Lista zadan nr 1 z matematyki

LISTA ZADAŃ Z MATEMATYKI NR 1
Niedziela, 4 października 2009r.
I ROK G i K
Jest to pierwsza Lista z zakresu:
1. Przestrzeń wektorowa R x ...x R = Rn (Stark-Mostowski) ;
wektor jako ciąg ,
równość wektorów – układy równań
- wersory, podzbiory OX, OY,...,OXY ,...
- suma wektorów – interpretacja fizyczna , interpretacja geometryczna-prawo równoległoboku
mnoŜenie wektora przez skalar – równoległość wektorów
- własności algebraiczne działań – podział odcinka w zadanej proporcji
- *ogólne pojęcie przestrzeni wektorowej
zmiana układu współrzędnych
2. Iloczyn skalarny
Definicja, własności
- – prostopadłość wektorów
3. Norma
Norma = długość wektora – własności
kąt między wektorami
rzuty wektora na oś : prostopadły, ukośny
4. Iloczyn wektorowy
- Definicja, własności
- pole trójkąta (wieloboku) w R³
- wzory Cramera w R³
6. Iloczyn mieszany
- Definicja, własności
- objętość równoległościanu w R³
Literatura:
1.T.Jurlewicz,Zb.Skoczylas ALGEBRA LINIOWA 1 Oficyna wyd. GiS Wrocław
2. Stark-Mostowski ELEMENTY ALGEBRY WYśSZEJ PWN Warszawa
3. W. Stankiewicz ZADANIA Z MATEMATYKI DLA WYśSZYCH UCZELNI TECHNICZNYCH cz. IA
i cz. IB PWN Warszawa1998 i póŜniejsze
ZADANIA:
1.Obliczyć odległość między punktami P=(5,-2,1) i Q=(-3,0,-4)
2. Obliczyć długość obwodu trójkąta P=(5,-2,1) , Q=(1,1,1) i R=(-3,0,-4)
3. Sprawdzić czy trójkąt P=(1,0,02), Q=(4,1,2) i R=(2,7,2) jest trójkatem prostokątnym.
4. Sprawdzić czy trójkąt P=(-1,1,2), Q=(5,8,2) i R=(11,6,2) ma kąt wewnętrzny rozwarty?.
5. Dane są dwa przeciwległe wierzchołki rombu A= (8,-2 ,1) i C= (10,12,1)n i długość jego boku AB =10.
ZnaleŜć pozostałe wierzchołki leŜące na wysokości z = 1.
6.ZnaleŜć odległości środków odcinków AB i CD gdzie A=(0,5,3), B=(2,1,4),C=(1,-1,5) i D=(2,5,-1). To samo
przy podziale 2:3 i 3:4 odpowiednio.
7. ZnaleŜć wektory jednostkowe dla wektorów 4i-3j; 12i+3j-4k.
8. Wektor tworzy z dwiema osiami współrzędnych kąty 60 stopni .ZnaleŜć kąt nachylenia tego wektora do
trzeciej osi.
9. Z pomiarów otrzymaliśmy wierzchołki czworokąta A=(5,2,6), B=(6,4,4), C=(4,3,2) i D=(3,1,4). Czy to jest
kwadrat?.
10. Dane są cztery wektory a=i+5j+3k, b=6i-4j-2k, c=-5j+7k, d=-20i+27j-35k. Dobrać liczby αβχ tak, by αa,
βb, χc oraz d tworzyły łamaną zamknięta (Początek kaŜdego następnego wektora jest końcem poprzedniego).
12. Obliczyć wartość wyraŜenia (iloczyny skalarne) 3a•a - 4a•b +2c•c gdzie a=(2,5,1) , b= (3,-2,4)
i c=(1,-1,1).
13 Obliczyć kąt między wektorami (8,4,1) i (2,-2,1).
14. Na jakiej wysokości h naleŜy umieścić wektor (10,20,h) aby był prostopadły do (5, -5, 100).
15. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach
16. Obliczyć pole równoległoboku (2,3,-6), (6,4,4), (3,7,4)
17. Obliczyć objętość równoległościanu (oraz czworościanu) o wierzchołkach (1,1,1), (-1,1,1), (1,-1,1) i (1,1,-1)
18. ZnaleŜć rzut prostopadły wektora (1,3,5) na wektor (3,-2,1).
19.ZnaleŜć wektor jednostkowy prostopadły do wektorów (1,-2,0) i (0,3,-2)
20. Jakie warunki musza spełniac wektory P, Q i R aby istniał prostopadłościan którego przekątnymi ścian
wychodzącymi z jednego wierzchołka będą te wektory?
21. ZnaleŜć punkt podziału odcinka o końcach (1,2,3,4) i (4,3,2,1) w proporcji 2:3.
22.Obliczyć długość wektora a=5p-4q gdzie p iq są wzajemnie prostopadłymi wersorami.
Józef Osada