Matematyka Elementy geometrii analitycznej 1. Narysować dowolne

Matematyka
Elementy geometrii analitycznej
1. Narysować dowolne wektory ~u i ~v , a następnie wektory ~u + ~v , ~u − ~v oraz α · ~u, gdzie
α ∈ R.
2. Załóżmy, że wektory ~u i ~v są przekątnymi równoległoboku. Wyrazić boki tego równoległoboku za pomocą wetorów ~u i ~v .
−→
−→
3. Dane są punkty M i N . Wyznaczyć taki punkt P , aby wektory M P i N P były
wektorami przeciwnymi.
4. Niech punkty A, B, C i D będą wierzchołkami kwadratu. Zbuduj wektory
−→
−→
−→
−→
~u =AC + DC + DB
−→
−→
oraz ~v =DC − BC + AC .
5. Dane są trzy wierzchołki równeległoboku ABCD: A = (0, 0), B = (2, −5), D =
(3, 1). Wyznaczyć współrzędne wierzchołka C oraz punkt przecięcia przekątnych
tego równoległoboku.
6. Obliczyć długość podanych wektorów:
b) ~b = [−3, −4, 12],
d) ~c = −~i + 4~j − 6~k.
a) ~a = [−3, 2],
√
√
c) ~c = 3~i + 2~j + 2~k,
7. Niech A = (1, −2, 0), B = (4, −4, 2), C = (1, −1, 2), D = (−2, 1, 0). Obliczyć
−→
−→
długość wektorów AB oraz CD. Czy wektory te są równe?
8. Obliczyć iloczyny skalarne podanych par wektorów:
a) ~u = [1, −3],
b) ~u = [1, −2, 3],
c) ~u = 3~i − 2~j,
d) ~u = ~i − 3~j + 5~k,
~v
~v
~v
~v
= [4, 4],
= [2, −3, 2],
= −~i + 3~j,
= 2~i − ~j + 3~k.
9. Obliczyć kąt między wektorami:
a) ~u = [1, −1, 0],
b) ~u = [3, −1, 2],
~v = [0, −1, 1],
~v = [1, 2, 3].
10. Rozstrzygnij, jaki kąt (ostry, prosty, rozwarty) tworzą wektory:
a) ~u = [2, 5],
b) ~u = [1, 4],
c) ~u = [−7, 3],
~v = [3, −4],
~v = [4,
√
√ −1],
~v = [ 3, 7].
1
11. Dane są punkty A = (2, −1), B = (1 + a, 2) i C = (3, 2 − a). Dla jakich wartości
−→
−→
parametru a wektory AB i AC są: prostopadłe równoległe, przeciwne?
12. Wyznaczyć wektor ~u, wiedząc, że jest prostopadły do wektorów ~v = [2, 3, −1] i
w
~ = [1, −2, 3] oraz spełnia równanie ~u ◦ (2~i − ~j + ~k) = −6.
13. Obliczyć iloczyny wektorowe par wektorów:
a) ~u = [1, −3],
~v = [4, 4],
b) ~u = [1, −2, 3],
~v = [2, −3, 2],
c) ~u = 3~i − 2~j + ~k, ~v = −~i + 3~j + 2~k.
14. Obliczyć pole trójkąta rozpiętego na wektorach:
a) ~u = [3, −1, 2],
b) ~u = [1, −1, 4],
~v = [1, 2, 3],
~v = [2, 2, −1].
15. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach
a) A = (2, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (0, 0, 6),
b) A = (1, −2, 8), B = (0, 0, 4), C = (6, 2, 0).
16. Dla jakiej wartości parametru m punkty A = (1, 4), B = (3, 1) oraz C = (0, m) są
wierzchołkami trójkąta prostokątnego.
17. Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A = (2, 0, 0), B = (0, 3, 0), C =
(0, 0, 6), D = (2, 3, 8).
18. Obliczyć iloczyny mieszane podanych wektorów:
a) ~u = [3, −2, 5],
b) ~u = [1, −1, 4],
~v = [1, −1, 3]
~v = [2, 2, −1]
w
~ = [−2, 2, 1],
w
~ = [1, 2, 3].
19. Napisać równanie prostej prostopadłej do wektora ~u = [1, −5] i przechodzącej przez
punkt
a) A = (0, 1),
b) B = (−2, −1)
c) C = (0, 0).
20. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkt M = (−1, 3) i prostopadłej do
wektora
a) ~u = [1, 1] ,
b) ~u = [−2, 3]
c) ~u = [2, 0].
21. Dana jest płaszczyzna π : 3x − y + 2z + 2 = 0.
2
a) Napisać równanie płaszczyzny rónoległej do płaszczyzny π, która przechodzi
przez punkt A = (2, 0, 1).
b) Sprawdzić, czy płaszczyzna π jest prostopadła do płaszczyzny π1 = x + 5y + z −
3 = 0.
22. Napisać rẃnanie płaszczyzny:
a) przechodzącej przez punkt (3, −1, 2) i prostopadłej do wektora [3, −1, 2].
b) przechodzącej przez punkt (0, 1, −3) i prostopadłej do wektora [−2, 3, −5].
c) przechodzącej przez punkt (1, 5, 1) i równoległej do wektorów [−3, 5, 6] i [2, 1, 6].
d) przechodzącej przez punkt (0, 1, 0) i równoległej do wektorów [−1, 3, 0] i [3, 1, 5].
e) przechodzącej przez punkty (2, 1, 3), (−1, 2, 4), (3, −1, 5).
f) przechodzącej przez punkty (1, 1, 1), (−1, 0, 1), (5, 6, 7).
g) przechodzącej przez punkt (−1, 4, 1) i równoległej do płaszczyzny x−y+6z−12 =
0.
h) przechodzącej przez punkt (2, 3, −6) i prostopadłej do płaszczyzn x+y+z−5 = 0
oraz x − y + 2 = 0.
23. Sprawdzić, czy wektory ~u = [1, −1, 2], ~v = [0, 4, −1], w
~ = [2, 2, 3] są współpłaszczyznowe.
24. Sprawdzić, czy punkty P = (1, 1, 1), Q = (0, 1, 2), R = (−1, 3, 0), S = (5, 0, −4)
należą do jednej płaszczyzny.
3