Jednowymiarowy oscylator harmoniczny

Jednowymiarowy oscylator harmoniczny
Punktem wyjścia do rozwiązania tego zagadnienia jest hamiltonian zagadnienia oscylatora
harmonicznego postaci:
2
2
2
2
 = p  k x =− ℏ ∂  k x 2
H
2m 2
2 m ∂ x2 2
Równanie Schrödingera bez czasu ma postać:
  x=E  x
H
Wstawiając postać hamiltonianu do tego równania, otrzymuje się następujące równanie
różniczkowe:
ℏ 2 ∂ 2  x k 2
−
 x  x=E  x
2 m ∂ x2
2
Wprowadzając symbole
= x , u =



konsekwentnie:
∂ = ∂
∂x
∂
2
2
∂
2 ∂
=
∂ x2
∂ 2
otrzymuje się następującą postać rozwiązywanego równania:
ℏ 2  2 ∂ 2 u  1 k  2

u =E u 
2 m ∂ 2
2 2
∂ 2 u  km 2
2 mE
−
 2 4  u = 2 2 u 
2
∂
ℏ 
ℏ 
−
Przyjmując
km
=1 , skąd
2
4
ℏ 
km
= 4 2
ℏ
oraz
2 mE 2 E m
= 2 2 =
k
ℏ
ℏ 


otrzymuje się
∂2
u 2 u = u 
2
∂
∂2
− 2 u 2 − u =0
∂
−
Dla dużych wartości ξ (granica ξ dążącego do nieskończoności) równanie to zachowuje się jak
równanie
−
∂2
u 2 u =0
2
∂
2
−
skąd u ≈e

2
Idąc tym tropem szuka się rozwiązań na funkcje własne operatora energii oscylatora harmonicznego
postaci:
−
u =H  e
2
2
Pochodne tej funkcji mają postać:
2
2
−
d u  d H  − 2
=
e − H e 2
d
d
d 2 u 
d 2
=
=
d 2 H 
d 2 H 
d 2
d 2
−
e
2
2
−
e
2
2
2
2
2
2
−
−
d H  − 2
d H  − 2
−
e −H e 2 −
e  2 H  e 2 =
d
d
2
2
−
d H  − 2
−2 
e 2 −1 H e 2
d
Aby znaleźć funkcję H należy wstawić drugą pochodną i założoną postać funkcji u do pierwotnego
równania różniczkowego:
−
d 2 H 
d
2
−
e
2
2
2
2
2
−
−
d H  − 2
2 
e − 2 −1 H e 2 2 − H  e 2 =0
d
−
d 2 H 
d 2
d 2 H 
d
2
2 
d H 
1 − H =0
d
−2 
d H 
−1 H =0
d
Matematycznie można pokazać, że szukana funkcja u jest całkowalna z kwadratem tylko wtedy, gdy
równanie powyższe przyjmuje postać:
d 2 H 
d H 
2 n H =0, n∈ℕ
d
d
, czyli gdy −1 =2 n
2
−2 
Powyższe równanie różniczkowe nosi nazwę równanie Hermite'a. Rozwiązaniami tego równania są
wielomiany Hermite'a określone następująco:
H n =−1n e 
2
d n −
e
d n
2

Na podstawie wielomianów Hermite'a można utworzyć ortonormalną bazę w przestrzeni L2(R), tzw.
funkcje Hermite'a o postaci:
 n =
2
1

2 n n!  
H n e
−

2
Funkcje te odpowiadają postacią szukanym rozwiązaniom na funkcje własne operatora energii.
Warunkiem na to, aby rozwiązanie istniało, jest spełnienie warunku na wartość współczynnika λ, co
równoważne jest ograniczeniem na dopuszczalne wartości energii E:
−1 =2 n
2E m
−1 =2 n
k
ℏ
2E m
=2 n1
k
ℏ
ℏ k
E=
2 n1
2 m
k
1
E =ℏ
n
m
2



 
Dopuszczalne wartości energii jednowymiarowego oscylatora harmonicznego określone są
zależnością:
 
E n =ℏ  n
gdzie
=

1
2
, n=0, 1 , 2 , 3 ,
k
m
Funkcje własne odpowiadające tym wartościom własnym co do postaci są po prostu, zgodnie z
wcześniejszymi rozważaniami, funkcjami Hermite'a. Po wyrugowaniu podstawień i znormalizowaniu
ze względu na tę czynność otrzymuje się

km
1
n  x=
H
n
ℏ 2 n!   n
4

 
4
−
km
x e
ℏ

2
km x
ℏ 2

m
1
=
Hn
n
ℏ
2 n!  

Oscylator trójwymiarowy
 
m
−
x
m
x e 2ℏ
ℏ
2
Hamiltonian ma postać:


ℏ 2 ∂2
p 2 k r 2
∂2
∂2
k

H=

=−


  x 2  y 2 z 2 
2
2
2
2m 2
2m ∂ x ∂ y ∂ z
2
Zakładając postać funkcji własnej takiego operatora jako
r = f  x g  y h z
i wstawiając za funkcje f, g, h rozwiązania jednowymiarowe oscylatora harmonicznego, co
uzasadnione jest z jednej strony postacią hamiltonianu (jest on “sumą” hamiltonianów oscylatora
harmonicznego w poszczególnych trzech wymiarach), a z drugiej strony związkami komutacyjnymi
pomiędzy operatorami składowych położenia i pędu, otrzymuje się następującą postać funkcji
własnej hamiltonianu trójwymiarowego oscylatora harmonicznego:
n r = An H n
x
      
m
x Hn
ℏ
y
m
y Hn
ℏ
z
m
−
r
m
z e 2ℏ
ℏ
2
gdzie
n =n x , n y , n z  , n x , n y , n z =0, 1 , 2 ,
 
m
An =
ℏ
=

3
2
2
n x n y n z
−
1
−
n x!n y !n z ! 2 
3
4
k
m
Wartości własne operatora energii trójwymiarowego oscylatora harmonicznego wynoszą:

E n =ℏ  n x n y n z 
gdzie
=

3
2

, n x , n y , n z =0, 1 , 2 , 3 ,
k
m
Warto zauważyć, że wartości własne oscylatora trójwymiarowego (wyjąwszy najniższy poziom
energetyczny - podstawowy) są zdegenerowane, w przeciwieństwie do wartości własnych oscylatora
jednowymiarowego.
Autor: Adam Drzewiecki <[email protected]>