Funkcje

Funkcje
1
Obraz i przeciwobraz zbioru poprzez funkcję
Rozważmy dowolną funkcję f : X → Y . Dla dowolnego zbioru A ⊂ X określamy obraz zbioru A:
f (A) = {f (x); x ∈ A} = {y ∈ Y : ∃x∈A f (x) = y}.
Dla dowolnego zbioru B ⊂ Y określamy przeciwobraz zbioru B:
f −1 (B) = {x ∈ X; f (x) ∈ B}.
Zadanie 1 Rozważmy kilka przykładów funkcji f : R → R.
(a) f (x) = x2 + x + 1. Znajdź f ([−1, 2]) i f −1 (( 43 , 1)).
(b) f (x) = sin 3x. Znajdź f ((0, π3 )) i f −1 ([−1, 0)).
√ √
√ √
(c) f (x) = [x]. Znajdź f ((− 2, 2)) i f −1 ((− 2, 2)).
Zadanie 2 Niech f : Z × Z → Z, f (x, y) = xy.
(a) Znajdź obrazy zbiorów: {1, 10, 100, 1000}×{1, 10, 100, 1000}, 2Z×2Z, {2n : n ∈ N}×(2Z+1).
(b) Znajdź przeciwobrazy zbiorów: {1, 2, 3}, 2Z, 2Z + 1.
Zadanie 3 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją.
(a) Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ X, jeśli A ⊂ B, to f (A) ⊂ f (B).
(b) Podaj przykład funkcji f i takich zbiorów A, B ⊂ X, że A $ B i f (A) = f (B).
Zadanie 4 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów
A, B ⊂ X zachodzą następujące zależności:
(a) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
(b) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
(c) f (A) \ f (B) ⊂ f (A \ B).
Zadanie 5 (a) Podaj przykład funkcji f i takich zbiorów A, B ⊂ X, że f (A ∩ B) $ f (A) ∩ f (B).
(b) Podaj przykład funkcji f i takich zbiorów A, B ⊂ X, że f (A) \ f (B) $ f (A \ B).
Zadanie 6 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją.
(a) Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B ⊂ Y , jeśli A ⊂ B, to f −1 (A) ⊂ f −1 (B).
(b) Podaj przykład funkcji f i takich zbiorów A, B ⊂ Y , że A $ B i f −1 (A) = f −1 (B).
Zadanie 7 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów
A, B ⊂ Y zachodzą równości:
(a) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B),
(b) f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B),
(c) f −1 (A \ B) = f −1 (A) \ f −1 (B).
Zadanie 8 Niech f : X → Y będzie dowolną funkcją. Jakie własności (zwrotność, symetria, ...)
ma relacja binarna ρ w zbiorze 2X , określona w ten sposób, że dla dowolnych A, B ∈ 2X :
(a) AρB ⇔ f (A) ⊂ f (B),
(b) AρB ⇔ f (A) = f (B),
(c) AρB ⇔ f (A) ∩ f (B) = ∅?
1
2
Składanie funkcji
Złożeniem funkcji f : X → Y i g: Y → Z nazywamy funkcję g ◦ f : X → Z określoną wzorem
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ X.
Zadanie 9 W jakiej kolejności można złożyć poniższe funkcje? Dla każdej z tych funkcji określ
jej przeciwdziedzinę.
√
(a) f : [0, +∞) → . . ., f (x) = x, g: R → . . ., f (x) = x2 − x + 14 ,
√
(b) f : [1, +∞) → . . ., f (x) = x − 1, g: R → . . ., f (x) = x2 + x + 1,
√
2
(c) f : R \ {1, −1} → . . ., f (x) = 1+x
1 − x.
1−x2 , g: (−∞, 1] → . . ., f (x) =
Zadanie 10 Niech X będzie dowolnym alfabetem. Rozważmy funkcje rev: X ∗ → X ∗ , head: X ∗ \
{} → X, tail: X ∗ \ {} → X. Znajdź złożenia funkcji: rev ◦ rev, head ◦ rev, tail ◦ rev.
3
Funkcje różnowartościowe i „na”
Mówimy, że funkcja jest różnowartościowa, jeśli dla dowolnych dwóch różnych elementów dziedziny, wartości funkcji odpowiadające tym elementom są różne. Oznacza to, że funkcja f : X → Y
jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych x1 , x2 ∈ X zachodzi implikacja
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Zadanie 11 Dla jakich a, b, c, d ∈ R (c 6= 0) funkcja f : R \ {− dc } → R określona wzorem
f (x) = ax+b
cx+d jest różnowartościowa?
Zadanie 12 Uzasadnij, że dla dowolnego alfabetu X funkcje rev i double są różnowartościowe.
Zadanie 13 Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa dokładnie wtedy, gdy dla
dowolnych podzbiorów A, B ⊂ X zachodzi implikacja
A $ B ⇒ f (A) $ f (B).
Zadanie 14 Rozważmy dowolne funkcje f : X → Y i g: Y → Z. Wykaż, że jeżeli funkcja g ◦ f
jest różnowartościowa, to funkcja f jest różnowartościowa.
Zadanie 15 Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy
dla dowolnego zbioru Z i dowolnych funkcji g1 , g2 : Z → X, jeśli f ◦ g1 = f ◦ g2 , to g1 = g2 .
Mówimy, że funkcja f : X → Y jest „na”, jeśli każdy element przeciwdziedziny jest wartością
funkcji odpowiadającą pewnemu elementowi dziedziny, czyli dla każdego y ∈ Y istnieje x ∈ X
takie, że f (x) = y. Ten warunek możemy zapisać krócej f (X) = Y . Zbiór f (X) (obraz dziedziny)
nazywamy zbiorem wartości funkcji f .
Zadanie 16 Czy funkcja f : R \ {− dc } → R określona wzorem f (x) =
(c 6= 0), może być „na”?
ax+b
cx+d ,
gdzie a, b, c, d ∈ R
Zadanie 17 Udowodnij, że dla dowolnego alfabetu X funkcja rev jest „na”.
Zadanie 18 Rozważmy dowolne funkcje f : X → Y i g: Y → Z. Wykaż, że jeżeli funkcja g ◦ f
jest „na”, to funkcja g jest „na”.
Zadanie 19 Udowodnij, że funkcja f : X → Y jest „na” wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego
zbioru Z i dowolnych funkcji g1 , g2 : Y → Z, jeśli g1 ◦ f = g2 ◦ f , to g1 = g2 .
Zadanie 20 Wykaż, że dowolną funkcję f : X → Y można przedstawić w postaci złożenia dwóch
funkcji g: X → Z i h: Z → Y (gdzie Z jest pewnym zbiorem) takich, że g jest „na”, a h jest
różnowartościowa.
2
Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi
3 (a) Połowa rozwiązania. Załóżmy, że A ⊂ B. Udowodnimy inkluzję f (A) ⊂ f (B).
Weźmy dowolny element y ∈ f (A)...
(b) Tu można podać dużo różnych przykładów. Dopasuj zbiory A i B do funkcji f : R → R
określonej wzorem f (x) = x2 . Inny przykład: dopasuj funkcję f do zbiorów A = {a}, B = X =
Y = {a, b}.
4 Wskazówka. (a) Zastosuj zadanie 3 (a) do inkluzji A ⊂ A ∪ B i B ⊂ A ∪ B.
Pozostanie do udowodnienia inkluzja f (A ∪ B) ⊂ f (A) ∪ f (B). Weźmy dowolny element
y ∈ f (A ∪ B). Istnieje x ∈ A ∪ B takie, że y = f (x). Co trzeba otrzymać, żeby stwierdzić, że
y ∈ f (A) ∪ f (B)?
(b) Zastosuj zadanie 3 (a) do inkluzji A ∩ B ⊂ A i A ∩ B ⊂ B.
6 (a) Analogicznie do 3 (a).
7 (c) Połowa rozwiązania. Weźmy dowolny element x ∈ X. Wówczas
x ∈ f −1 (A \ B) ⇔ f (x) ∈ A \ B ⇔ f (x) ∈ A ∧ f (x)6∈B ⇔ . . .
14 Wskazówka. Jeśli f (x1 ) = f (x2 ), to g(f (x1 )) = g(f (x2 )).
19 Rozwiązanie. (⇒) Załóżmy, że funkcja f : X → Y jest „na” i rozważmy dowolne funkcje
g1 , g2 : Y → Z, takie, że
(?)
g1 ◦ f = g2 ◦ f.
Pokażemy, że g1 = g2 .
Dla dowolnego y ∈ Y istnieje x ∈ X taki, że y = f (x) (f jest „na”). Zatem, z równości (?),
dla y ∈ Y otrzymujemy
g1 (y) = g1 (f (x)) = g2 (f (x)) = g2 (y),
co oznacza, że g1 = g2 .
(⇐) Pokażemy, że jeśli funkcja f : X → Y nie jest „na”, to istnieje zbiór Z i funkcje g1 , g2 : Y → Z,
dla których nie jest prawdziwa implikacja
g1 ◦ f = g2 ◦ f ⇒ g1 = g2 ,
czyli g1 ◦ f = g2 ◦ f i g1 6= g2 .
Zauważmy, że wystarczy rozważyć dwuelementowy zbiór Z = {a, b}, funkcję g1 : Y → Z
określić wzorem g1 (y) = a dla każdego y ∈ Y , a funkcję g2 : Y → Z określić następująco:
(
g2 (y) =
a, jeśli y ∈ f (X),
b, jeśli y ∈ Y \ f (X).
Funkcje g1 i g2 są różne, gdyż zbiór Y \ f (X) jest niepusty (f nie jest „na”). Natomiast dla
każdego x ∈ X oczywiście f (x) ∈ f (X), więc g2 (f (x)) = a = g1 (f (x)).
Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002.
Funkcje, wersja trzecia, 12 II 2003.
3