1. Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane

1. Narysować zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:
•
Re(z 3 ) < 0
•
Im(z 6 ) ≥ 0
•
h
Im z 2 ≥ Re (z̄)2
•
Im
i
(1 + i)z
≥0
(1 − i)z̄
2. Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić podane funkcje przez funkcje sin x i/lub cos x
cos 5x,
sin 6x
3. Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej pierwiastki (sposób dowolny, ale czytelny):
q
√
−1 + i 3,
√
3
−27i,
√
5
32i,
√
4
−4,
√
3
−1 + i,
4. Przedstawić w postaci iloczynu nierozkładalnych czynników rzeczywistych:
a) x4 − 81,
b) x7 − x,
c) x4 + 4
5. Rozłożyć na czynniki nierozkładalne mianownik (np. znajdując jakąś metodą pierwiastki i ich krotności,
albo metodą grupowania - dowolnie), a następnie całośc rozłożyć na ułamki proste (chyba trochę dużo
liczenia...)
x3 − x + 1
x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x − 1
6. Rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste:
•
(x2
•
•
•
12
− 3x + 2)(x2 − 7x + 12)
x2
x4 − 1
4x
(x + 1)(x2 + 1)2
x2 + 2x
(x2 + 2x + 2)2
7. Funkcję wymierną rozłożyć na wielomian i funkcję wymierną właściwą, którą następnie rozłożyć na
rzeczywiste ułamki proste:
3x5 + x4 + 4x2 + x + 2
,
x3 + 1
Uwaga: jeśli gdzieś pojawia się trudność, to proszę dać znać
2x5 + x3 − x2 − 1
x3 − 1