Wyrównywanie sieci liniowych

Sieć liniowa – metoda spostrzeżeń pośredniczących
Obserwacje:
Długość odcinka
X
Przyrosty współrzędnych
X = XK – XP
Y = YK – YP
XK
AP-K
XP
P
K
Długość odcinka
' AB'  x 2  y 2
Równanie obserwacyjne:
Zakładamy
w
L
Y
i = Li
YK
YP
+ vi
Lwi = L0i +dli
X
Lwi = Lwi
ponieważ
otrzymujemy równanie obserwacyjne
typu:
XK’
K’
dxK
XK
AP-K K
XP
P
Li  vi  L0i  dLi
Naszymi spostrzeżeniami
są długości - D, czyli
dyK
YK’
Y
podstawiamy i porządkujemy
YP
YK
(poprawki dla długości, jako wi)
wi = dDi +Dprzybliżone - Dpomierzone
dDi 
dx P
 c osA P K 
dyP
dx K
 s inA P K  c osA P K 
dyK
s inA P K  2
Po rozpisaniu mamy ogólna postać równania poprawki:
wi=-cos(AP-K)*dxP -sin(AP-K)*dyP +cos(AP-K)*dxK +sin(AP-K)*dyK +D0i - Di
Gdzie
Spostrzeżenie pomierzone
Di
Poprawka długości
wi
Długość przybliżona
Di0 ' AB'  x 2  y 2
Azymut boku zmierzonego
AP-K
Przyrosty do współrzędnych punktów
dxp, dxk, dyp, dyk
Pomiar daje następujące przypadki:
Punkt stały
1)
Xp, Yp
Di
punkt wyznaczany
Xk,Yk
Dwa punkty wyznaczane, czyli dxp, dyp i dxk, dyk są wyznaczane, co daje
równanie:
wi= -cos(AP-K)*dxP -sin(AP-K)*dyP +cos(AP-K)*dxK +sin(AP-K)*dyK +D0i - Di
Xp, Yp
Di
Xk,Yk
2)
Punkt wyznaczany i stały, czyli dxp, dyp są wyznaczane, a dxk=0, dyk=0, co
daje równanie:
wi=-cos(AP-K)*dxP -sin(AP-K)*dyP +cos(AP-K)*0 +sin(AP-K)*0 +D0i - Di
czyli
3)
wi=-cos(AP-K)*dxP -sin(AP-K)*dyP +D0i - Di
Xp, Yp
Di
Xk,Yk
Punkt stały i wyznaczany, czyli dxp=0 i dyp=0, a dxk, dyk są wyznaczane, co
daje równanie:
wi=-cos(AP-K)*0 -sin(AP-K)*0 +cos(AP-K)*dxk +sin(AP-K)*dyk +D0i - Di
czyli
4)
wi=cos(AP-K)*dxk +sin(AP-K)*dyk+D0i - Di
Xp, Yp
Di
Xk,Yk
Dwa punkty stałe, czyli dxp=0, dyp=0 i dxk=0, dyk=0
co daje równanie:
wi=-cos(AP-K)*0 -sin(AP-K)*0 +cos(AP-K)*0 +sin(AP-K)*0 +D0i - Di
czyli
wi=D0i - Di
Równanie takie nie wnosi nic do wyrównywanej sieci
Sieć liniowa – metoda spostrzeżeń pośredniczących
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
Mierzymy
D1, D2, D3 . . . . . . Dn
(jako długości odcinków - pomiędzy dwoma punktami)
Niewiadome (współrzędne płaskie punktów)
X1=X10+dx1
Y1=Y10+dy1
X2=X20+dx2
Y2=Y20+dy2
Ilość niewiadomych U = 2*P („p” ilość punktów wyznaczanych)
Tworzymy równania obserwacyjne typu:
wi = dDi + Dprzybliżone - Dpomierzone
Czyli
wi= -cos(AP-K)*dxP -sin(AP-K)*dyP +cos(AP-K)*dxK +sin(AP-K)*dyK +D0i - Di
Do równań podstawiamy symboliczne oznaczenie współczynników ai, bi
itd, i otrzymamy
wi = ai dx1 + bi dy1 +ci dx2 + di dy2 . . . . ui dyp.+ li
Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości sin, lub cos lub 0.
W każdym równaniu wystąpią 2 lub 4 wartości różne od zera (z
przedziału [-1.0..1.0].
Wyrazy wolne li to różnica pomiędzy wartością przybliżoną a
pomierzoną.
Układ równań poprawek (URP)
dla „u” niewiadomych i „n” spostrzeżeń
w1=a1 dx1 + b1 dy1 +c1 dx2 + . . u1 dyp.+ l1
w2=a2 dx1 + b2 dy1 +c2 dx2 + . . u2 dyp.+ l2
w3=a3 dx1 + b3 dy1 +c3 dx2 + . . u3 dyp.+ l3
.....................................................................
wn=an dx1 + bn dy1 +cn dx2 + . . un dyp.+ ln
Uwzględniamy (MNK):
F = [ww]
=>
minimum funkcji
(F’=0 i F’’>0)
[ww]=w1*w1 + w2*w2 + w3*w3 + . . .+ wn*wn
Wstawiamy równania poprawek (wi) i liczymy F’, przyrównujemy do
zera, porządkujemy i otrzymujemy układ równań normalnych URN.
zawierający „u=2*p” niewiadomych w „u” równaniach
[aa]*dx1+[ab]*dy1+[ac]*dx2+ ... [au]*dyp +[al]=0
[ab]*dx1+[bb]*dy1+[bc]*dx2+ ... [bu]*dyp +[bl]=0
[ac]*dx1+[bc]*dy1+[cc]*dx2+ ... [cu]*dyp +[cl]=0
......................................... .
[au]*dx1+[bu]*dy1+[cu]*dx2+ ... [uu]*dyp +[ul]=0
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
Mierzymy
D1, D2, D3
Dn
z wagami p1, p2, p3
pn
wagi – najczęściej obliczamy
pi 
c
i2
lub na podstawie
parametrów dalmierza
Niewiadome (współrzędne płaskie punktów)
X1=X10+dx1
Y1=Y10+dy1
X2=X20+dx2
Y2=Y20+dy2
. . . . .itd . .
Ilość niewiadomych U = 2*P („p” ilość punktów wyznaczanych)
Tworzymy równania obserwacyjne i przekształcamy równania w układ
równań poprawek (URP), analogicznie jak dla spostrzeżeń
jednakowodokładnych
Uwzględniamy MNK:
F = [pww]
=>
minimum funkcji
(F’=0 i F’’>0)
[pww]=p1*w1*w1 + p2*w2*w2 + p3*w3*w3+ . . . . . . . + pn*wn*wn
Wstawiamy równania poprawek (wi) i liczymy F’, przyrównujemy do
zera, porządkujemy i otrzymujemy układ równań normalnych URN
{zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach}
[paa]*dx1+[pab]*dy1+[pac]*dx2+ ... [pau]*dyp +[pal]=0
[pab]*dx1+[pbb]*dy1+[pbc]*dx2+ ... [pbu]*dyp +[pbl]=0
[pac]*dx1+[pbc]*dy1+[pcc]*dx2+ ... [pcu]*dyp +[pcl]=0
............................................. .
[pau]*dx1+[pbu]*dy1+[pcu]*dx2+ ... [puu]*dyp +[pul]=0
Dalszy tok obliczeń jest wspólny:
Rozwiązanie układu (dla spostrzeżeń jednakowo lub różnodokładnych)
daje nam niewiadome
(a właściwie przyrosty do niewiadomych)
dx1, dy1, dx2 , dy2 , dx3 . . . . . .
a z równań
X1=X10+dx1
Y1=Y10+dy1
X2=X20+dx2
Y2=Y20+dy2
itd. . . . . . .
wyliczamy właściwe niewiadome, co było naszym celem.
. . . .
Rozwiązanie układu równań normalnych przeprowadzamy w dowolny
sposób, np. metodą macierzową.
Zapis macierzowy
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
 w1 
w 
 2
 w3 
w 
4
v 
w
 5
... 
 
... 
 
 wn 
 a1

a2
 a3

a
A 4
a
 5
...
...

an
b1
b2
b3
b4
b5
...
...
c1
c2
c3
c4
c5
...
...
d1
d2
d3
d4
d5
...
...
bn
cn
dn
u1 
u 2 
u3 

u4 
u5 

..... ... 
..... ... 

..... u n 
......
......
......
......
......
 dx1 
 dy 
 1
 dx 
x   2
dy
 2
.... 
dy 
 p
 L1 
L 
 2
 L3 
L 
4
L 
L
 5
... 
 
... 
 
 Ln 
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
V=A*x+L
{URP}
( AT * A ) * x + AT * L = 0
{URN}
- x = ( AT * A )-1 * AT * L
rozwiązanie układu
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
V=A*x+L
{URP}
( AT * p * A ) * x + ( AT * p* L ) = 0
{URN}
- x = ( AT * p *A )-1 * ( AT * p * L )
gdzie
 p1
0

p0

 ...
 0
0
p2
0
...
0
rozwiązanie układu
0
0 
p3 ... 0 

... ... ... 
0 ... p n 
0
0
...
...
Następne kroki są jednakowe dla spostrzeżeń jednakowo i
różnodokładnych:
Obliczenie wyrównanych współrzędnych:
Xi=Xi0+dxi
Yi=Yi0+dyi
Obliczenie poprawek: z URP
V=A*x+L
Obliczenie wyrównanych spostrzeżeń:
Dwi = Di + wi
Wyliczone wyrównane wartości spostrzeżeń (długości) pozwalają na
kontrole wyrównania.
KONTROLA WYRÓWNANIA!!
Obliczamy ze współrzędnych wyrównanych i współrzędnych nawiązania
wartości odpowiadające kolejnym długościom pomierzonym.
Powinniśmy dostać takie same wartości (z dokładnością liczenia), co
wyrównane wartości spostrzeżeń.
Odstępstwa oznaczają błędne wyrównanie, najprawdopodobniej został
błędnie sporządzony układ równań poprawek (URP).
Analiza dokładności
Przy rozwiązaniu macierzowym
Spostrzeżenia jednakowo dokładne
m0  
[ ww ]
n  u Błąd średni jednostkowy
(estymator wariancji resztowej)
Spostrzeżenia niejednakowo dokładne
m0  
[ pww ]
nu
Błąd średni jednostkowy
Następne błędy są liczone jednakowo dla spostrzeżeń jednakowo i
różnodokładnych:
Błędy średnie niewiadomych
mdxi   Cov( x)i ,i
Macierz kowariancji niewiadomych
Cov ( x)(u ,u )  m02 * ( AT * A)(u1,u )
Lub
Cov ( x) (u ,u )  m02 * ( AT * p * A) (u1,u )
Cov(x)(u,u) na przekątnej zawiera odpowiednio
Cov( x) ( u ,u )
2
mdx
1

 ..
  ..

 ...
 ..

..
2
mdy
1
..
..
..
2
mdx
2
...
..
...
..





... ... 
2 
... mdy
p 
...
...
...
..
..
..
m x2i
Błędy średnie funkcji niewiadomych
mLi  m fi   Cov( L)i ,i
Macierz kowariancji wyrównanych spostrzeżeń
Cov (L)(n,n) = A(n,u) * Cov (x)(u,u) * AT(u,n)
Cov(L)(n,n) na przekątnej zawiera odpowiednio
mL21
..
.. ... .. 


2
..
m
..
...
..
L1


2

.. mL2 ... .. 
Cov( L) ( n ,n )  ..


...
... ... ... 
 ...
2 
 ..
..
..
...
m
L
n 

mL2i
Ostatnią czynnością jest sporządzenie zestawień wyrównanych wartości,
obejmujące:
Wyrównane współrzędne
Lp
X [m]
Y [m]
mx [m]
Wyrównane spostrzeżenia
Lp
Di [m]
mDi [m]
Podpis
my [m]