LISTA ZADAŃ 5 Geometria analityczna 1. Obliczyć długość wektora

Magdalena Łysakowska, Algebra liniowa z geometrią analityczną, grupa 11E-SP
1
LISTA ZADAŃ 5
Geometria analityczna
1. Obliczyć długość wektora:
√
√
a) v = (−2, 3, −3); b) u = (− 2, −1, 1);
c) AB, gdzie A = (−1, 2, 5), B = (4, −7, 15);
√
√
d) CD, gdzie C = (2 3, −3, −5), D = (−2 3, 1, 4).
2. Wiedząc, że wektory u i v tworzą dwa boki trójkąta, wyznaczyć środkowe tego trójkąta za pomocą wektorów u i v.
3. Wyznaczyć wersor, który leży w płaszczyźnie wyznaczonej przez wektory u = (0, 3, −4) i v = (8, 6, 0) i tworzy jednakowe kąty z wektorami
u i v.
4. Obliczyć iloczyn skalarny wektorów:
a) u = (−1, 5, 2), v = (3, 0, 7);
√
√ √
√
b) u = ( 2, − 2, 1), v = (− 2, 2, −2);
c) u = i − j + k, v = 3i − 2k;
d) u = 2i + j − 3k, v = −i + 3j + 7k.
5. Korzystając z iloczynu skalarnego obliczyć miary kątów pomiędzy wektorami:
a) u = (−1, 5, 2), v = (2, 4, −9);
b) u = (4, 1, 8), v = (1, 0, −3);
c) rozpinającymi przekątne równoległościanu rozpiętego na wektorach u = (1, 2, 3), v = (−1, 0, 2), w = (3, 1, 5).
6. Wyznaczyć wartości parametru λ, dla których wektory u i v są ortogonalne:
a) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, λ);
b) u = (λ, λ, 1), v = (λ, 5, 6).
7. Obliczyć iloczyn wektorowy wektorów:
a) u = (−1, 3, 2), v = (3, −1, −5);
b) u = (−3, 2, 0), v = (−2, 7, 1);
c) u = 2j + k, v = i − j + 2k;
d) u = 2i − j − 3k, v = −i + j − 4k.
Magdalena Łysakowska, Algebra liniowa z geometrią analityczną, grupa 11E-SP
2
8. Obliczyć pole następujących powierzchni:
a) trójkąt rozpięty na wektorach u = (1, −1, 1), v = (0, 3, −2);
b) równoległobok o trzech kolejnych wierzchołkach w punktach A =
(1, 0, 1), B = (3, −1, 5), C = (−1, 5, 0);
c) równoległościan rozpięty na wektorach u, v, w.
9. Obliczyć odległość punktu P = (3, 2, 5) od prostej l wyznaczonej przez
wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych o końcu w punkcie (−2, −2, −2).
10. Obliczyć iloczyny mieszane wektorów:
a) u = (−3, 2, 1), v = (0, 3, −2), w = (2, 1, −4);
b) u = (−2, 0, 3), v = (1, 5, 3), w = (0, −2, −1);
c) u = i − j, v = 2i − 3j + k, w = −i − 2j − 5k.
11. Obliczyć objętość następujących wielościanów:
a) równoległościan rozpięty na wektorach u = (0, 0, 1), v = (−1, 2, 3),
w = (2, 5, −1);
b) czworościan rozpięty na wektorach u = (1, 1, 1), v = (1, −1, 0),
w = (−1, 3, −2);
c) czworościan o wierzchołkach w punktach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3),
C = (2, 3, −1), D = (−1, 3, 5).
12. Sprawdzić czy następujące wektory i punkty są współpłaszczyznowe:
a) wektory u = (1, −1, 2), v = (0, 4, −1), w = (2, 2, 3);
b) wektory u = (−1, 3, −5), v = (1, −1, 1), w = (4, −2, 0);
c) punkty A = (1, 1, 1), B = (0, 1, 2), C = (−1, 3, 0), D = (5, 0, −4);
d) punkty A = (0, 0, 0), B = (−1, 3, 2), C = (1, −1, −3), D =
(2, 4, −1).
Magdalena Łysakowska, Algebra liniowa z geometrią analityczną, grupa 11E-SP
3
13. Napisać równania ogólne i parametryczne następujących płaszczyzn:
a) przechodząca przez punkt A = (0, 1, −3) i prostopadła do wektora
w = (−2, 3, −5);
b) przechodząca przez punkty A = (0, 1, 0) i B = (3, 0, 0) i prostopadła do płaszczyzny xOy;
c) przechodząca przez punkt A = (0, 1, 0) i równoległa do wektorów
u = (−1, 3, 0) i v = (3, 1, −5);
d) przechodząca przez punkt A = (−1, 4, 1) i równoległa do płaszczyzny danej równaniem x − y + 6z − 12 = 0.
14. Napisać równania parametryczne i kierunkowe następujących prostych:
a) przechodząca przez punkt A = (1, 0, 2) i równoległa do wektora
w = (0, 5, −3);
b) przechodząca przez punkt A = (1, −5, 3) i prostopadła do płaszczyzny danej równaniem x − 3z + 7 = 0;
c) przechodząca przez punkt A = (0, 0, −2) i prostopadła do wektorów u = (0, 1, −5) i v = (−2, 3, 0);
d) jest częścią wspólną płaszczyzn o równaniach x + 2z − 4 = 0 i
x − y + 6 = 0.
15. Sprawdzić czy:
a) prosta l o równaniach

 x = 1 + α,
y = −2α,
gdzie α ∈ R

z = 3 + 3α,
jest zawarta w płaszczyźnie o równaniu 3x + 3y + z − 6 = 0;
b) proste dane równaniami

 x = α,
y = −2α, α ∈ R

z = 3α,
mają punkt wspólny;

 x = β − 1,
y = 2 − β,

z = 4β − 3,
β ∈ R,
Magdalena Łysakowska, Algebra liniowa z geometrią analityczną, grupa 11E-SP
4
c) prosta x+5
= y1 = z−3
jest równoległa do płaszczyzny o równaniu
−2
−1
x + y − z + 8 = 0;

 x = α − 5,
y = 2 + 5α + β, α, β ∈ R
d) płaszczyzny o równaniach 2x+3y−5z+30 = 0 i

z = 1 + 3α + β,
są równoległe.
16. Obliczyć odległość:
a) punktu A = (1, 0, −5) od płaszczyzny 3x − 12y + 4z + 8 = 0;
b) płaszczyzn równoległych 2x − y + 3z = 0 i −4x + 2y − 6z + 8 = 0;
c) prostych równoległych
d) prostej
x
−1
=
y+1
2
=
z
1
x−1
1
=
y−2
2
=
z+3
3
i
x
2
=
y
4
= z6 ;
od płaszczyzny x + y − z + 4 = 0.
17. Obliczyć odległość pomiędzy:
a) prostą
x+2
−3
=
y+1
−2
=
z
1
i płaszczyzną 2x − 3y − 5 = 0;
b) płaszczyznami x − 2y + 3z − 5 = 0

 x = 1 − α,
y = α − 2, α ∈ R
c) prostymi

z = 3α,
i 2x + y − z + 3 = 0;

 x = 3 − 2β,
y = 4 − β,
β ∈ R.

z = 1 + 3β,
18. Znaleźć rzut prostokątny:
a) punktu A = (1, 0, −3) na prostą o równaniu
x
2
=
y−1
−1
=
z+1
;
2
b) punktu A = (0, 0, 1) na płaszczyznę x + y − 2z + 4 = 0;
c) prostej x = y = z na płaszczyznę x + 2y + 3z − 6 = 0.
19. Znaleźć punkt symetryczny do punktu A = (−1, 0, 3) względem:
a) punktu B = (1, 0, −1);
b) prostej
x+y
−2
=
y
1
=
z−5
;
3
c) płaszczyzny x + y + z = 0.
Magdalena Łysakowska, Algebra liniowa z geometrią analityczną, grupa 11E-SP
5
20. Obliczyć objętości i pola powierzchni brył ograniczonych następującymi
płaszczyznami:
a) x = 0, y = 2, z = −1, x + y + z = 6;
b) x = 1, x = 2, x − y = 0, x − y = 3, y + z = 0, y + z = 4.
21. Stacja radiowa składa się z dwóch prostoliniowych anten rozmieszczonych na dwóch parach słupów, przy czym słupy każdej z tych par rozstawione są w przeciwległych wierzchołkach prostokąta ABCD o bokach
długości AB = 40 m i AD = 30 m. Wysokości tych słupów równe są
odpowiednio hA = 15 m, hB = 20 m, hC = 30 m, hD = 25 m. Jaka jest
najmniejsza odległość pomiędzy tymi antenami?