)( Ne x = )( 2 1 2 ˆ xV ky y x m H + + ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ħ ∞ ∪ −∞∈

ChPiS, Podstawy chemii teoretycznej, VI zestaw
„Jutro będzie cudownie, ponieważ dzisiaj nie rozumiem już nic”
Niels Bohr
1.
a) Co to jest oscylator harmoniczny? Podaj przykład układu rzeczywistego, który można opisać używając tego
modelu, b) Jakie są wartości własne hamiltonianu dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego? Czy jego
energia zmienia się w sposób ciągły czy nieciągły? c) Czy dostrzegasz jakieś różnice pomiędzy oscylatorem
harmonicznym klasycznym i kwantowym? – jeśli tak, podaj je, d) Co to jest degeneracja? Czy występuje ona w
przypadku jednowymiarowego oscylatora harmonicznego?
2.
3.
Oblicz średnie położenie i pęd jednowymiarowego oscylatora harmonicznego w stanie ψ ( x ) = Ne −αx
2
/2
.
4.
Oblicz najbardziej prawdopodobne położenie jednowymiarowego oscylatora harmonicznego w stanie
podstawowym i najniższym wzbudzonym.
x ∈ (0, a)
0
h2  ∂2
∂2  1
Hamiltonian układu ma postać: Hˆ = −
.
 2 + 2  + ky 2 + V ( x) , gdzie V ( x) = 
2m  ∂x
∂y  2
∞ x ∈ ( −∞,0) ∪ ( a, ∞)
Podaj rozwiązania zagadnienia własnego (funkcje własne i wartości własne) dla tego problemu.
5.
Rozwiąż
równanie
 h ∂
∂
 2 + 2
−
2
m
∂
x
∂
y


2
6.
7.
2
2
Schrödingera
dla
dwuwymiarowego
oscylatora
harmonicznego

 k 2
 + x + y 2 ψ n x n y ( x, y ) = E n x n y ψ nx n y ( x, y ) znając rozwiązania dla problemu jednowymiarowego.
2


(
)
a) Co to jest rotator sztywny? Podaj przykład układu rzeczywistego, który można opisać używając tego modelu,
b) Jakie są wartości własne hamiltonianu dla rotatora sztywnego? Czy jego energia zmienia się w sposób ciągły
czy nieciągły? c) Czy w stanach własnych hamiltonianu zadane są ostro inne zmienne dynamiczne? – jeśli tak,
podaj ich wartości. d) Co to jest degeneracja? Czy występuje ona w przypadku rotatora sztywnego?
Stan rotatora sztywnego opisuje kombinacja liniowa funkcji własnych hamiltonianu a) ψ = Y21 − 5Y32 ,
b) ψ = 3Y2−1 + 2Y00 − 4Y1−1 . Oblicz średnie wartości energii, kwadratu momentu pędu i składowej z momentu pędu.
ChPiS, Podstawy chemii teoretycznej, VI zestaw
„Jutro będzie cudownie, ponieważ dzisiaj nie rozumiem już nic”
Niels Bohr
8.
a) Co to jest oscylator harmoniczny? Podaj przykład układu rzeczywistego, który można opisać używając tego
modelu, b) Jakie są wartości własne hamiltonianu dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego? Czy jego
energia zmienia się w sposób ciągły czy nieciągły? c) Czy dostrzegasz jakieś różnice pomiędzy oscylatorem
harmonicznym klasycznym i kwantowym? – jeśli tak, podaj je, d) Co to jest degeneracja? Czy występuje ona w
przypadku jednowymiarowego oscylatora harmonicznego?
9.
10.
Oblicz średnie położenie i pęd jednowymiarowego oscylatora harmonicznego w stanie ψ ( x) = Ne −αx
2
/2
.
11.
Oblicz najbardziej prawdopodobne położenie jednowymiarowego oscylatora harmonicznego w stanie
podstawowym i najniższym wzbudzonym.
x ∈ (0, a)
0
h2  ∂2
∂2  1
Hamiltonian układu ma postać: Hˆ = −
.
 2 + 2  + ky 2 + V ( x) , gdzie V ( x) = 
2m  ∂x
∂y  2
∞ x ∈ ( −∞,0) ∪ ( a, ∞)
Podaj rozwiązania zagadnienia własnego (funkcje własne i wartości własne) dla tego problemu.
12.
Rozwiąż
równanie
 h2  ∂2
∂2
 2 + 2
−
∂y
 2m  ∂x
13.
14.
Schrödingera
dla
dwuwymiarowego
oscylatora
harmonicznego

 k 2
 + x + y 2 ψ n x n y ( x, y ) = E n x n y ψ nx n y ( x, y ) znając rozwiązania dla problemu jednowymiarowego.
 2

(
)
a) Co to jest rotator sztywny? Podaj przykład układu rzeczywistego, który można opisać używając tego modelu,
b) Jakie są wartości własne hamiltonianu dla rotatora sztywnego? Czy jego energia zmienia się w sposób ciągły
czy nieciągły? c) Czy w stanach własnych hamiltonianu zadane są ostro inne zmienne dynamiczne? – jeśli tak,
podaj ich wartości. d) Co to jest degeneracja? Czy występuje ona w przypadku rotatora sztywnego?
Stan rotatora sztywnego opisuje kombinacja liniowa funkcji własnych hamiltonianu a) ψ = Y21 − 5Y32 ,
b) ψ = 3Y2−1 + 2Y00 − 4Y1−1 . Oblicz średnie wartości energii, kwadratu momentu pędu i składowej z momentu pędu.
Niels Bohr (1885-1962) – duński fizyk który odegrał decydującą rolę w
transformacji, jakiej uległa fizyka XX w. Około 1913 r. opracował model
atomu, który uzyskał duże uznanie, a w połowie lat dwudziestych
uczestniczył w narodzinach teorii kwantów – matematycznej interpretacji
atomowej rzeczywistości. Tak zwana druga rewolucja kwantowa przyczyniła
się do powstania nowego, czysto matematycznego modelu atomu, co
potwierdziło ograniczoną zdolność człowieka do postrzegania zjawisk
wewnątrzatomowych. Jest twórcą tzw. interpretacji kopenhaskiej mechaniki
kwantowej, którą to interpretację wykorzystujemy na naszych zajęciach z chemii kwantowej. W 1912 r. Bohr zaczął
współpracować z odkrywcą jądra atomowego Ernestem Rutherfordem. Tam dokonał przełomu – postulował, że
orbitalny moment pędu elektronu jest skwantowany, w przeciwnym razie elektron nieuchronnie spadłby na jądro.
W 1922 r. otrzymał Nagrodę Nobla „for his investigation of the structure of atom”. W tym samym roku urodził mu się
syn Aage Niels Bohr, który w 1975 również otrzymał Nagrodę Nobla. W 1943 r. Bohr uciekł z opanowanej przez
faszystów Danii do Szwecji, później do Wielkiej Brytanii i USA. Tam uczestniczył w projekcie Manhattan, był jednak
przeciwny zrzuceniu bomby atomowej. W czasie wojny spotkał się z Rooseveltem i Churchillem,
którzy odrzucili jego propozycje przekazania Związkowi Radzieckiemu wszelkich informacji na
temat bomby jądrowej celem zapobieżenia wyścigowi zbrojeń. 17 listopada 1962 r. udzielił
ostatniego wywiadu na temat historii kwantów a następnego dnia, podczas poobiedniej drzemki
zmarł na atak serca. Powszechnie uważa się, że wkład Bohra do fizyki XX w. ustępuje jedynie
osiągnięciom Einsteina.
CIEKAWOSTKI Nagroda Nobla
Bohr swoje referaty wygłaszał w języku, który – choć jego zdaniem był angielskim – stanowił mieszaninę duńskiego,
1922
niemieckiego i angielskiego. Na konferencjach często zatrudniano osoby, które tłumaczyły język "bohrish" na angielski.
Bohr nałogowo palił fajkę i miał nieustanne kłopoty z jej "uruchomieniem". Kiedy bowiem zapalił zapałkę i zbliżał ją
do cybucha, przychodziła mu do głowy kolejna nowa idea, którą chciał się natychmiast podzielić z rozmówcą. Zastygał więc z palącą się zapałką
w ręku, aż zgasła lub zaczynała go parzyć w rękę. Brał więc nową zapałkę i zabawa zaczynała się od nowa. Świadomi tych kłopotów koledzy przy
każdej okazji obdarowywali go największymi pudełkami zapałek, których mu stale brakowało, bo zużywał ich tysiące.
źródła: J. Simmons „100 najwybitniejszych uczonych wszech czasów”, Świat Książki, Warszawa 1997, L. Piela ”Idee Chemii Kwantowej”, PWN, Warszawa 2003, A. Pais „Czas Niella Bohra”, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006.
Niels Bohr (1885-1962) – duński fizyk który odegrał decydującą rolę w
transformacji, jakiej uległa fizyka XX w. Około 1913 r. opracował model
atomu, który uzyskał duże uznanie, a w połowie lat dwudziestych
uczestniczył w narodzinach teorii kwantów – matematycznej interpretacji
atomowej rzeczywistości. Tak zwana druga rewolucja kwantowa przyczyniła
się do powstania nowego, czysto matematycznego modelu atomu, co
potwierdziło ograniczoną zdolność człowieka do postrzegania zjawisk
wewnątrzatomowych. Jest twórcą tzw. interpretacji kopenhaskiej mechaniki
kwantowej, którą to interpretację wykorzystujemy na naszych zajęciach z chemii kwantowej. W 1912 r. Bohr zaczął
współpracować z odkrywcą jądra atomowego Ernestem Rutherfordem. Tam dokonał przełomu – postulował, że
orbitalny moment pędu elektronu jest skwantowany, w przeciwnym razie elektron nieuchronnie spadłby na jądro.
W 1922 r. otrzymał Nagrodę Nobla „for his investigation of the structure of atom”. W tym samym roku urodził mu się
syn Aage Niels Bohr, który w 1975 również otrzymał Nagrodę Nobla. W 1943 r. Bohr uciekł z opanowanej przez
faszystów Danii do Szwecji, później do Wielkiej Brytanii i USA. Tam uczestniczył w projekcie Manhattan, był jednak
przeciwny zrzuceniu bomby atomowej. W czasie wojny spotkał się z Rooseveltem i Churchillem,
którzy odrzucili jego propozycje przekazania Związkowi Radzieckiemu wszelkich informacji na
temat bomby jądrowej celem zapobieżenia wyścigowi zbrojeń. 17 listopada 1962 r. udzielił
ostatniego wywiadu na temat historii kwantów a następnego dnia, podczas poobiedniej drzemki
zmarł na atak serca. Powszechnie uważa się, że wkład Bohra do fizyki XX w. ustępuje jedynie
osiągnięciom Einsteina.
CIEKAWOSTKI Nagroda Nobla
Bohr swoje referaty wygłaszał w języku, który – choć jego zdaniem był angielskim – stanowił mieszaninę duńskiego,
1922
niemieckiego i angielskiego. Na konferencjach często zatrudniano osoby, które tłumaczyły język "bohrish" na angielski.
Bohr nałogowo palił fajkę i miał nieustanne kłopoty z jej "uruchomieniem". Kiedy bowiem zapalił zapałkę i zbliżał ją
do cybucha, przychodziła mu do głowy kolejna nowa idea, którą chciał się natychmiast podzielić z rozmówcą. Zastygał więc z palącą się zapałką
w ręku, aż zgasła lub zaczynała go parzyć w rękę. Brał więc nową zapałkę i zabawa zaczynała się od nowa. Świadomi tych kłopotów koledzy przy
każdej okazji obdarowywali go największymi pudełkami zapałek, których mu stale brakowało, bo zużywał ich tysiące.
źródła: J. Simmons „100 najwybitniejszych uczonych wszech czasów”, Świat Książki, Warszawa 1997, L. Piela ”Idee Chemii Kwantowej”, PWN, Warszawa 2003, A. Pais „Czas Niella Bohra”, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006.