Wprowadzenie do rachunku wyrównawczego
Transkrypt
Wprowadzenie do rachunku wyrównawczego
Sieć kątowo-liniowa – metoda spostrzeżeń pośredniczących Obserwujemy kąty i długości – szukamy współrzędnych płaskich. X XK’ Obserwacje - długości K’ dxK Przyrosty współrzędnych XK AP-K K XP P X = XK – XP Y = YK – YP Długość odcinka ' AB' x y 2 dyK YK’ Y 2 YP YK Równanie obserwacyjne: Lwi Li vi Lwi L0i dli Lwi Lwi ponieważ Li vi L0i dLi dla długości – Di, otrzymujemy: wi = dDi + Dprzybliżone - Dpomierzone i korzystamy z formy : dDi dxP dyP dxK dyK cosA PK sinA PK cosA PK sinA PK 2 Po rozpisaniu mamy ogólną postać równania poprawki dla długości: wi=-cos(AP-K)*dxP -sin(AP-K)*dyP +cos(AP-K)*dxK+sin(AP-K)*dyK +D0i-Di Gdzie Spostrzeżenie pomierzone Di Poprawka długości wi Długość przybliżona Di0 ' AB' x 2 y 2 Azymut boku zmierzonego AP-K Przyrosty do współrzędnych punktów dxp, dxk, dyp, dyk 1/12 Tworzymy równania obserwacyjne typu: wi = dDi + Dprzybliżone - Dpomierzone Do równań podstawiamy symboliczne oznaczenie współczynników ai, bi itd, i otrzymamy część układu równań poprawek (dla długości) wi = ai dx1 + bi dy1 +ci dx2 + di dy2 . . . . ui dyp.+ li Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości sin, lub cos, lub 0. W każdym równaniu wystąpią 2 lub 4 wartości różne od zera Mierzymy D1, D2, D3 Dn z wagami p1, p2, p3 ... z wagami określonymi ogólnie jako Niewiadome (współrzędne płaskie punktów) X1=X10+dx1 Y1=Y10+dy1 X2=X20+dx2 Y2=Y20+dy2 Układ równań poprawek (URP) dla „u” niewiadomych i „n” spostrzeżeń w1=a1 dx1 + b1 dy1 +c1 dx2 + . . u1 dyp.+ l1 w2=a2 dx1 + b2 dy1 +c2 dx2 + . . u2 dyp.+ l2 w3=a3 dx1 + b3 dy1 +c3 dx2 + . . u3 dyp.+ l3 ....................................................................................................... wn=an dx1 + bn dy1 +cn dx2 + . . un dyp.+ ln 2/12 pi 1 i2 X Obserwacje - kąty XL Przyrosty współrzędnych Xdx L' L XL = XL – XC P XC YL = YL – YC YP = YP – YC C YL Y dyL YC ' Y YP L Współczynniki kierunkowe x * x 2 y 2 gdzie L' L XP XP = XP – XC A d B y * x 2 y 2 - odpowiedni przelicznik na miarę kątową Obliczenie kata ze współrzędnych tg ( ) f 0 X L X P YL f 1 YP f2 Równanie obserwacyjne: Lwi Li vi Lwi L0i dli ponieważ Lwi Lwi Li vi L0i dLi dla kąta – αi, otrzymujemy: vi = dαi + αprzybliżone - αpomierzone i korzystamy z formy : dxL dyL dxP dαi AL BL AP dyP dxC dyC BP (AL AP ) (BL BP ) 1 Po rozpisaniu mamy ogólna postać równania poprawki: vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP +AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i -i 3/12 Gdzie Spostrzeżenie pomierzone αi Poprawka kąta vi Kąt przybliżony i0 Współczynniki kierunkowe AL, BL, AK, BK Przyrosty do współrzędnych punktów dxL, dxC, dxp, dyL, dyC, dyP vi = di + przybliżone - pomierzone vi dxL AL dyL dxP BL AP dyP dxC dyC αi0 αi BP (AL AP ) (BL BP ) 1 vi=BL*dxL-AL*dyL-BP*dxP+AP*dyP-(BL-BP)*dxC+(AL-AP)*dyC+0i-i Do równań podstawiamy symboliczne oznaczenie współczynników ai, bi, ci itd, i otrzymamy część układu równań poprawek (dla katów) vi = ai dx1 + bi dy1 +ci dx2 + di dy2 . . . . ui dyp.+ li Gdzie współczynniki a, b, c będą miały wartości odpowiedniego współczynnika kierunkowego lub 0. W każdym równaniu wystąpią 2 lub 4 lub 6 wartości różnych od zera. Mierzymy α1, α2, α3 . . . . . . αn z wagami p1, p2, p3 ... wagi ogólnie jako pi 1 mi2 Niewiadome (współrzędne płaskie punktów) X1=X10+dx1 Y1=Y10+dy1 X2=X20+dx2 Y2=Y20+dy2 . . . .itd . . Ilość niewiadomych U = 2*P („p” ilość punktów wyznaczanych) 4/12 Tworzymy równania obserwacyjne i przekształcamy równania w układ równań poprawek Układ równań poprawek – część dotycząca kątów vn+1 = a n+1*dx1 + b n+1*dy1 +c n+1*dx2 + d n+1*dy2. . . .u n+1*dyp+ l n+1 vn+2 = a n+2*dx1 + b n+2*dy1 +c n+2*dx2 + d n+2*dy2. . . .u n+2*dyp + l n+2 vn+3 = a n+3*dx1 + b n+3*dy1 +c n+3*dx2 + d n+3*dy2. . . .u n+3*dyp + l n+3 ................................................................................................................................. vn+m= an+m*dx1 + bn+m*dy1 +cn+m*dz + dn+m*dy2. . . .un+m*dyp + ln+m Łączymy obydwie części URP i uwzględniamy (MNK): F = [VV] = [pww] + [pvv] => minimum funkcji (F’=0 i F’’>0) [VV]= p1*w1*w1 + p2*w2*w2 + p3*w3*w3 . . . . . .+pn * wn * wn+ p1+n*v1=n*v1=n+p2+n*v2+n*v2+n+ . . .+pm+n * vm+n * vm+n+ Wstawiamy równania poprawek vi i wj i po obliczeniu i uporządkowaniu otrzymujemy układ równań normalnych zrównoważonych. {zawierający „u” niewiadomych w „u” równaniach} [paa]*dx1+[pab]*dy1+[pac]*dx2+ ... [pau]*dyp +[pal]=0 [pab]*dx1+[pbb]*dy1+[pbc]*dx2+ ... [pbu]*dyp +[pbl]=0 [pac]*dx1+[pbc]*dy1+[pcc]*dx2+ ... [pcu]*dyp +[pcl]=0 .............................................. . [pau]*dx1+[pbu]*dy1+[pcu]*dx2+ ... [puu]*dyp +[pul]=0 Rozwiązanie układu daje nam niewiadome (a właściwie przyrosty do niewiadomych) dx1, dy1, dx2, dy2, dx3, dy3 . . . . . . a z równań X1=X10+dx1 Y1=Y10+dy1 5/12 X2=X20+dx2 Y2=Y20+dy2 . . . . itd.. . . . . . . wyliczamy właściwe niewiadome, co było naszym celem. Rozwiązanie układu równań normalnych przeprowadzamy w dowolny sposób, np. metodą macierzową. Sieć kątowo-liniowa – metoda spostrzeżeń pośredniczących Zapis macierzowy - spostrzeżenia niejednakowo dokładne Pomierzone „n” długości i „m” katów (wi – poprawki do długości, vi – poprawki do katów). a1 w1 w a2 2 ... ... wn a v v A n a 1 n 1 n v 2 n a 2 n ... ... v mn a n m b1 b2 ... bn b1 n b2 n c1 c2 ... cn c1 n c 2 n d1 d2 ... dn d 1 n d 2 n ... bn m ... cnm ... d nm ...... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ..... u1 u 2 ... un u1 n u 2 n ... u n m dx1 dy 1 dx x 2 dy 2 .... dy p L1 L 2 ... Ln L L 1 n Ln 2 . ... L nm V=A*x+L {URP} ( AT * p * A ) * x + ( AT * p* L ) = 0 {URN} - x = ( AT * p *A )-1 * ( AT * p * L ) 6/12 rozwiązanie układu gdzie p1 0 ... 0 p 0 0 ... 0 0 p2 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... p n ... 0 ... 0 ... ... ... 0 0 0 ... 0 p n 1 0 ... 0 0 0 ... 0 0 pn2 ... 0 7/12 ... 0 ... 0 ... ... ... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... p n m Przy okazji równoważenia równań poprawek za pomocą wag dokonujemy ujednolicenia jednostek (dla łącznego URP) Wagi przyjmujemy odpowiednio: dla długości pD czyli jednostką równoważącą będzie I dla kątów p 1 D2 pD , 1 [ metr 2 ] 1 , m2 czyli jednostka równoważąca to p 1 [ grad 2 ] dodatkowo wybranie odpowiednio jednostki [metr] lub [centymetr] i analogicznie dla kątów [grad] lub [cc] pozwoli na ustalenia w miarę jednakowego rzędu wartości dla współczynników w układzie równań poprawek zrównoważonych (kątowych i długościowych) 8/12 Obliczenie poprawek: z URP: V=A*x+L Obliczenie wyrównanych spostrzeżeń: Dwi = Di + wi (w ilości „n”) αwi = αi + vi (w ilości „m”) Kontrola wyrównania Wyliczone wyrównane wartości spostrzeżeń pozwalają na kontrolę wyrównania. Obliczamy ze współrzędnych wyrównanych i współrzędnych nawiązania wartości odpowiadające kolejnym katom. Powinniśmy dostać takie same wartości (z dokładnością liczenia), jak kąty wyrównane. Odstępstwa oznaczają błędne wyrównanie, najprawdopodobniej błędnie sporządzony układ równań poprawek (URP). 9/12 Analiza dokładności Spostrzeżenia niejednakowo dokładne Błąd średni jednostkowy (estymator wariancji resztowej) m0 pv v pww pv v NU (n m) u Błąd wyliczony zostanie jako wartość bezwymiarowa m0 [.] Błędy średnie niewiadomych mdxi Cov(x)i,i Macierz kowariancyjna niewiadomych Cov(x)u,u m20 * (AT * p * A) u,1u Cov(x)u,u na przekątnej zawiera odpowiednio Cov( x) (u ,u ) mdx2 1 .. .. ... .. .. mdy2 1 .. ... .. .. .. mdx2 2 ... .. ... .. ... .. ... .. ... ... ... mdy2 p 10/12 2 mdx i Błędy średnie funkcji niewiadomych mLi mfi Cov(L)i,i Macierz kowariancyjna wyrównanych spostrzeżeń Cov (L)(n,n) = A(n,u) * Cov (x)(u,u) * AT(u,n) Cov(L)(n,n) na przekątnej zawiera odpowiednio Cov( L) ( n m,n m ) mD2 1 ... ... ... ... ... ... ... mD2 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... m2n1 ... ... ... ... 11/12 ... ... ... ... ... m2n2 ... ... ... ... ... ... ... ... mL2i Ostatnią czynnością jest sporządzenie zestawień wyrównanych wartości, obejmujące: Wyrównane współrzędne Lp X [m] Y [m] mx [m] Wyrównane spostrzeżenia Kąty Lp αi [grady] mα [grady] Lp Di [m] MD [m] Długości 12/12 my [m]