Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne. Lista nr 10 1. Niech
Transkrypt
Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne. Lista nr 10 1. Niech
Zadania z matematyki IE, I rok, studia dzienne. Lista nr 10 1. Niech Wn oznacza przestrzeń liniową wielomianów stopnia nie większego niż n (nad ciałem liczb rzeczywistych). Zbadać liniową niezależność wielomianów: a) x2 + x, 2, x − 1, x w W2; b) x3 − 1, x2 − x, 1, x + 1 w W3; c) x4 − x, x4 + x, x4, 3 w W4. Podać dwie bazy przestrzeni W3. 2. Rozłożyć wielomiany na czynniki pierwsze: x3 + 3x2 + 3x + 1, x5 − 2x4 + x3, x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x − 1, x8 − 1, x6 + 1. 3. Rozłożyć na ułamki proste funkcje wymierne: x+1 x x2 x−1 , , , , x3 + x2 + x x3 − 2x2 + x (x2 + 1)(x − 2) 1 − x4 x2 − 1 1 , . (x2 + 1)2(x + 3) x2(x + 1) 4. Następujące funkcje wymierne przedstawić w postaci sumy wielomianów i ułamków prostych: 2x3 − 7x2 3x4 + 4 2x5 − 2x + 1 1 − x4 , , , . x2 − 3x + 2 x2 + 1 1 − x4 1 + x4 5. Wielomian x5 + 1 rozłożyć w ciele liczb zespolonych na iloczyn wielomian˘w stopnia 1.