Zadanie (parametry) Dla jakich wartości parametru m pierwiastki

Zadanie (parametry)
Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania:
x2 − 2m x + m2 − 4 = 0
należą do przedziału ha, bi, gdzie a jest rozwiązaniem równania
2
−x
2x+1
1
=4
+
2
natomiast b rozwiązaniem równania
logx
= 1.
log(2x − 4)
Rozwiązanie
Na początku musimy rozwiązać oba równania, aby wyznaczyć a i b. Rozwiązanie
pierwszego równania:
2x+1
1
−x
2 +
=4
2
Zauważamy, że można przedstawić lewą stronę za pomocą potęgi liczby 2, czyli:
2−x + [(2)−1 ]2x+1 = 4
2−x + 2−2x−1 = 4
2−x + (2−x )2 2−1 = 4
1
=4
2
= t dla t > 0. Uzyskujemy następujące równanie
2−x + (2−x )2
Robimy podstawienie 2−x
kwadratowe
t+
1 2
t −4=0
2
1 2
t +t−4=0
2
Liczymy deltę, a następnie pierwiastki tego równania:
∆=1+8=9
√
∆=3
−1 − 3
t1 =
= −2
1
−1 + 3
t2 =
=2
1
1
Rozwiązanie równe −2 odrzucamy, co już zaznaczyliśmy gdy robiliśmy podstawienie (zrobiliśmy takie założenie, ponieważ cokolwiek znalazło by się w wykładniku funkcji ax ) nigdy nie będzie równało się liczbie ujemnej. Wiemy więc,
że
2−x = 2
2−x = 21
Aby te dwie liczby były sobie równe to muszą mieć równe wykładniki, czyli
−x = 1
x = −1,
czyli
a = −1
Rozwiązujemy drugie równanie
logx
log(2x − 4)
=1
Na początku musimy wyznaczyć dziedzinę:
1.x > 0
2.2x − 4 > 0
2x > 4
x>2
Dziedziną jest przedział: x ∈ (2, ∞). Znamy już dziedzinę, rozwiążmy więc to
równanie:
logx
=1
log(2x − 4)
Jest to równanie możemy więc obustronnie wymnożyć przez mianownik
logx = log(2x − 4)
Aby te dwie funkcje logarytmiczne były sobie równe wyrażenia podlogarytmiczne muszą być sobie równe.
x = 2x − 4
x − 2x = −4
−x = −4
x=4∈D
Wiemy zatem, że
b=4
2
Możemy więc podać przedział, do którego mają należeć pierwiastki równania
x2 − 2m x + m2 − 4 = 0
czyli:
h−1, 4i
Zastanówmy się zatem jakie warunki musimy wypisać, aby jednoznacznie z nich
wynikało, że pierwiastki tego równania należą do podanego przedziału. Po pierwsze wiemy, że ramiona paraboli będącej wykresem tego równania kwadratowego
są skierowane do góry. W granicznym przypadku miejscami zerowymi równania kwadratowego są -1 i 4. Wnioskujemy z tego, że ”x − owa” współrzędna
wierzchołka tej paraboli musi się znajdować pomiędzy -1 i 4, czyli:
−b
> −1
2a
−b
<4
2a
Natomiast ”y − owa” musi być ujemna, czyli
−∆
<0
4a
Wspominaliśmy kilkakrotnie o pierwiastkach tego równania, nie możemy więc
zapomnieć o warunku na istnienie pierwiastków:
∆­0
Mówiliśmy o tym, że ramiona tej paraboli są skierowane do góry, czyli
f (−1) ­ 0
oraz
f (4) ­ 0
Po rozwiązaniu tych wszystkich warunków otrzymujemy ostateczne rozwiązanie
(oczywiście musimy wziąć część wspólną poszczególnych warunków):
m ∈ h1, 2i
3