,
¾
elastyczność popytu ze wzgledu
¾ na dochód itp.
Przyk÷
ad Wyznaczyć elastyczność popytu f (x) = 2 4 x , gdzie x jest cena¾
produktu. Przy jakiej cenie elastyczność popytu wzgledem
¾
ceny równa sie¾ 21 ?
Aby wyznaczyć elastyczność, musimy obliczyć pochodna¾ funkcji f . Mamy
f 0 (x) = 2 4
x
( 1) ln 4 =
2 4
x
ln 4.
Stad
¾ elastyczność funkcji f wynosi
Ex f =
x
x
f 0 (x) =
f (x)
2 4
x
2 4
x
ln 4 =
x ln 4.
Aby rozwiazać
¾ druga¾ cześć
¾ zadania, musimy rozwiazać
¾ równanie
Ex f =
1
,
2
czyli
x ln 4 =
1
.
2
Stad
¾ otrzymujemy
x=
1
.
2 ln 4
1
1
Zatem przy cenie wynoszacej
¾ 2 ln
4 elastyczność popytu wynosi
2 , czyli inaczej
1
1
przy cenie 2 ln 4 wzrost ceny o 1% spowoduje spadek popytu o 2 %.
3) Dzia÷ekonomii wykorzystujacy
¾ jako swoja¾metode¾ badanie zjawisk ekonomicznych za pomoca¾ badania przebiegu zmienności funkcji nosi nazw¾
e programowania marginalnego.
Przyk÷
ad. Przypuśćmy, z·e przedsiebiorstwo
¾
wytwarza tylko jeden produkt i ca÷
a ilość wytworzonego produktu jest sprzedawana. Niech x oznacza
wielkość produkcji, a R (x), K (x) odpowiednio dochód ze sprzedaz·y i koszt
wytworzenia x jednostek produktu. Zak÷
adamy, z·e funkcje R i K sa¾ dwukrotnie
róz·niczkowalne. Zysk otrzymany ze sprzedaz·y x jednostek produktu wynosi
Z (x) = R (x)
K (x) , x 2 h0; 1) .
Chcac
¾ racjonalnie gospodarować przedsiebiorstwo
¾
podejmuje decyzje¾ wyprodukowania takiej ilości x0 produktu, przy której zysk bedzie
¾
maksymalny, tzn.
dla której
Z 0 (x0 ) = R0 (x0 ) K 0 (x0 ) = 0
2
i
Z 00 (x0 ) = R00 (x0 )
K 00 (x0 ) < 0,
albo zamiast tego drugiego warunku zaz·adamy,
¾
by Z 0 zmienia÷a znak w punkcie
x0 z dodatniego na ujemny. Analogicznie moz·na rozwiazywać
¾
inne zagadnienia
ekonomiczne pod warunkiem, z·e funkcje opisujace
¾ te problemy sa¾róz·niczkowalne.
Zadanie. Funkcja kosztu ca÷kowitego jednorodnej produkcji ma postać
Kc (x) = 4x4
9x3
30x2 + 75x,
gdzie x > 0 oznacza wielkość produkcji. Zbadać przy jakiej wielkości produkcji
koszt wyprodukowania jednostki produktu (koszt jednostkowy) bedzie
¾
najmniejszy i ile bedzie
¾
wtedy wynosi÷
.
Rozwiazanie.
¾
Zauwaz·my, z·e koszt jednostkowy wyraz·a sie¾ wzorem:
Kj (x) =
4x4
Kc (x)
=
x
9x3
30x2 + 75x
x
= 4x3
9x2
30x + 75.
Jest to funkcja róz·niczkowalna, bo wielomianowa. Obliczamy jej pochodna¾
Kj0 (x) = 12x2
18x
30.
Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej
12x2 18x 30 = 0j : 6
2x2 3x 5 = 0.
×atwo obliczyć pierwiastki: x =
ajac
¾ dziedzine¾ mamy
1 lub x = 52 . Zauwaz·my dalej, z·e uwzgledni¾
5
2
Kj0 (x) > 0
()
x>
Kj0 (x) < 0
()
0<x<
5
2
.
Zatem pochodna funkcji Kj zmienia znak w swoim miejscu zerowym x = 52
z ujemnego na dodatni, wiec
¾ ma w tym punkcie minimum lokalne. Przy tym
¾
funkcja ta w przedziale 0; 52 maleje, zaś w przedziale 52 ; 1 — rośnie. Stad
¾ Podsumowujac,
¾ koszt jednosw punkcie x = 25 przyjmuje wartość najmniejsza.
tkowy jest najmniejszy przy wielkości produkcji x = 52 i ten najmniejszy koszt
jednostkowy wynosi
Kj
5
2
5
2
125
2
= 4
=
3
2
9
225
4
3
5
30
2
75
+ 75 =
2
5
+ 75
2
175
= 43; 75.
4