Sieć kątowa
Transkrypt
Sieć kątowa
Sieć kątowa – metoda spostrzeżeń pośredniczących Układ równań obserwacyjnych Przyrosty współrzędnych X XL = XL – XC XP = XP – XC L XL YL = YL – YC YP = YP – YC XP Długość odcinka P ' LC ' xL2 yL2 XC C YL Y ' PC ' xP2 yP2 YP YC Współczynniki kierunkowe A x * x 2 y 2 gdzie B y * x 2 y 2 - odpowiedni przelicznik na miarę kątową czyli dla lewego boku kata: AL X L * X L2 YL2 BL YL * X L2 YL2 i dla prawego boku AP X P * 2 2 X P YP Obliczenie kata ze współrzędnych tg ( ) f 0 X L X P YL f 1 YP f2 BP YP * 2 2 X P YP Zakładamy Lwi Li vi Lwi L0i dLi Lwi Lwi ponieważ otrzymujemy równanie obserwacyjne typu: Li vi L0i dLi Naszymi spostrzeżeniami są kąty α, czyli podstawiamy i porządkujemy vi = dαi + αprzybliżone - αpomierzone X XL' XL L' dxL L d XP P XC C YL ' dy YC dxL dαi AL dyL dxP BL AP L YL Y YP dyP dx C dyC BP (AL AP ) (BL BP ) 1 Zmiana wartości kąta, wynikająca ze zmian (małych) położenia punktów, tworzących kąt (po obliczeniu pierwszej pochodnej i uporządkowaniu i wykorzystaniu wzorów na współczynniki kierunkowe) Po rozpisaniu mamy ogólna postać równania poprawki: vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP +AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i Gdzie Poprawka kąta αi vi Kąt przybliżony i0 Współczynniki kierunkowe AL, BL, AP, BP Spostrzeżenie pomierzone Przyrosty do współrzędnych punktów dxL, dxC, dxp, dyL, dyC, dyP Pomiar daje następujące przypadki: Punkt stały punkt wyznaczany XL, YL XC, YC αi XP, YP 1) Trzy punkty wyznaczane, czyli dxL, dxC, dxP, dyL, dyC, dyP są wyznaczane, co daje równanie: vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP +AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i XL, YL XC, YC 2) αi XP, YP Dwa punkty wyznaczane i jeden stały (w takim jak na rysunku lub innym układzie), czyli dxp=0, dyp=0, a wyznaczane są dxL, dyL, dxC i dyC, co daje równanie: vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*0 +AP*0-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i czyli vi=BL*dxL-AL*dyL-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i XL, YL XC, YC αi XP, YP 3) Dwa punkty stałe i jeden wyznaczany (w takim jak na rysunku lub innym układzie), czyli dxp=0 i dyp=0 oraz dxC=0 i dyC=0, a dxL, dyL są wyznaczane, co daje równanie: vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*0 +AP*0-(BL-BP)*0+(AL-AP)*0+0i-i czyli vi=BL*dxL-AL*dyL+0i-i XL, YL XC, YC αi XP, YP 4) Trzy punkty stałe, czyli dxP=0, dyP=0 i dxL=0, dyL=0 oraz dxC=0 i dyC=0, co daje równanie: vi=BL*0-AL*0-BP*0 +AP*0-(BL-BP)*0+(AL-AP)*0+0i-i czyli vi=0i-i Równanie takie nie wnosi nic do wyrównywanej sieci Sieć kątowa Spostrzeżenia jednakowo dokładne Mierzymy α1, α2, α3 . . . . . . αn (jako kąty płaskie - pomiędzy trzema punktami) Niewiadome (współrzędne płaskie punktów) X1=X10+dx1 Y1=Y10+dy1 X2=X20+dx2 Y2=Y20+dy2 itd. Ilość niewiadomych U = 2*P („p” ilość punktów wyznaczanych) vi = di + przybliżone - pomierzone dαi dxL dyL dxP dyP dx C dyC AL BL AP BP (AL AP ) (BL BP ) 1 vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP +AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i Do równań podstawiamy symboliczne oznaczenie współczynników ai, bi, ci itd, i otrzymamy vi = ai dx1 + bi dy1 +ci dx2 + di dy2 . . . . ui dyp.+ li Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości odpowiedniego współczynnika kierunkowego, lewego lub prawego z odpowiednim znakiem (lub różnicę współczynników), lub 0. W każdym równaniu wystąpią 2 lub 4 lub 6 wartości różnych od zera. Wyrazy wolne li to różnica pomiędzy wartością przybliżoną kata, a pomierzonym katem. Układ równań poprawek (URP) Po obliczeniu współczynników kierunkowych i podstawieniu do odpowiednich równań i uporządkowaniu otrzymamy układ równań poprawek (w postaci algebraicznej – n równań z u niewiadomymi i n nieznanych poprawek): v1 = a1*dx1 + b1*dy1 +c1*dx2 + d1*dy2. . . . . .u1*dyp+ l1 v2 = a2*dx1 + b2*dy1 +c2*dx2 + d2*dy2. . . . . .u2*dyp + l2 v3 = a3*dx1 + b3*dy1 +c3*dx2 + d3*dy2. . . . . .u3*dyp + l3 ............................................................................................................................. vn = an*dx1 + bn*dy1 +cn*dx2 + dn*dy2. . . . . .un*dyp + ln Musimy pamiętać o zachowaniu porządku w numeracji niewiadomych( x a potem y w kolejności rosnącej numerów) i równań poprawek Uwzględniamy (MNK): F = [vv] => minimum funkcji (F’=0 i F’’>0) [vv]=v1*v1 + v2*v2 + v3*v3 + . . .+ vn*vn Wstawiamy równania poprawek (vi) i liczymy F’, przyrównujemy do zera, porządkujemy i otrzymujemy układ równań normalnych URN. zawierający „u=2*p” niewiadomych w „u” równaniach [aa]*dx1+[ab]*dy1+[ac]*dx2+ ... [au]*dyp +[al]=0 [ab]*dx1+[bb]*dy1+[bc]*dx2+ ... [bu]*dyp +[bl]=0 [ac]*dx1+[bc]*dy1+[cc]*dx2+ ... [cu]*dyp +[cl]=0 ........................................ . [au]*dx1+[bu]*dy1+[cu]*dx2+ ... [uu]*dyp +[ul]=0 Spostrzeżenia niejednakowo dokładne Mierzymy α1, α2, α3 . . . . . . αn z wagami p1, p2, p3 ... wagi – najczęściej obliczamy pi c mi2 Tworzymy równania obserwacyjne i przekształcamy równania w układ równań poprawek (URP), analogicznie jak dla spostrzeżeń jednakowo dokładnych Uwzględniamy MNK: F = [pvv] => minimum funkcji (F’=0 i F’’>0) [pvv] = p1*v1*v1 + p2*v2*v2 + p3*v3*v3+ . . .+ pn*vn*vn Wstawiamy równania poprawek (vi) i liczymy F’, przyrównujemy do zera, porządkujemy i otrzymujemy układ równań normalnych URN zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach [paa]*dx1+[pab]*dy1+[pac]*dx2+ ... [pau]*dyp +[pal]=0 [pab]*dx1+[pbb]*dy1+[pbc]*dx2+ ... [pbu]*dyp +[pbl]=0 [pac]*dx1+[pbc]*dy1+[pcc]*dx2+ ... [pcu]*dyp +[pcl]=0 . [pau]*dx1+[pbu]*dy1+[pcu]*dx2+ ... [puu]*dyp +[pul]=0 Dalszy tok obliczeń jest wspólny: Rozwiązanie układu (dla spostrzeżeń jednakowo lub różno dokładnych) daje nam niewiadome, (a właściwie przyrosty do niewiadomych) dx1, dy1, dx2, dy2, dx3, dy3 . . . . . . a z równań X1=X10+dx1 Y1=Y10+dy1 X2=X20+dx2 Y2=Y20+dy2 . . . . itd.. . . . . . . wyliczamy właściwe niewiadome, co było naszym celem. Rozwiązanie układu równań normalnych przeprowadzamy w dowolny sposób, np. metodą macierzową. Zapis macierzowy Spostrzeżenia jednakowo dokładne a1 a2 a3 a A 4 a 5 ... ... an v1 v 2 v3 v 4 v v 5 ... ... v n b1 b2 b3 b4 b5 ... ... c1 c2 c3 c4 c5 ... ... d1 d2 d3 d4 d5 ... ... bn cn dn u1 u 2 u3 u4 u5 ..... ... ..... ... ..... u n ...... ...... ...... ...... ...... dx1 dy 1 dx x 2 dy 2 .... dy p L1 L 2 L3 L 4 L L5 ... ... Ln V=A*x+L {URP} ( AT * A ) * x + AT * L = 0 {URN} - x = ( AT * A )-1 * AT * L rozwiązanie układu Spostrzeżenia niejednakowo dokładne ( AT * p * A ) * x + ( AT * p* L ) = 0 - x = ( AT * p *A )-1 * ( AT * p * L ) gdzie p1 0 p0 ... 0 0 p2 0 ... 0 0 0 p3 ... 0 ... ... ... 0 ... p n 0 0 ... ... {URN} rozwiązanie układu Następne kroki są jednakowe dla spostrzeżeń jednakowo i różnodokładnych: Sprawdzenie obliczonych niewiadomych. Obliczenie wyrównanych współrzędnych: Xi=Xi0+dxi Yi=Yi0+dyi Obliczenie poprawek: z URP: V=A*x+L Obliczenie wyrównanych spostrzeżeń: αwi = αi + vi UWAGA - KONTROLA Wyliczone wyrównane wartości spostrzeżeń pozwalają na kontrolę wyrównania. Obliczamy ze współrzędnych wyrównanych i współrzędnych nawiązania wartości odpowiadające kolejnym katom. Powinniśmy dostać takie same wartości (z dokładnością liczenia), jak kąty wyrównane. Odstępstwa oznaczają błędne wyrównanie, najprawdopodobniej błędnie sporządzony układ równań poprawek (URP). Analiza dokładności Przy rozwiązaniu macierzowym Spostrzeżenia jednakowo dokładne [vv] nu Błąd średni jednostkowy m0 (estymator wariancji resztowej) lub dla spostrzeżeń niejednakowo dokładnych m0 [ pvv ] nu Następne błędy są liczone analogicznie dla spostrzeżeń jednakowo i różnodokładnych: Błędy średnie niewiadomych mdxi Cov(x) i,i Macierz kowariancji niewiadomych 1 Cov(x) (u, u) m 02 * (A T * A) (u, u) lub 1 Cov(x) (u, u) m 02 * (A T * p* A) (u, u) 2 Cov(x)(u,u) na przekątnej zawiera odpowiednio m x i Cov( x) ( u ,u ) 2 mdx 1 .. .. ... .. .. 2 mdy 1 .. .. .. 2 mdx 2 ... .. ... .. ... ... 2 ... mdy p ... ... ... .. .. .. Błędy średnie funkcji niewiadomych m Li mfi Cov(L)i,i Macierz kowariancji wyrównanych spostrzeżeń Cov (L)(n,n) = A(n,u) * Cov (x)(u,u) * AT(u,n) Cov(L)(n,n) Cov( L) ( n ,n ) mL21 .. .. ... .. na przekątnej zawiera odpowiednio .. mL21 .. .. .. ... mL22 ... .. .. .. .. ... .. ... ... ... mL2n ... ... mL2i Ostatnią czynnością jest sporządzenie zestawień wyrównanych wartości, obejmujące: Wyrównane współrzędne Lp X [m] Y [m] mx [m] my [m] Wyrównane spostrzeżenia Lp αi [g] mα [g] Podpis